13第一章概率論與數(shù)量統(tǒng)計ppt課件

1、1.3 條件概率與貝葉斯公式條件概率與貝葉斯公式一、條件概率與乘法公式一、條件概率與乘法公式二、全概率公式與貝葉斯公式二、全概率公式與貝葉斯公式條件概率條件概率 Conditional ProbabilityABAB()B()AB()A( )nn拋擲一顆骰子拋擲一顆骰子, ,察看出現(xiàn)的點數(shù)察看出現(xiàn)的點數(shù)A=A=出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù) 1,3,51,3,5B=B=出現(xiàn)的點數(shù)不超越出現(xiàn)的點數(shù)不超越331,2,31,2,3 假設知出現(xiàn)的點數(shù)不超越假設知出現(xiàn)的點數(shù)不超越3 3，求出現(xiàn)的點數(shù)是奇，求出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率數(shù)的概率 即事件即事件B B已發(fā)生，求事件已發(fā)生，求事件A A的概率的概率

2、( (| |) )ABAB都發(fā)生，但樣本空間縮都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含的樣本點小到只包含的樣本點2(|)3ABBP A B 設設,為同一個隨機實驗中的兩個隨機事件為同一個隨機實驗中的兩個隨機事件 , 且且()， 那么稱那么稱()()()PA BPA BPB為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率 n定義定義條件概率條件概率 Conditional ProbabilityBBASample space Reduced sample space given event BA條件概率條件概率 P(A|B)的樣本空間的樣本空間()P AB(|)P A B概

3、率概率 P(A|B)與與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)絡的區(qū)別與聯(lián)絡聯(lián)絡：事件聯(lián)絡：事件A，B都發(fā)生了都發(fā)生了 區(qū)別：區(qū)別： 1在在P(A|B)中，事件中，事件A，B發(fā)生有時間上的差別，發(fā)生有時間上的差別，B先先A后；在后；在P(AB)中，事件中，事件A，B同時發(fā)生。同時發(fā)生。2樣本空間不同，在樣本空間不同，在P(A|B)中，事件中，事件B成為樣本成為樣本空間；在空間；在P(AB)中，樣本空間仍為中，樣本空間仍為 。因此有因此有 ()()P A BP AB例例 設設 100 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品從件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品從中任取中

4、任取1 件，求件，求 (1) 獲得一等品的概率；獲得一等品的概率；(2) 知獲得的是合格品，求它是一等品的概知獲得的是合格品，求它是一等品的概率率 解解設表示獲得一等品，表示獲得合格品，那么設表示獲得一等品，表示獲得合格品，那么 1由于100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，所以 70()0.7100P A2方法1：70()0.736895P A B 方法方法2： ()()( )P ABP A BP B由于由于95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以70 1000.736895100三張卡片的游戲三張卡片的游戲假設教師的手里的三張卡片是不同的假設教師的手里的三張卡片是不同

5、的 如今把卡片放在包里搖擺一番，讓他隨意地抽出一張如今把卡片放在包里搖擺一番，讓他隨意地抽出一張來，放在桌子上，這時候，卡片的一面就露了出來，來，放在桌子上，這時候，卡片的一面就露了出來，是黑點或者是圓圈。假定顯露的是個圓圈，要與他是黑點或者是圓圈。假定顯露的是個圓圈，要與他賭這張卡片的反面是什么？是黑點，還是圓圈。我賭這張卡片的反面是什么？是黑點，還是圓圈。我賭的是正反面一樣，都是圓圈，那他只能賭黑點了。賭的是正反面一樣，都是圓圈，那他只能賭黑點了。他覺得這個游戲公平嗎他覺得這個游戲公平嗎?很明顯這張卡片不能夠是黑點很明顯這張卡片不能夠是黑點-黑點卡，因此，它要黑點卡，因此，它要么是圓圈么是

6、圓圈-圓圈卡，要么是黑點圓圈卡，要么是黑點-圓圈卡，二者必圓圈卡，二者必居其一，這樣一來，這張卡片的反面不是黑點，就居其一，這樣一來，這張卡片的反面不是黑點，就是圓圈，所以賭什么都一樣，全是公平的，他和我是圓圈，所以賭什么都一樣，全是公平的，他和我贏的時機均等，都是。贏的時機均等，都是。 讓我們看看問題出在哪里？讓我們看看問題出在哪里？ 我千方百計要他置信的是，同樣能夠發(fā)生的情況只需兩我千方百計要他置信的是，同樣能夠發(fā)生的情況只需兩種。然而現(xiàn)實是，同樣能夠發(fā)生的情況有三種種。然而現(xiàn)實是，同樣能夠發(fā)生的情況有三種 在這里他一定要把正反面區(qū)分開來看，將正面朝上視為在這里他一定要把正反面區(qū)分開來看，

