線性代數(shù)知識點總結

1、線性代數(shù)知識點總結 第一章行列式 第一節(jié)：二階與三階行列式 311 把表達式311322312321稱為 321 312一 所確定的二階行列式,并記作 322 二三階行列式的計算：對角線法那么 注意：對角線法那么只適用于二階及三階行列式的計算. 利用行列式計算二元方程組和三元方程組： 311 ai2 321 a22 4他2 a2a21.結果為一個數(shù). 同理,把表達式 alia22a33 312323a31313a2ia32 311323a32312321a33 313a22a31,稱為由數(shù) 311 表321 a12 a22 313 a23所確定的三階行列式,記作 311 a12 313 3)1

2、 ai2 313 321 a22 a23 331 a32 333 331 = =311322333312323331313321332 a22 311323332312321a33313322a31, 311312 321312 對二元方程組 311% 3,2x2 311 321 321xl 322x2 b1 b2 312 322 b1 b2 312 322 311312 D1 bi x2 312 322 D2 D D2 311 321 311 321 bi 311312 b b2 321322 321322 對三元方程組 3n 321 331 311x1 321% 331x1 312 322

3、 332 312x2 322x2 332x2 313x3 323x3 333x3 3l3 323 333 0, th b2, b3 第二節(jié)：全排列及其逆序數(shù) 全排列：把n個不同的元素排成一列,叫做這n個元素的全排列或排列. n個不同的元素的所有排列的總數(shù),通常用 R R或An表示.課本 P5P5 逆序及逆序數(shù)：在一個排列中,如果兩個數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后 面的數(shù),那么稱它們構成一個逆序,一個排列中,逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù). 排列的奇偶性：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.課本 P5P5 計算排列逆序數(shù)的方法： 方法一：分別計算出排在1,2

4、,L,n1,n前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出1,2,L,n1,n 這 n n 個元素的逆序數(shù),這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù). 方法二：分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和,即算出排列中每個元素的 逆序數(shù),這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).課本上沒有 第三節(jié)：n階行列式的定義 b1 丸 a13 b1&3 即 a!2 b1 D1 b2 a22 a23 ,D2 a21 b2a23 ,D3 a21 a22 b2 b3 a32 a33 a31 b3a33 a31 a32 b3 那么X1 D ,X2 D2r,X3 D3 .課本上沒有 DDD 注意：以上規(guī)律還能

5、推廣到 n元線性方程組的求解上. a11a22Lann&控221ann也可簡記為 tPlP2LPn. alPia2P2LanPn a1P1a2P2LanPn的代數(shù)和,其中PP2 P Pn是 1,1, a,1a12L司口 其逆序數(shù)決定.D 0a22La2n 1 MMOM 00Lann 2,2,n n 的一個排列,每一項的符號由 a11 a12 L O1n 根據(jù)定義,有D a21 a22 L a2n M M O M an1 an2 L An t12Ln deta.,其中a.為行列式 D D 的i,ji,j 元. 1 1、行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程

6、 a!2 L aln 定義：n階行列式D a21 a22 L a2n 等于所后取自不同行、 M M O M an1 an2 L ann 不同列的 n n 個元素的乘積 組的需要而定義的 2 2、n n 階行列式是n!項的代數(shù)和； 3 3、n n 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 n n 個元素的乘積； 4 4、aa2P2La嗎的符號為1t t, ,t t 的符號等于排列Pi,P2,Pn的逆序數(shù) 5 5、一階行列式aa不要與絕對值記號相混淆. 推論 1 1：上,下三角行列式的值均等于其主對角線上各元素的乘積 推論 2:2:主對角行列式的值等于其對角線上各元的乘積,以其副對角線上各元的乘積.

7、第四節(jié)：行列式的性質 anai2L加 aiia2iLam 定義記D a21a22La2n ,DT a12a22Lan2 ,行列式DT稱為行列式 MMOM MMOM anian2ann aina2nLann D的轉置行列式. 性質 1 1 行列式與它的轉置行列式相等. 說明行列式中行與列具有同等地位,因此但凡對行成立的行列式的性質的對列也成立. 性質 2 2 互換行列式的兩行rirj或列cicj,行列式變號. 推論如果行列式有兩行列完全相同,那么此行列式為零. 性質 3 3 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一數(shù)krjk,等于用數(shù)k乘此行列 式； 推論 1 1D的某一行列中所有元素的公因子可以

8、提到D的外面； 推論 2 2D中某一行列所有元素為零,那么D=0. 性質 4 4 行列式中如果有兩行列元素成比例,那么此行列式為零. 性質 5 5 假設行列式的某一列行的元素都是兩數(shù)之和,那么aiia12L 0a22L MMO 00L ain a2n t12Ln 1 a11a22Lann a11a22Lann 副對角行列式的值等于 的代數(shù)余子式的乘積之和,即DaiiAii ainAin, ,n). 擴展范德蒙德VanderVandermondemonde行列式Dn aii ai2 ain 定理n階行列式D a2i M a22 M a2n M 的各元素與其對應 ani ai2Ai2L (ii,2

9、,L,n)或anjAnj, (j I,2,L Xi 2Xi M niXi X2 2X2 M ni X2 Xn 2Xn M nixn (XiXj)iji 把行列式的某一列行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列行對應的元素上去, 行列式的值不變. 計算行列式常用方法：利用定義；利用運算rikrj把行列式化為上三角形行列式,從 而算得行列式的值. 說明行列式中行與列具有同等的地位,行列式的 6 6 個性質但凡對行成立的對列也同樣成 第五節(jié)行列式按行列展開 余子式在n階行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列劃去后,留下來的n1階行列 式叫做元素aij的余子式,記作Mij. 代數(shù)余子式記AjiijMj,叫做元素aij的代數(shù)余子式. 引理一個 n n 階行列式,如果其中第 i i 行所有元素除i i, ,j ji,j元外aij都為零,那么 這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積,即DajAj. aii a12 a2i M a22 M (加Ai) (a2ia2i) M aln aiiai2L叫LAn aiiai2Lai a2ia22La2iLa2n a2ia22La2i LLLLL LLLL anian2LaniLann anian2Lani LAn L