8.1.3第一課時向量的坐標(biāo)與向量的數(shù)量積2019(秋)數(shù)學(xué)必修第三冊人教B版(新教材)改題型

1、8.1.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算第一課時向量的坐標(biāo)與向量的數(shù)量積課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1 .掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會 進行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算.2 .能運用數(shù)量積進行兩個向量夾角和模 的計算，并能推導(dǎo)平面內(nèi)兩點間的跑離 公式.通過推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)運算及通過求夾 角和模，體會邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運算 素養(yǎng). 課前預(yù)習(xí)卻深屏突 r |教材知識探究4情境引入“我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛飛過絕望，不去想他們擁有美麗的太陽，我看見每天的夕陽也會有變化，我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛給我希望”，如果能為平面向量的數(shù)量積插上“翅膀”，它又能飛多遠呢？本節(jié)講解平面向量數(shù)量積的“翅膀” 坐標(biāo)表示，

2、它使平面向量的數(shù)量積同時具有幾 何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，從而可以使幾何問題數(shù)量化，把“定性”研究 推向“定量”研究.問題 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i, j分別是x軸和y軸方向上的單位向量，a=(3, 2), b=(2, 1),則ab的值為多少？ a b的值與a, b的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？若 a = (xi, yi), b=(x2, y2),則 ab 為多少？提示 由題意知，a=3i + 2j, b = 2i+j,則 a b=(3i + 2j) (2i+j) = 6i2 + 7i j + 2j2.由于 i2 = ii=1, j2 = jj=1, ij=0,故 a b= 8.8 = 3X2 +

3、 2X1； a b = xiX2+yiy2.新知梳理1 .兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量，向量 a=(xi, yi), b=(x2, y2), a與b的夾角為0.數(shù)量積兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和即：a b = xix2+ yiy2向量垂直aX b? xtx2 + yiy2=0注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不可混淆，可以對比學(xué)習(xí)記憶2 .與向量的模、夾角相關(guān)的三個重要公式數(shù)量積的主要應(yīng)用有求模長、求夾角、判斷垂直，而此三個公式是解決此類問題的重要依據(jù)(i)向量的模：設(shè) a=(x, y),則 |a|=dx2+y2.(2)兩點間的距離公式：若 A(xi

4、, yi), B(x2, y2),則|AB| = d7xx2) 2+ (y y2尸.向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量 a=(xi, yi), b=(x2, /), a與b的夾角為9,貝 cos仁xix2+ yiy教材拓展補遺微判斷i,向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和.(X)3 .已知 a=(3, 5), b=(i, 2),則 a b = 3X i+ 5X2= i3.(，)4 .若兩個非零向量的夾角8滿足cos *0,則兩向量的夾角8一定是鈍角.(X)提示 當(dāng) 卜i80°時cos4i<0,但不是鈍角.微訓(xùn)練1 .已知向量 a= (4, -i), b= (x, 3),若間=|b|,則 x=

5、.答案刊22 .已知a=(3, 1), b=(1, 2),則a與b的夾角為.答案4微思考i .你能用向量法推導(dǎo)兩點間距離公式|AB| 二 yj (x2 xi) 2+ (y2 yi) 2 嗎？提示 AB=(X2xi, y2-yi), .AB /AB = AB2= AB|2=(x2-xi)2+(y2-yi)2,即|AB| =(x2-xi) 2+ (y2-yi) 2.2.已知非零向量a=(xi, yi), b=(x2, y2),問a與b夾角8的范圍與坐標(biāo)運算的 數(shù)量積的關(guān)系式是什么？提示(i)當(dāng)8為銳角或零角？ xix2+yiy2>0；(2)當(dāng) 8為直角？ xix2+yiy2 = 0；(3)當(dāng)

6、8為鈍角或平角? xix2+yiy2<0.課堂互動墨型剖析題型一 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算能熟練地運用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，是解決此類問題的關(guān)鍵【例Ji】 已知 a=(2, i), b=(i, i),則(a+2b) (a3b)=()A. i0B. - i0C. 3D. -3解析a +2b=(4, 3), a3b=(i, 2),所以(a + 2b) (a 3b) = 4X (i) + (3)X2= i0.答案 B規(guī)律方法 進行數(shù)量積運算時，要正確使用公式ab = xix2+yiy2,并能靈活運用以下幾個關(guān)系:|a|2=aa；(a+b) (ab)=|a|2|b|2；(a +b)2 = |