7、將正面朝上視為一種情況，將反面朝上看成另一種情況。三張卡片隨意一種情況，將反面朝上看成另一種情況。三張卡片隨意抽一張放在桌子上，同樣能夠發(fā)生的情況有六種：抽一張放在桌子上，同樣能夠發(fā)生的情況有六種： 1.黑點黑點-黑點卡的正面；黑點卡的正面；2.黑點黑點-黑點卡的反面；黑點卡的反面； 3.圓圈圓圈-黑點卡的正面；黑點卡的正面；4.圓圈圓圈-黑點卡的反面；黑點卡的反面； 5.圓圈圓圈-圓圈卡的正面；圓圈卡的正面；6.圓圈圓圈-圓圈卡的反面。圓圈卡的反面。 因此，假設抽出的卡片放在桌子上，顯露了圓圈，它因此，假設抽出的卡片放在桌子上，顯露了圓圈，它所代表的情況能夠是：所代表的情況能夠是： 圓圈圓圈

8、-黑點卡的正面；圓圈黑點卡的正面；圓圈-圓圈卡的正面；圓圈圓圈卡的正面；圓圈-圓圓圈卡的反面。圈卡的反面。 在這三種情況中，在這三種情況中，“正反面一樣的情況占了兩種，因正反面一樣的情況占了兩種，因此，在玩了多次以后，莊家就會三回里贏兩回，他的錢此，在玩了多次以后，莊家就會三回里贏兩回，他的錢很快就會流入他的腰包里，這可以算是智力詐騙吧。很快就會流入他的腰包里，這可以算是智力詐騙吧。 例例 思索恰有兩個小孩的家庭思索恰有兩個小孩的家庭.假設知某一家有男孩，假設知某一家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；假設知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩的概率；假設知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩相當于第

9、二個也是男孩的概率求這家有兩個男孩相當于第二個也是男孩的概率.假定生男生女為等能夠假定生男生女為等能夠 = (男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) , (女女 , 女女) 解解于是得于是得 43BP 41APBAP211BP 411APABP=(男男, 男男) , (男男 , 女女) 1B那么那么 =(男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) =(男男, 男男) ，設設= “有男孩有男孩 ，=“第一個是男孩第一個是男孩 1B= “有兩個男孩有兩個男孩 ，故兩個條件概率為()1/41(|)( )3/43P BAP A BP B111()1(|)()

10、2P B AP A BP B乘法法那么乘法法那么()( ) ()( ) ()P ABP A P B AP B P A B 12121312121()()()()()nnnP A AAP A P AA P A A AP AA AA()()( )P ABP A BP B()()( )P ABP B AP A()( ) ()(|)P ABCP A P B A P C ABn推行一批產(chǎn)品中有一批產(chǎn)品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占的次品，而合格品中一等品占 45% .從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率率 設表示取到的產(chǎn)品是一等品，表示取出的產(chǎn)品

11、是合格品， 那么 %45)|(BAP%4)(BP于是于是 %96)(1)(BPBP所以所以 ( )()P AP AB96%45%解解( ) (|)P B P A B43.2%解解 一個盒子中有只白球、只黑球，從中不放一個盒子中有只白球、只黑球，從中不放回地每次任取只，連取次，求回地每次任取只，連取次，求 (1) 第一次獲得第一次獲得白球的概率；白球的概率； (2) 第一、第二次都獲得白球的概率第一、第二次都獲得白球的概率; (3) 第一次獲得黑球而第二次獲得白球的概率第一次獲得黑球而第二次獲得白球的概率設表示第一次獲得白球設表示第一次獲得白球, 表示第二次獲得白表示第二次獲得白球球, 那么那么

12、 6()0.610P A 2 ()P AB3 ()P AB1 ()()P A P B A650.33109460.27109() ()P A P B A全年級全年級100名學生中，有男生以事件名學生中，有男生以事件A表示表示80人，女生人，女生20人；人； 來自北京的以事件來自北京的以事件B表示表示有有20人，其中男生人，其中男生12人，女生人，女生8人；免修英語人；免修英語的以事件的以事件C表示表示40人中，有人中，有32名男生，名男生，8名名女生。求女生。求 ( ),( ),(|),(|),(),P AP BP A BP B AP AB( ),(|)(|),()P CP C AP A BP

