無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課 ppt課件

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)第十一章 習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)傅氏展開(kāi)式傅氏展開(kāi)式傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)0)(xRnnu 為為常常數(shù)數(shù)( )nnuux為為函函數(shù)數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級(jí)數(shù)與數(shù)級(jí)數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 1nnu 主要內(nèi)容主要內(nèi)容數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)一 基本要求1.理解級(jí)數(shù)收斂理解級(jí)數(shù)收斂,發(fā)散的概念發(fā)散的概念.了解級(jí)數(shù)的基了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)本性質(zhì),熟悉級(jí)數(shù)收斂的必要條件熟悉級(jí)數(shù)收

2、斂的必要條件.2.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比較判別法掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比較判別法,熟練掌熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值判別法握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值判別法.3.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茲判別法掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茲判別法,理理解絕對(duì)收斂和條件收斂的概念解絕對(duì)收斂和條件收斂的概念. 4.掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑, 收斂區(qū)間和收斂收斂區(qū)間和收斂域的求法域的求法.了解冪級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)了解冪級(jí)數(shù)的主要性質(zhì).5.會(huì)求較簡(jiǎn)單函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及和函數(shù)會(huì)求較簡(jiǎn)單函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及和函數(shù).6.理解傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理理解傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理.7.掌握函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的方法掌握函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的

3、方法.(一一)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10lim.nnnnuu 10lim,nnnnuu 11nn 二 要點(diǎn)提示常用來(lái)判定級(jí)數(shù)是發(fā)散的常用來(lái)判定級(jí)數(shù)是發(fā)散的. .切不可用來(lái)判定切不可用來(lái)判定由此可得由此可得:假設(shè)假設(shè) 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 必發(fā)散必發(fā)散.假設(shè)假設(shè) 收斂收斂,那么那么級(jí)數(shù)是收斂的級(jí)數(shù)是收斂的, ,例如調(diào)和級(jí)數(shù)例如調(diào)和級(jí)數(shù) 就是發(fā)散的就是發(fā)散的. .1.級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法11pnn p-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)11nn 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)1nnaq 等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)使用比較判別法時(shí)使用比較判別法時(shí), ,必須熟記一些斂散性必須熟記一些斂散性已知的正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為

4、已知的正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為“參照級(jí)數(shù)參照級(jí)數(shù), ,如如判定一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性, ,常按下列順序常按下列順序: :0lim,nnu (4)級(jí)數(shù)收斂的定義級(jí)數(shù)收斂的定義: (3)用比較判別法用比較判別法.(2)用比值或根值判別法用比值或根值判別法,若失效若失效. (1) 則發(fā)散則發(fā)散.同時(shí)考慮到級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)同時(shí)考慮到級(jí)數(shù)的基本性質(zhì). .部分和數(shù)列極限是否存在部分和數(shù)列極限是否存在.3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 萊布尼茲判別法的條件是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂萊布尼茲判別法的條件是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件而不是必要條件的充分條件而不是必要條件.當(dāng)不滿足條件時(shí)當(dāng)不滿足條件時(shí),不能判定級(jí)數(shù)必發(fā)散不能判定

5、級(jí)數(shù)必發(fā)散.2.若用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法判定若用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法判定 發(fā)散發(fā)散,1nnu 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂. .1nnu ，注意注意對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 假設(shè)假設(shè) 收斂收斂,則稱則稱 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.1nnu 1nnu 1. 可先考查任意項(xiàng)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂；可先考查任意項(xiàng)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂；假設(shè)假設(shè) 發(fā)散而發(fā)散而 收斂收斂,則稱則稱 條件收斂條件收斂.1nnu 1nnu 1nnu 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 也發(fā)散也發(fā)散. . 1nnu 000,(0,0,1,2,)nnnnnnna xaxxan 對(duì)對(duì)于于或或1limnnnala 若若，1,0,00,llRll 1.收斂半

6、徑和收斂區(qū)間收斂半徑和收斂區(qū)間( (二二) )冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)則則收收斂斂半半徑徑為為,)R R (,R R .,RR (,)R R 收斂域：收斂域：或或或或或或 ,RR 00,xR xR 或或收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為 對(duì)于缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù) 可按下式 0,nnux 11201lim,nnnuxxx xux 12,x x從而得收斂區(qū)間為從而得收斂區(qū)間為求出求出 的范圍的范圍2.冪級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的重要性質(zhì) (1)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù) 連續(xù)連續(xù).(2)可逐項(xiàng)求導(dǎo)可逐項(xiàng)求導(dǎo).(3)可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. ,R RS x 逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分后的冪級(jí)數(shù)與原冪逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分后的冪級(jí)數(shù)與原冪級(jí)

