第十八章相對論習題

1、第十八章第十八章 相相 對對 論論18-1 設 系以速率 相對于沿 軸運動，且在 時， 。（ 1）若有一事件，在 系中發(fā)生于 ， 處，該事件在 中發(fā)生于何時刻？（2）如有另一事件發(fā)生于 系中 處，在 系中測得這兩個事件的時間間隔為多少？Scv6 . 0 xx 0 tt0 xxSstt7100 . 2mx50SS,100 . 37stSmx10解解分析分析相對論中一個物理事件可用時空坐標（x、y、z）表示，在一切慣性系中，不同坐標系中的物理事件滿足洛倫茲坐標變換。因此，已知一坐標系中的物理事件，可通過坐標變換求出該事件在另一坐標系中的表示。scvxcvtt72212111025. 11（1）由洛

2、倫茲坐標變換可求得 的觀察者測得第一事件 發(fā)生的時刻為S（2）同理，第二個事件發(fā)生的時刻為scvxcvtt7222222105 . 31系中的觀察者測得兩事件的時間間隔為Ssttt7121025. 2vP此題通過洛倫茲坐標變換也可求出觀察者在另一個坐標系中的空間坐標。（同學自己做）此題的知識點是考察對洛倫茲坐標變換的理解。18-2 設有兩個參照系 和 ，它們的原點在 和 時重合在一起。有一事件，在 中發(fā)生在 處，若 系 相對于 以速率 沿 軸運動，問該事件 在 系中的時空坐標各為多少？SS00ttSmxst60,100 . 8800zySScv6 . 0 xx S解解分析分析此題給出的條件是在

3、運動參照系中的時空坐標，求在靜止參照系中的時空坐標，需要通過洛倫茲坐標逆變換求出。由洛倫茲坐標逆變換給出：mcvt vxx9312200zzyyscvxcvtt7222105 . 21此題的知識點同上題。 問題： 一事件在 系中的空間坐標為正時，在 系中一定 為正 的嗎？ SS18-3. 一列火車0.30km(火車上觀察者測得),以100km.h-1的速度行駛,地面上觀察者發(fā)現(xiàn)有兩個閃電同時擊中火車的前后兩端.問火車上的觀察者測得兩閃電擊中火車前后兩端的時間間隔為多少?解分析選地面為 系,火車為 系,把兩閃電擊中火SS車前后兩端視為兩個事件.地面觀察者看到兩閃電同時擊中,則在 這兩個事件的時間

4、間隔為 火車的長度指相對火車靜止時測得的長度(物體的長度在不指明觀察者的情況下均指靜止長度).則在 系中的空間間隔 S012tttS30. 012xxxm. 系相對 的速度即為火車的速度.310SS由洛侖茲坐標變換解法1:2212212121)()(cvxxcvttttS可得在 系中的觀察者測得兩事件的時間間隔為:sxxcvt 9)(請說明負號的意義.解法2:由長度收縮公式,地面上的觀察者測得火車的空間長度為:28233221212)103()10100(11030. 01)(cvxxxx再由洛侖茲逆變換2212212121)()()(cvxxcvtttt將 的數(shù)值代

5、入可得,)(,012xxxtstt14121026. 9顯然,兩種解法中前者較為簡單.問題:如果一人在火車上從車頭跑到車尾,地面觀察者測得人的運動距離與地面觀察者測得火車的長度相同嗎?此題的知識點是考察對靜止長度和運動長度以及同時性的相對性的理解, 還考察了對洛倫茲坐標間隔變換的應用能力.18-4 在慣性 系中,某事件發(fā)生在 處, S1xs6100 . 2后,另一事件B發(fā)生在 處,已知問: (1)能否找到一個相對 系做勻速直線運動參考系 ,在 系中 ,兩個事件發(fā)生在同一地點? (2)在 系中,上述兩個事件的時間間隔為多少?2xSSSS解分析在相對論中,不同慣性系測得兩事件的時間間隔和空間間隔一

