2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：3.1 第2課時　不等式的性質(zhì) Word版含解析

1、第2課時不等式的性質(zhì)目標(biāo) 1.掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)；2.能利用不等式的性質(zhì)比較大小、證明不等式、求代數(shù)式的取值范圍重點 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用難點 對不等式性質(zhì)的理解知識點不等式的性質(zhì) 填一填答一答1若a>b，c>d，那么ac>bd，是否有a>b，c>d則ac>bd成立？提示：不一定，如3>1，1>10，則3(1)>1(10)不成立2兩個不同向不等式的兩邊可以分別相除嗎？提示：不可以兩個不同向不等式的兩邊不能分別相除，在需要商時，可利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同向不等式相乘3對不等式變形時，要注意什么？提示：對不等式的每一次變形，都要有相應(yīng)的性質(zhì)為依據(jù)

2、，否則，變形就是錯誤的4由ab，bc能否得到ac呢？如果ab，b>c，能否一定得到ac呢？提示：由ab，bc可以得到ac；而如果ab，b>c，我們一定可以得到a>c.又“ac”包含“a>c”或“ac”，所以ac是一定成立的故如果ab，b>c，一定可以得到ac.類型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題視角1：判斷命題的真假例1判斷下列命題是否成立，若不成立，適當(dāng)增加條件使之成立(1)若a>b，則acbc；(2)若ac2>bc2，則a2>b2；(3)若a>b，則lg(a1)>lg(b1)；(4)若a>b，c>d，則>.分析本題考查不等

3、式的性質(zhì)的應(yīng)用，可結(jié)合不等式的性質(zhì)找出所缺少的條件解(1)不成立命題“若a>b且c0，則acbc”成立，即增加條件“c0”(2)不成立由ac2>bc2可得a>b，但只有b0時，才有a2>b2，即增加條件“b0”(3)不成立由a>b可得a1>b1，但作為真數(shù)，應(yīng)有b1>0，故應(yīng)增加條件“b>1”(4)不成立.>成立的條件有多種(如a>b>0，c>d>0)，因此，可增加條件“b>0，d>0”1.判定一個命題是假命題，有下面兩種方法：(1)從已知條件入手，推出與結(jié)論相反的結(jié)論；(2)舉出反例，反例法簡捷、快速、

4、有效，是解決該類問題行之有效的好方法.,2.應(yīng)用不等式基本性質(zhì)時，一定要注意“保序”時的條件，如“非負(fù)乘方保序”，其中“乘負(fù)反序”“同時取倒反序”兩種情況極易忽視，應(yīng)特別注意.變式訓(xùn)練1已知a，b，cr，且c0，則下列命題正確的是(d)a如果a>b，那么>b如果ac<bc，那么a<bc如果a>b，那么<d如果a>b，那么>解析：利用不等式的性質(zhì)或者舉反例進(jìn)行判斷取a2，b1，c1，滿足選項a，b，c中的條件對a有：<，故a錯對b有a>b，故b錯對c有>，故c錯對于d，c0，>0，由不等式的性質(zhì)4知，d正確命題視角2：證明不

5、等式例2(1)已知a>b>0，求證：<.(2)若bcad0，bd>0，求證：.證明(1)a>b>0a2>b2>0<.(2)bcad0，bcad，bcbdadbd，即b(cd)d(ab)，又bd>0，兩邊同除以bd得，.利用不等式性質(zhì)證明不等式的實質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形.在此過程中，一要嚴(yán)格符合性質(zhì)條件；二要注意向特征不等式的形式化歸.變式訓(xùn)練2若a>b>0，c<d<0，e<0，求證：>.證明：c<d<0，c>d>0，ac>bd>0.(ac)2>(bd

6、)2>0.0<<.又e<0，>.命題視角3：求取值范圍例3已知6<a<8,2<b<3，分別求2ab，ab，的取值范圍分析解答本題可利用不等式的可加性和可乘性求解解6<a<8,2<b<3，12<2a<16.10<2ab<19.又3<b<2，9<ab<6.又<<，(1)當(dāng)0a<8時，0<4；(2)當(dāng)6<a<0時，3<<0.由(1)(2)得3<<4.求含有字母的數(shù)(或式子)的取值范圍時，要注意以下兩點：(1)要注意題

7、設(shè)中的條件；(2)要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減；兩邊都是正數(shù)的同向不等式可乘不可除.變式訓(xùn)練3(1)已知12<a<30,15<b<48，則的范圍是.解析：15<b<48，<<.又12<a<30，<<，即<<2.(2)已知0a1,2ab3，則a2b的取值范圍是3,6解析：0a1,2ab3，1a0,42a2b6.3a(2a2b)6，即3a2b6.類型二不等式的性質(zhì)與函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(1)已知實數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是()a.&

8、gt;bln(x21)>ln(y21)csinx>sinydx3>y3(2)設(shè)alog36，blog510，clog714，則()ac>b>abb>c>aca>c>bda>b>c解析(1)由ax<ay(0<a<1)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得x>y，而函數(shù)yx3是單調(diào)遞增函數(shù)，所以x3>y3.(2)因為alog361log32，blog5101log52，clog7141log72，又ylog2x是增函數(shù)，所以log27>log25>log23>0因為log27，log25，log23，所以

9、log32>log52>log72，所以a>b>c.答案(1)d(2)d高考中這樣的考題較多，多是研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的運算性質(zhì)和單調(diào)性，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的運算性質(zhì)是關(guān)鍵.變式訓(xùn)練4若x(e1,1)，alnx，blnx，celnx，則(d)ac>b>abb>a>cca>b>cdb>c>a解析：celnxx(e1,1)，blnx(1,2)，alnx(1,0)，所以b>c>a.1設(shè)a>b>c，且abc0，則下列不等式恒成立的是(c)aab>bcbac>bccab&

10、gt;acda|b|>c|b|解析：由a>b>c且abc0得a>0，c<0，b符號不確定，則由a>0，b>c一定有ab>ac成立故選c.2已知a，b，c，dr且ab>0，<，則(b)abc<adbbc>adc.> d.<解析：由<得>又ab>0得·ab>·ab即bc>ad.故選b.3若1<<<1，則下列各式中恒成立的是(a)a2<<0b2<<1c1<<0d1<<1解析：1<<<1

11、，1<<1，1<<1，則有2<<2，又<，<0.綜上必有2<<0.4給出下列命題：a>|b|a2>b2；a>ba3>b3；|a|>ba2>b2.其中正確的命題是.5已知a>b>0，c<d<0，求證：<.證明：c<d<0，c>d>0.0<<.又a>b>0，>>0.>，即>，兩邊同乘1，得<.本課須掌握的兩大問題1對不等式性質(zhì)的六點說明(1)性質(zhì)1和2，分別稱為“對稱性”與“傳遞性”，在它們的證明中，要用到比較大小的“定義”等知識(2)性質(zhì)3(即可加性)是移項法則“不等式中任何一項的符號變成相反的符號后，可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù)(3)性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號”(4)性質(zhì)5(即加法法則)，即“同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減”(5)性質(zhì)6,7(即乘法法則與乘方法則)，即均為正數(shù)的同向不等式相乘，得同向不等式，并無相除式(6)性質(zhì)7,8可并為函