7、數(shù)有相同的收斂半徑級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑, , 但在收斂域可能但在收斂域可能改變改變. .3.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)的求法冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)的求法 在熟記幾個(gè)常用的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的在熟記幾個(gè)常用的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的基礎(chǔ)上基礎(chǔ)上, 對(duì)照已知級(jí)數(shù)的特點(diǎn)對(duì)照已知級(jí)數(shù)的特點(diǎn),可通過(guò)恒等可通過(guò)恒等變形變形,變量代換及逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分的方法來(lái)變量代換及逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分的方法來(lái)求和函數(shù)求和函數(shù).4.函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 0=!nnfxan lim0nnRx ， 00nnnfxaxx 按按公公式式，這通常是較困難的這通常是較困難的. .(1)(1)直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法: :展開(kāi)展開(kāi), ,但

8、必須證明余項(xiàng)的極限但必須證明余項(xiàng)的極限(2)間接展開(kāi)法：間接展開(kāi)法： 利用已知函數(shù)的展開(kāi)式利用已知函數(shù)的展開(kāi)式, 通過(guò)恒等變形通過(guò)恒等變形,變量代換變量代換, 級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分及逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分,把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù). 注意兩點(diǎn)注意兩點(diǎn):1.熟記幾個(gè)常用初等函數(shù)的馬克勞林展出式熟記幾個(gè)常用初等函數(shù)的馬克勞林展出式.2.根據(jù)已知展開(kāi)式寫(xiě)出所求展開(kāi)式相應(yīng)的根據(jù)已知展開(kāi)式寫(xiě)出所求展開(kāi)式相應(yīng)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后,原級(jí)數(shù)的收斂半徑不變?cè)?jí)數(shù)的收斂半徑不變,但收斂域可能會(huì)變但收斂域可能會(huì)變. 幾個(gè)常用初等函數(shù)的馬克勞林展開(kāi)幾個(gè)常用初

9、等函數(shù)的馬克勞林展開(kāi) 20202135023111111 ;11;!2!1sin;21 !3!5!ln 1111 .23nnnnnxnnnnnnnxxxxxxxxxexxnnxxxxxxnxxxxxxn 1.試判斷下列命題是否正確試判斷下列命題是否正確?(1,2,),nnucvn 三 思考與分析11,nnnnuv那么那么 同斂散同斂散.11,nnnnuv(2)設(shè)設(shè) 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), c為大于零的常數(shù)為大于零的常數(shù),1lim0,nnnnuu (1)假設(shè)假設(shè) 那么那么 必定收斂必定收斂.答：均不正確答：均不正確.211,.nnuvnn(2)反例反例,考慮考慮0lim,nnu (1) 那么那么

10、 發(fā)散發(fā)散.0nnu 正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式 11,nnnnuv 0lim,()nnnullv11,nnnnuv那么那么 同斂散同斂散. .設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), , 假設(shè)假設(shè)有有 證明證明: 也收斂也收斂.假設(shè)假設(shè) 均收斂均收斂,且對(duì)一切自然數(shù)且對(duì)一切自然數(shù) 2.下列運(yùn)算是否正確下列運(yùn)算是否正確?,nnnacb1nnc 11(1,2,),nnnnnnnacb nab 且且1nnc 11,nnnnabn證明證明: 均收斂均收斂,由比較判別法知由比較判別法知 收斂收斂.答：不正確答：不正確. . 因?yàn)樽C明中使用了比較判別法因?yàn)樽C明中使用了比較判別法, ,

11、而比較而比較判別法只適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法只適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù), , 題目中并未指題目中并未指出級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)出級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù). .正確方法如下正確方法如下: :(1,2,)nnnacb n 證證明明：由由，可可得得 11nnnnnnbaca 故故與與均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，111()nnnnnnnabba 與與收收斂斂，從從而而收收斂斂 1nnnca 也也收收斂斂， ,nnnnccaa而而11().nnnnnnccaa故故收收斂斂由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法0,nnnnbaca 3.若級(jí)數(shù) 和 都收斂, 那么 2211nnnnab 22222220nnnnnnnnnnabaabb

12、aba b 證證明明：，11.nnnnnna ba b 收收斂斂，從從而而絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知2211nnnnab由題意知由題意知, , 和和 收斂收斂, , 2212nnnna bab絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. .1nnna b 2211()2nnnab 故故 也收斂也收斂, ,4.當(dāng)下列條件( )成立時(shí), 111(0)nnnnu u 1( )(1,2,); ( ) lim0;nnnna uu nbu 111nnnu 當(dāng)當(dāng)(c)成立時(shí)成立時(shí),由萊布尼茲定理可得由萊布尼茲定理可得.收斂收斂. .當(dāng)當(dāng)(d)成立時(shí)成立時(shí), 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,因此必定收斂