6、般是不同的,它是與兩參照系的相對速度有關.設 系以速度 相對于 系沿 軸正向運動,給出這兩個時間的時間和空間間隔變換為:SSvx) 1 (1)()(221221212cvxxcvtttt)2(1)()(22121212cvxxvttxx從式(1)中可以看出,我們可以找到在 系中發(fā)生在同一地點的參考系 ,只要在式(1)中使S012xx即可求出 相對于SSv的速度S可以通過時間膨脹公式求得。S。這兩個事件在 系的時間間隔是固有時間（原時），（1）由洛侖茲坐標變換221212121)()(cvttvxxtt有：2212121)()(0cvttvxx得csmttxxv50. 0.1050. 18121

7、2（2）由洛侖茲時間間隔變換2212212121)()(cvxxcvtttt代入 得：vscvttcvxxcvtttt622122212212121073. 11)(1)()(此題的知識點主要是考察對洛侖茲坐標變換和原時的理解。問題（1）在一慣性參考系中測得不同時不同地發(fā)生的兩個因果事件，可否找到一慣性參考系使得該系觀察者測得這兩個事件發(fā)生在同一時刻？（2）若兩個事件在一慣性系中測得同時同地發(fā)生，那么，在其它慣性系的觀察者測得的結果會怎樣？18-5 設在正負電子對撞機中，電子和正電子以速度0.90c相向飛行,它們之間的相對速度多少?解分析此問題中有三個參考系,一是電子,二是地球,三是正電子.此

8、題的速度0.9c 是地面上的觀察者測得正負電子的運動速度。如果我們選擇地球為 系，電子為 系，電子的運動方向為 軸，正電子為研究對象，則 系相對 系的速度為 ，正電子相對于地球的速度為 ，正電子相對于電子的速度正是要求的，可以通過洛侖茲速度逆變換求出。SSSSxcv9 . 0c9 . 0S選擇地球為 系，正電子為 系，則 由洛侖茲速度變換得電子相對負電子的速度為：Scvcux9 . 0,9 . 0cucvvuuxxx994. 012負號表示負電子與負電子運動方向相反。再一次看到粒子相對參考系的運動速度不可能大于光速 ，這一點與伽利略速度變換不同。c此題的知識點是考察對洛侖茲速度變換的理解和應用

9、。問題如果在此題中可以選擇電子為 系嗎？如果這樣選擇， 系選誰計算最為簡單結論相同嗎？此問題中有幾種選擇坐標系方式？SS18-6 設想有一粒子以 的速率相對實驗室參考系運動。此粒子衰變時發(fā)射一個電子，電子的速率為 ，電子速度的方向與粒子運動方向相同。試求電子相對實驗室參考系的速度。c05. 0c80. 0解分析此題中電子的速度是指先歸粒子而言的。本題涉及到三個參考系-實驗室、粒子、電子，我們選擇實驗室為 系、粒子為 系、電子為研究對象計算最為簡單。由洛侖茲速度變換可求出電子相對于實驗室的運動速度。SS如分析中選擇參考系， 粒子的運動方向為 軸，則有 ，由洛侖茲速度變換有電子相對于實驗室的速度為

10、：cucvx80. 0,05. 0 xcucvvuuxxx817. 01218-7 設在宇航飛船的觀察者測得脫離它而去的航天器相對它的速度為 。同時，航天器發(fā)射一枚空間火箭，航天器的觀察者測得火箭相對它的速度ism18102 . 1本題知識點是考察洛侖茲速度變換的運用。請選擇其它方式的參考系計算此題，從中有什么體會。要求解分析為 。問：（1）此火箭相對宇宙飛船的速度為多少？（2）如果以激光光束來代替空間火箭，此激光光束相對于宇宙飛船的速度又為多少？請將上述結果與伽利略速度變換所得結果相比較，并理解光速是運動體的極限速度。ism18100 . 1此題仍是相對論速度變換問題，在（2）問題中，以激光

