有趣的歸納法

1、有趣的歸納法小明剛剛學(xué)習(xí)了歸納推理，變得更加愛思考、會提問了。思考1、已知(a+b)n(n? N*)的展開式中共有n+1項；那么，在(a + b+c)n(n? N*) 的展開式中，合并同類項后共有多少項？共性寓于個性之中先考慮n=1,2,3,4時的情形：n=1 時，(a + b + c)1的展開式中共有3 2 3項；2n=2 時，22223 4(a + b + c) = a + b +c +2ab + 2bc+ 2ca 的展開式中共有 6= ?項；n=3 時，3 2 2 2 2(a+b+c) = (a+ b + c) (a + b + c) = (a + b +c +2ab+ 2bc+2ca)

2、(a + b + c)333222222=a + b + c + 3a b + 3a c+ 3ab + 3ac + 3b c + 3bc + 6abc4'5的展開式中共有10=X 項；25 / 6n=4時，(a + b + c)4的展開式中共有15=項；2猜想：般地，(a+b + c) (n? N*) 的展開式共有("羅+2)項如何證明呢？小明帶著問題去問老師.老師啟發(fā)道：(a+b + c)n(n? N*)的展開式(合并同類項后)的各項有何特點(diǎn)？小明答：是關(guān)于a、b、c的齊n次多項式.師：對.(a + b + c)n(n? N*)的展開式的各項可表示為：akblcm,其中 k

3、,m,n ?0,1,2,3,? ,n, 且 k+l+m=n小明：知道了！關(guān)于k,l,m方程的方程k+l+m=n的不同的解(k,l,m)對應(yīng)這個展開 式中的不同項akblcm，它們是一一對應(yīng)的.相當(dāng)于，將n個“1”放入3個不同的 盒子中，共有c2+2 =(n + 1)(n + 2)項(用隔板法).由此可得：2推論：G + a2 + a3 + xxam+(n? N*)的展開式共有。陽二項.思考2、由一道高考題引發(fā)的思考：同室4人，每人各準(zhǔn)備1張賀卡堆成一堆.然后每人從中各取1張不是自己的賀卡，共有多少種不同的取法？小明解完此題后，思考：同室n(n? N*,n>1)人，每人各準(zhǔn)備1張賀卡堆成

4、一堆.然后每人從中各取1張不是自己的賀卡，共有an種不同的取法，則an=？a2=1;a3=2;a4=9;a5=44;? 1 1 1X +Xn!護(hù)？N*,n>1.小明上網(wǎng)搜索后得知：an = n!電2彳九-小明嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1) 驗證：n=2，3，4，5時，等式都成立?1 假設(shè)當(dāng)n £k(k? N*, k>1)時，等式ak = k!為-程!1 1一 + 一- X + 3! 4!(-1)k?成k! ? 1 則當(dāng) n=k+ 1 時，如何證 ak+1 = (k +1)!1 1+ - 3! 4!妙+7(k + 1)!?小明在老師的啟發(fā)下，完成了證明:欲證 ak+1=(k+

5、1)!訃 3t£-x +先+ (-1)k+1?I.(k + 1)!rak+ik+1ak(-1)只需證(k + 1)!- k!=(k + 1)!'k+1只需證：ak+1 = (k + 1)ak + (-1)'；證明：(1)驗證：(先從特殊情形中探尋一般證法規(guī)律)a2=1=2! X1 ;2!a3=3!-r? 11 ?C3a2-1=2=3a2-1=3!法亍訝a4=4!-1 2 , “ ？1 1 1 ?CSC®®4”"!筆 23! + 4!孑a5= 5!-小23? 111C5a4 - C5a3- C5a2 - 1=44=5a4 - 1 = 5!首

6、-刁 + 二-1 ?5!?等式 ak = k!>?1 - 1 + 1 -?2!3! 4!(2)假設(shè)當(dāng) n £k(k?N*, k>2)時,X xXU Jf ak = k Xk-1 +(- 1)k 都成立; k!則當(dāng)n=k+ 1時，因為，ak+1 =(k + 1)!- Ck+1ak - Ck+1ak- 1 - Ck+1ak- 2 - XX Ck a3 - Ck+1a2 - 1 當(dāng)k是正奇數(shù)時，123XXXak+1 = (k +1)!- Ck+1 (kak-1 - 1)- Ck+1 (k - 1)ak- 2 + 1)- Ck+1 (k - 2)ak- 3 - 1)-Ck+1 (

7、3a2 -1) - Ck+1 a? - 1=貞k +1)!- Ck+1 kak-1 - Ck+1(k - 1)ak- 2 - Ck+1 (k- 2)ak- 3 - X xCk+1 3a2 空123k- 2 k-1、+區(qū) Ck+1 + Ck+1 -=(k +1)!- CkAk-1 - Ck ak -2 - Ckak- 3 - X xCk a? - 1 字 + (k +1)1k-2J0k-1k+1 .+ Ck+1 + Ck+1 + Ck+1 + X +Ck+1 + Ck+1 吵 Ck+1 + Ck+1 + Ck+1 + X +Ck+1 + Ck+1 歩k0-Ck+1 + Ck+1= (k + 1)

8、ak+1 = (k + 1)ak+(-1)k+1當(dāng)k是正偶數(shù)時，123ak+1 = (k +1)!- Ck+1 (kak-1 + 1)- Ck+1 (k - 1)ak- 2 - 1)- Ck+1 (k - 2)ak-3 +1)- X X X -Ck+1 (3a2 - 1) - Ck+1 a2 - 1123k- 2貞k + 1)!- Ck+1 kak-1 - Ck+1 (k - 1)ak- 2 - Ck+1(k - 2)ak- 3 - X "XCk+1 3a2 熾-禍C k+1 - Ck+1 + Ck+1 - X XCk+1 + Ck+1 +1=(k + 1)容!- Ckak- 1 - Ckak-2 - Ckak- 3 - X XQk a2 - 1+ (k + 1)-起k+1 + Ck+1 + Ck+1 + X +C+1 + Ck+1 少 Ck+1 + Ck+1 + Ck+1 + X +C+1 + Ck+1 熾k0-Ck+1 - Ck+1=(k + 1)ak - 1 = (k + 1)ak + (-1) 綜合：ak+1 =(k + 1)ak +(- 1)k+1? 1 1 1=（心）2?3?即= (k + 1)X?丄-+ - ?2!3! 4!X +(xJ+ (- 1)k+1