13、因此必定收斂.1( )nndu 1( )(1,2,)lim0;nnnnc uu nu ， 11234222112311341.12.tan;3356sin3.;4.;1234ln10111111ln5.; 6.1.310320330nnnnnnnaaaannn ； 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性, ,若收斂若收斂, ,是絕對(duì)是絕對(duì)收斂還是條件收斂收斂還是條件收斂? ?練習(xí)題練習(xí)題 解解 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 1lim102nnnn 1112nnnn 由于一般項(xiàng)由于一般項(xiàng)所以發(fā)散所以發(fā)散. .1341.1356 ；112.tan;3nnn 21121tan11133limlim133tan33

14、nnnnnnnnunun 所以級(jí)數(shù)收斂所以級(jí)數(shù)收斂.由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法 12121limlimnnnnnnanuaaun 1a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散，1a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂， 12211111,.nnnann 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 1211nnnan 2342223.;1234aaaa解解 原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為由比值法由比值法 1111ln10ln10nnq 而而所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. . sin1,ln10ln10nnn 解解是收斂的等比級(jí)數(shù)是收斂的等比級(jí)數(shù), , 1sin4.;ln10nnn 1111310nnnn 與與的的一一般

15、般項(xiàng)項(xiàng)之之和和113nn 收收斂斂，1110nn 而而發(fā)發(fā)散散，解解 原級(jí)數(shù)可看作原級(jí)數(shù)可看作由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì), ,原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散. .為為一一般般項(xiàng)項(xiàng)的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，231111115.;310320330 1lnln113 ,nnnnnnn 解解 11ln1nnnn 故故發(fā)發(fā)散散 2ln1lnln(1)03 ,xxnxxxn 又又單單調(diào)調(diào)減減少少，ln(2)lim0,nnn 由萊布尼茲定理知，由萊布尼茲定理知， 11ln6.1nnnn 11nn 而而發(fā)發(fā)散散，從而條件收斂從而條件收斂. .交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂, ,( (二二) )冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)11lim,2nnnaa

16、 2,R 2,2 . 解解 由于由于 21112nnnx 求求 的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為故收斂半徑為故收斂半徑為1.1.下列運(yùn)算是否正確下列運(yùn)算是否正確? ? 上述運(yùn)算是錯(cuò)誤的上述運(yùn)算是錯(cuò)誤的. .原級(jí)數(shù)是僅含奇次冪原級(jí)數(shù)是僅含奇次冪的級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù), ,即為缺項(xiàng)情形即為缺項(xiàng)情形, ,應(yīng)該用比值判別法應(yīng)該用比值判別法來(lái)求收斂半徑來(lái)求收斂半徑. . 21211212limlim,22nnnnnnnnxuxxxux 2, 2 . 故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)時(shí), ,原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂. .21,22xx正確方法為正確方法為: :解解 2112(1);(2)

17、nnnnxnxn 1limlim1,1.1nnnnanRan 1111nnnnttnn 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，收收斂斂, ,1111.nnnttnn當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散1nntn 則原級(jí)數(shù)變?yōu)閯t原級(jí)數(shù)變?yōu)?,tx(1)令令2.求求的收斂域的收斂域. .11,t 121,x 21.nnn t 11,t 故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 或或 11.xx 111,x 即即原級(jí)數(shù)化為原級(jí)數(shù)化為解解 所給級(jí)數(shù)不是冪級(jí)數(shù)所給級(jí)數(shù)不是冪級(jí)數(shù), ,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵?jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐蚨蚨? ,收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?1,3 .即即21(2)nnnx 不難知收斂區(qū)間為不難知收斂區(qū)間為1,tx 引入變換引入變換3.求求 的

18、和函數(shù)及的和函數(shù)及 的和的和. 2221112121!1 !nnnnnnnS xxxxnnn 22211,xS xxe2121!nnnxn .,0212!nnnn 解解 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為法法1.拆成兩個(gè)級(jí)數(shù)之和拆成兩個(gè)級(jí)數(shù)之和,再分別求和再分別求和. 2120121!nnnnxxnn 0,!nxnxen 2220021!nnnnxxxnn ,x 法法2.記記 2121,!nnnS xxn 2211100211!xxnnnnnS x dxx dxxnn .,x則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分: 222101111 ,!nnxnnxxxxx exnn 22201211,

19、xxxS xS x dxx exe 由 222121211!nxnnS xxxen 211121121!2!22nnnnnnSnn 1202111121112!22nnnSen 0212!nnnn 求求令令12x 那么那么122.e 解解01(2)1nnnxn 0021nnnnxnxn 4. 4. 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)01(2)1nnnxn 的和函數(shù)的和函數(shù). .02nnnx 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?1,1 . 01nnxn 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?1,1). 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?1,1 . 01( )(2)1nnS xnxn 設(shè)設(shè)(1)(2)10122,nnnnnxxnx 11( ),nnA xn