11、光速來取代航天器，其區(qū)別僅在于激光光速相對與航天器的速度是光速，而由洛侖茲速度變換可知，激光光速相對于飛船的 速度還是光速，這正是光速不變原理的意義。同上題類似，選飛船為 系，航天器為 系，在（1）問題中，火箭為研究對象，在（2）問題中，激光光速為研究對象。航天器的飛行方向為的正方向。則 系相對 系的速度為 ，火箭相對 系的速度為 ，激光光速相對 系的速度為 光速 。SSSSsmv8102 . 1Ssmux8100 . 1Sc由洛侖茲速度變換有：（1）火箭相對飛船的速度為smcuvvuuxxx321094. 11（2）激光光速相對飛船的速度為csmcvcvcux82100 . 31此題的知識點

12、是考察對洛侖茲速度變換以及光速不變原理的理解。18-8 以速度 沿 方向運動的粒子，在 方向上發(fā)射一光子求地面觀察者所測得光子的速度。vxy伽利略速度變換給出激光光速相對于飛船的速度大于光速，這于洛侖茲變換給出的結果不同。選擇地面為 系，粒子為 系，光子為研究對象，則 相對 系的速度為 ，光子相對 系的速度為 。則由洛侖茲速度變換得：SSSvS00zyxucuuvcuvvuuxxx2122222111cvccuvcvuuxyzS011222cuvcvuuxzz因此，速度大小為：cuuuuzyx222速度方向為vvcarctguuarctgxy22可見，光子在地面參考系中的速度的大小仍然是光速，

13、但速度的方向已經(jīng)改變了。問題1、光速方向改變了，這與光速不變原理矛盾嗎？2、物理中所有的速度都不能大于光速嗎？18-9 設地球上有一觀察者測得一宇宙飛船以 的速率向東飛行， 后該飛船將與一個以 的速率向西飛行的彗星相碰撞，試問（1）飛船中的人測得彗星將以多大的速率向它運動？（2）從飛船中的 鐘來看，還有多少時間允許它離開航線，以避免與彗星碰撞？c60.0s5c80. 0解分析此題中有三個物體可以作為參考系，即地球、S飛船、彗星。為計算簡單，我們選擇地球為 系，飛船為 系 ，彗星為研究對象 。選擇飛船飛行的方向為 軸的正方向，則由題意知 相對于 系的速度為 SSSSx ，彗星相對 系的速度 ，在

14、問題（1）中通過洛侖次逆變換可求出彗星相對飛船的速度。問題（2）中，設彗星與飛船碰撞前的時空坐標為事件1，碰撞時彗星所在的時空坐標為事件2。設碰前彗星在 和 系的時空坐標分別是 ，碰撞時的時空坐標分別是 ， 則 就是飛船與彗星相碰所需的時間，記為 。cv60. 0Scux80. 0S)0, 0(, )0,0(txtxS),(),5,(txtvtxtt（1）、由洛侖茲速度變換可得彗星相對 系的速度為：Scucvvuuxxx946. 012負號表示彗星運動放方向與飛船的方向相反，即彗星以0.946c的速度向飛船靠近.(2).由洛侖茲坐標變換可得飛船上的觀察者 測得飛船與彗 星相碰的時刻為:scvc

15、vxtt0 . 41/222此題也可用時間膨脹公式來做,飛船上的觀察者測得彗星碰撞前后的空間坐標是相同的.同上設為 ,這樣,飛船的觀察者測得兩事件是發(fā)生在同一地點的先后時間.,即原時,這正式要求的時間.由時間膨脹公式可得結果.0 x有時間膨脹公式有:0 . 5122cvtttscccvttt0 . 4)60. 0(10 . 512222此題的知識點考察洛侖茲坐標變換和速度變換的理解以及時間膨脹公式應用的條件,即對原時概念的理解.問題此題若選擇飛船為 系，選哪個物體作為 系計算簡單？SS18-10 .在慣性系 中觀察到有兩個事件發(fā)生在同一地點，其時間間隔為 ，從另一慣性系 中觀察這兩個事件的時間