13、 AC，80100201001220128012100321001280328040100某種動物出生之后活到某種動物出生之后活到20歲的概率為歲的概率為0.7，活，活到到25歲的概率為歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為，求現(xiàn)年為20歲的這種動歲的這種動物活到物活到25歲的概率。歲的概率。解解 設設A表示表示“活到活到20歲，歲，B表示表示“活到活到25歲歲那么那么 ( )0.7, ( )0.56P AP B所求概率為所求概率為 ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP A解解一、全概率公式一、全概率公式 由于由于B=ABAB ，且，且AB與與互不相容，互不相容，AB()()

14、()P BP ABP AB()(|)()(|)PA P BAPA P BA6546109109 0.6 一個盒子中有只白球、只黑球，從中不放回一個盒子中有只白球、只黑球，從中不放回地每次任取只，連取次，求第二次取到白球地每次任取只，連取次，求第二次取到白球的概率的概率例例A=A=第一次取到白球第一次取到白球,B=,B=第二次取到白球第二次取到白球 所以所以AABAB AB( )()P BP ABAB()()P ABP AB( ) (|)( ) (|)P A P B AP A P B A全概率公式全概率公式 設1 ,2 , . ,n 構成一個完備事件組，且(i )0,i1, 2, . , n，那

15、么對任一隨機事件，有 1()()(|)niiiP BP A P BA全概率公式全概率公式1A2AnA11()(|)P AP B A22()(|)P AP B A()(|)nnP AP B A( )P B例例 設播種用麥種中混有一等，二等，三設播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占等，四等四個等級的種子，分別各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒顆以上麥粒的概率分別為的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這，求這批種子所結的穗含有批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概顆以上麥粒的概

16、率率 解解 設從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是1,2,3,4，那么它們構成完備事件組，又設表示任選一顆種子所結的穗含有50粒以上麥粒這一事件，那么由全概率公式： 41iii)AB(P)A(P)B(P95.50.520.151.50.110.05 0.4825 ()(|)()(|)()(|)P A P BAP A P BAP A P BA貝葉斯公式貝葉斯公式 Bayes Theoremn后驗概率后驗概率B()( )(|)P ABP AP B A()( )(|)P ABP AP B AAB AB()(|)( )P ABP A BP B 設A1，A2，, An構成完備事件

17、組，且諸P(Ai)0,B為樣本空間的恣意事件，P(B) 0 , 那么有1()(|)(|)()(|)kkkniiiP AP BAP ABP AP BA( k =1 , 2 , , n)證明證明 ()()()kkPA BPABPB()()kkP AP B A1()()niiiP AP B A貝葉斯公式貝葉斯公式 Bayes Theorem例例 設某工廠有甲乙丙三個車間消費同一種產(chǎn)品設某工廠有甲乙丙三個車間消費同一種產(chǎn)品,知各知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25 %,35%, 40%,而且各而且各車間的次品率依次為車間的次品率依次為 5% ,4%,2%. 現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品現(xiàn)從

18、待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個次品中檢查出一個次品,試判別它是由甲車間消費的概率試判別它是由甲車間消費的概率.解解 設1,2,3 分別表示產(chǎn)品由甲乙丙車間消費,表示產(chǎn)品為次品. 顯然,1,2,3構成完備事件組. 依題意,有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%,(|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) 11112233() (|)() (|)() (|)() (|)P A P B AP A P B AP A P B AP A P B A0.25 0.050.25 0.050.35 0.040.4 0.020.362甲箱中有甲箱中有3個白球，個白球，2個黑球，乙

19、箱中有個黑球，乙箱中有1個白個白球，球，3個黑球?，F(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱個黑球?，F(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱恣意取出一球。問從乙箱中取中，再從乙箱恣意取出一球。問從乙箱中取出白球的概率是多少？出白球的概率是多少？解解設設B=“從乙箱中取出白球，從乙箱中取出白球，A=“從甲箱中取出白球，從甲箱中取出白球，3( )5P A 2( )5P A 2(|)5P B A 1(|)5P B A 8( )( ) (|)( ) (|)25P BP A P B AP A P B A 愛滋病普查：運用一種血液實驗來檢測人體內是愛滋病普查：運用一種血液實驗來檢測人體內是否攜帶愛滋病病毒否攜帶愛滋病病毒. .設這種實驗的假陰性比