20、x 設(shè)設(shè)1001( )xxnnA x dxnxdx 1nnx,1xx 1| x( )1xA xx ,)1(12x 022( )nnnxxA x 22.(1)xx (1)01nnxn 1011nnxxn 001xnnx dxx 001xnnx dxx 0111xdxxx 1ln(1),xx 1| x0021nnnnxnxn 01( )(2)1nnS xnxn 22(1)xx 1ln(1),xx| 1,0 xx 故故(2)5.求冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 (1)將將 展開(kāi)成展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) 2ln43f xxx (2)將將 展開(kāi)成展開(kāi)成x-1的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). 12fxx (3)將將 展開(kāi)

21、成展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). arctan2fxx ln 13ln 1ln 3f xxxxx 解解(1)(1)1101ln31.31nnnxn 1111,3xx 其其中中且且故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為 1,1). ln 1ln3ln 13xx 11001ln311131nnnnnnxxnn 其中其中 111121231313fxxxx 111,3x .4 , 2故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為 10011111.333nnnnnnnxx 223arctan2,14xx 220002arctan221214xxnnnxdxxdxx 由逐項(xiàng)積分的性質(zhì)可得由逐項(xiàng)積分的性質(zhì)可得, ,2220111 1( 1)

22、(2 ) ,142 21(2 )nnnxxx 212121002121,2121nnnnnnnxxnn 11.22x011nnxx xyo 6.0,0( ),0 xf xxx 寫(xiě)出函數(shù)寫(xiě)出函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù). 2 2 3 作周期延拓，作周期延拓， 由狄利克雷充分條件，由狄利克雷充分條件，解解和函數(shù)和函數(shù)( ),( )0,22f xxS xx 四四.自測(cè)題自測(cè)題1.選擇題選擇題 (1)假設(shè)假設(shè) 收斂收斂,那么那么 11lim().nnnnuu 11,lim0,nnnnnnaaaa ，則該級(jí)數(shù)則該級(jí)數(shù)( ). (a)條件收斂條件收斂 (b)絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 (c)發(fā)散發(fā)散

23、 (d)可能收斂可能發(fā)散可能收斂可能發(fā)散(a)1；(b)0；(c)不存在；不存在；(d)不能確定不能確定(2)對(duì)任意級(jí)數(shù)對(duì)任意級(jí)數(shù) 假設(shè)假設(shè) 且且ad(3)若正項(xiàng)級(jí)數(shù) 及 都收斂,那么( )收斂. 11nnnnvu 211nnnnnaubu v 11210limlimlimnnnnnnnuabucuduuu 存存在在部分和數(shù)列有界部分和數(shù)列有界1nnu(4)當(dāng)下列條件( )成立時(shí), 收斂. 11min(,)max(,)nnnnnncu vdu vcba,da,(5)假設(shè) 在 處收斂,則在 處( ).13nnna xx 2311113!11.2.13.2 sin,03.132nnnnnnnnnn

24、nnnxnx 二二.判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性(a)發(fā)散發(fā)散 (b)條件收斂條件收斂 (c )絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 (d)不能確定不能確定2x c三三.判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂是絕對(duì)若收斂是絕對(duì)收斂收斂,還是條件收斂還是條件收斂? 311122111cos1.2.2112!3.,03.!nnnnnnnnxnnannann 21111211.2.22nnnnnnxnxn 四四.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間七七.證明證明:假設(shè)假設(shè) 和和 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,那么那么 五五.求求 的和函數(shù)的和函數(shù),并求并求 的和的和. 021nnnx 11nnnnuv

25、112nnn 2132f xxx 2. 展開(kāi)為 的冪級(jí)數(shù). 211fxx 1. 展開(kāi)為展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).六六.將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)1nnnu v 也絕對(duì)收斂也絕對(duì)收斂. 4x 一一. 1.a; 2.d; 3.a,b,c; 4.a,d; 5.c.213.lim0,nnnnnnuuuu 收收斂斂有有（某某一一項(xiàng)項(xiàng)之之后后） 221;min,.2nnnnnnnu vuvu vu n自測(cè)題參考答案自測(cè)題參考答案由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得(b),(c).由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得(a).提提示示：類似地類似地,就是在就是在 內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂, ,故在故在 處收斂處收斂. . 1326nnnaxxx 若若在在處處收收斂斂，則則二二. 1.發(fā)散發(fā)散,2.發(fā)散發(fā)散(比較比較),3.收斂收斂, 4.發(fā)散發(fā)散(必要條件必要條件)處絕對(duì)收斂處絕對(duì)收斂, ,為什么為什么? ?考慮考慮:5.由冪級(jí)數(shù)收斂域的特點(diǎn)由冪級(jí)