16、隔為 ，試問從 系測量到這兩個事件的空間間隔是多少？設 系以恒定速率相對 系沿 軸運動。Ss0 . 4Ss0 . 6SSS解分析此題是相對論時空轉換問題，而此題中沒有直接告訴 系相對 系的運動速度，而已知 和 系中的這兩個事件的時間間隔和 系的空間間隔，由洛侖茲時間間隔變換可以得 系相對 系的運動速度，再由洛侖茲空間間隔變換求得這兩個事件在 系的空間間隔。SSSSSSSSS由題意知：00 . 6,0 . 4xtt由洛侖茲時間間隔變換可得：22222101cvtcvxcvtt2210 . 40 . 6cv得 相對 系的速度為：SScv35由洛侖茲空間間隔變換可得在 系中測得這兩個事件的空間間隔為

17、：Smccccvtvxx922221034. 1)35(10 . 43501負后說明在 系中后發(fā)生的事件坐標比先發(fā)生的事件的坐標小。S此題的知識點是考察對洛侖茲時空間隔變換的應用。注意：在求速度時這兩個事件在 系中的時間間隔顯然是原時，因為發(fā)生在同一地點，所以得到的是時間膨脹公式。S問題如果在此題中的同地發(fā)生改為同時不同地發(fā)生相應的時間間隔改為空間間隔、空間間隔改為時間間隔，那么該題如何求解？解分析這是同時不同地的兩個事件之間的時空轉換問題。由于本題為給出 系相對 系的速度，故可由不同參考系中空間間隔變換之間的關系求得 ，再由兩個事件的時間間隔變換求出兩事件在 系中的時間間隔。SSvS18-1

18、1 .在慣性系 中，有兩個事件同時發(fā)生在 軸上相距為 的兩處，從慣性系 觀測到這兩個事件相距為 ，試問由 系測得此兩事件的時間間隔為多少？SSSxx m3100 . 2m3100 . 1) 1 (1)()(22121212cvttvxxxx)2(1)()(221221212cvxxcvtttt由（1）得到cv23此兩事在 系的時空坐標為 和 ，且有 。而在 系中，此兩事件時空坐標為 和 ，且 ，根據(jù)洛侖茲坐標變換，有SS), 0 , 0(1, 1tx), 0 , 0(2, 2tx), 0 , 0(1, 1tx), 0 , 0(2, 2tx0,100 . 112312ttmxxmxx312100

19、 . 2將 代入（2），可得：vstt6121077.5此題的知識點與上題相同。解分析18-12有一固有長度為 的棒在 系中沿 軸放置，并以速度 沿 軸運動。若有一 系以速率 相對 系沿 軸運動，試問從 系測得此棒的長度為多少？0lSSuxx Sxx Sxv此題中告訴棒的靜止長度是相對于這兩個參考，為了求出相對 系棒的運動長度，必須要求出棒相對 系的運動速度。SS系以外的參考系而言的，而沒有告訴棒相對于 系的運動速度。如果已知棒相對于 系的運動速度，可以由長度收縮公式進行計算。SS221cvvuu由洛侖茲速度變換可求出棒相對 系的運動速度 ：Su設棒相對 系的靜止長度為 ，運動長度為 ，則由長

20、度收縮公式有：S0ll2201cull聯(lián)立上兩式得：21222220)(vcucuvcll此題的知識點是考察靜止長度和運動長度的區(qū)別以及洛侖茲速度變換式的應用。問題如果此題中的棒是沿著 軸成300角放置，其它條件不便，則 系的觀察者測得的棒長度是多少？Sx解分析18-13 . 若從一慣性系中測得宇宙飛船的長度為其固有長度的一半,試問宇宙飛船相對此慣性系的速度為多少?(以光速 c 表示) .此題中設宇宙飛船固定在 系中,則可以直接S應用長度收縮公式求出 飛船相對于此慣性系的速度.設慣性系為 系,飛船為 系,由長度收縮公式有:SS220012cvlll解得:cv23此題知識點是考察長度收縮公式 的

21、應用.18-14 . 一固有長度為4.0m的物體,若以速率 沿 軸相對某慣性系運動,試問從該慣性系來測量,此物體的長度為多少?xcv6 . 0解分析此題直接應用長度收縮公式直接求出.選擇物體為 系,慣性系為 系,則由長度收縮公式得:SSmcvll2 . 31220此題知識點同上.18-15 .半人馬星座 星是離太陽系最近的恒星，它距地球為 ，設有一宇宙飛船自地球往返于半人馬星座 星之間。（1）宇宙飛船的速率為 ，按地球上的時鐘計算，飛船往返一次需多長時間？（2）如以飛船上的時鐘計算，往返一次的時間又是多少？m6103 . 4c999. 0解分析在本題中給出的地球與 的距離和飛船的速度是在地球上

22、測得 的，因此，地球上的觀察者測得飛船往返一次的時間可以用路程除以時間來求得。另外，飛船上的觀察者測得地球與 星的距離要縮短，在飛船上觀測相當于地球與 的距離以飛船的速度在飛船邊上滑過，因此，先求出飛船測得的地-星距離后，用路程除以時間可以求得飛船上的時鐘測得的時間。（1）在地球上的時鐘測得的時間是：asvstT0 . 91087. 2228（2）飛船上的觀察者測得的地-星路程是：220122cvlls則飛船上的時鐘測得的時間是：ascvvlvstT40. 01028. 11227220實際上，此題中在飛船上的觀察者測得飛船接觸地球和飛船接觸 星這兩個事件發(fā)生在飛船上的同一地點，因此，在飛船上

23、的時鐘測得的時間是固有時間，而地球上的時鐘測得的時間是膨脹后的時間，因此，可以用時間膨脹公式計算出固有時間。所以，利用（1）的結論有：221cvtt221cvtt飛船始時鐘測得的時間是：tT222221212cvvscvt與上面計算的結果相同。此題的知識點是考察時間膨脹公式和長度收縮公式的應用。問題在用時間膨脹公式計算中為什么考慮到地-星相對飛船的運動？能否認為飛船從地球到 星呢？相對論動力學基礎相對論動力學基礎18-17 若一電子的總能量為5.0MeV，求該電子的靜能、動能、動量和速率。解分析由相對論 靜能公式E=m0C2=0.512MeV電子的總能量,說明該電子相對于觀察者所在的參考系還具

24、有動能.電子的總能量等于動能與靜能之和,所以,由動能定義式可以直接求出電子的動能.又可以由能動關系式和動能的定義式可以分別直接求出電子的動量和速度.設電子的總能量為E，由動能定義式有:488. 40EEEkMeV由能動關系式得電子的動量21212021066. 2)(1EEcpkg.m.s-1又由動能的定義式可得電子的速率為:cEEEcv995. 0)(21220218-18 一被加速器 加速的電子,其能量為 MeV.試91000. 3此題知識點是考察對靜止能量、動能、動量概念的理解。問(1)這個電子的質量是其靜質量的多少倍?(2)這個電子的速率為多少?解分析由相對論能量和靜能公式可以直接求出

25、運動質.量和靜止質量之比。由只素關系可以求出相對觀察者的運動速度。（1）、由公式E=mC2和E0=m0C2可得電子的運動質量與靜止質量之比：320001086. 5cmEEEmm由質速關系式 可得電子的速度為：21220)1(cvmmccmmv985999999. 0)(1 2120可見：給電子加速到這么大能量時，其速度十分接近光速了 。此題知識點是考察對靜止質量概念理解和質速關系式的應用。18-19 在電子偶的湮滅過程中，一個電子和一個正電子相碰撞而消失，并產(chǎn)生電磁輻射。假定正負電子在湮滅前均靜止，由此估計輻射的總能量E 。解分析以正負電子為系統(tǒng)，電子偶湮滅前后系統(tǒng)的總能量守恒。湮滅前系統(tǒng)總能