7、a|2+2a b+|b|2.【訓(xùn)練1】 已知a與b同向，b=(1, 2), ab=10.(1)求a的坐標(biāo)；(2)若 c=(2, 1),求 a(bc)及(a b)c.解 (1)設(shè)2= ;b=(入 2.1) (A0),則有 a b=在 4 上 10,入=2, .-.a=(2, 4).(2)bc= 1X2-2X 1 = 0, a b= 1X2 + 2X4=10,a(b c)= 0a = 0,(ab)c= 10(2, 1) = (20, 10).題型二平面向量的模先根據(jù)已知條件求出所求向量的坐標(biāo)，再利用向量的模長公式求解隋12 已知平面向量a=(3, 5), b=( 2, 1).求a-2b及其模的大小

8、； (2)若 c=a(a b)b,求 |c|.解(1)a=(3, 5), b=( 2, 1), .a 2b=(3, 5)-2(-2, 1)=(3 + 4, 5 2)=(7, 3), .|a-2b|=" + 32 =病(2)ab= 6+5= 1,c= a+ b= (1, 6), |c|=12+62=V37.規(guī)律方法求向量a=(x, y)的模的常見思路及方法求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，要靈活應(yīng)用公式a2 = |a|2 = x2+ y2,求模時,勿忘記開方.(2)aa= a2=|a|2或|a| = V?=tx2 + y2,此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù) 運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.【

9、訓(xùn)練 2 已知向量 a=(2, 1), ab=10, |a+b| = 5/2,則 |b|=()A.鄧B®C. 5D. 25解析,. a=(2, 1), ；a2=5,又|a+b|=52, . (a+b)2 = 50,即 a2+2a b+b2= 50, .5 + 2Xl0+b2=50, .b2=25, .|b| = 5.答案 C題型三 兩向量的夾角注意夾角范圍隋J 3】 已知OP=(2, 1), OA=(1, 7), OB=(5, 1),設(shè)C是直線OP上的一點(其 中O為坐標(biāo)原點).求使CA CB取得最小值時的Ob；(2)對(1)中求出的點C,求cos/ACB.解(1) ;點C是直線OP

10、上的一點,向量OC與OP共線，設(shè)OC=tOP(te R),則OC=t(2, 1)=(2t, t), .CA=OA-OC=(1-2t, 7-t),CB=OBOC=(52t, 1-t), .CA CB=(1 -2t)(5-2t)+(7-t)(1 -t)= 5t2 20t+12=5(t 2)28. 當(dāng)t=2時，CACB取得最小值，止匕時OC=(4, 2).(2)由(1)知OC=(4, 2), .CA=( 3, 5), CB=(1, 1), .|CA| = a, |CB|=也，CA CB= -3 5= 8. cos/ A('B=.Igai |chI /T717規(guī)律方法 應(yīng)用向量的夾角公式求夾角

11、時，應(yīng)先分別求出兩個向量的模，再求出 它們的數(shù)量積，最后代入公式求出夾角的余弦值，進而求出夾角.【訓(xùn)練 3】已知向量 a = ei e2, b= 4ei+3e2,其中 ei = (1, 0), 62= (0, 1).(1)試計算ab及|a+b|的值；求向量a與b夾角的余弦值.解 (1)a = ei _62 = (1, 0)(0, 1) = (1, 1), b = 4ei + 3& = 4(1, 0) + 3(0, 1) = (4, 3), .a b = 4X1 + 3X(1)=1,|a+ b=7(4+1) 2+ (3-1) 2 =<25+ 4=V29.設(shè)a, b=也 由 ab=|

12、a|b|cos 0,八 a b 12核心素養(yǎng)II至宜提升cos 仁麗=R'0.一、素養(yǎng)落地1 .通過學(xué)習(xí)數(shù)量積坐標(biāo)運算的推導(dǎo)， 培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).通過求向量的夾角和 模提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2 .注意掌握平面向量的數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示及相關(guān)問題：設(shè)a=(x1, y。，b =(x2, y2),則： a b=x1X2 + y1y2,|a|=、x2+y2,cos 仁X1X2+y1y2Vx2+y2 Vx2+y2.3 .向量的坐標(biāo)表示簡化了向量數(shù)量積的運算， 為利用向量法解決平面幾何問題以 及解析幾何問題提供了完美的理論依據(jù)和有力的工具支持.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.若向量 a=(x, 2), b=(1,

13、3), a b = 3,則 x=()_ 5_5A. 3B.3C.3D. -3解析 ab= x+6 = 3,故 x= 3.答案 A2.已知a=(也，一1), b=(1,小)，那么a, b的夾角8=()A.(B.C.4D6336-V3-V3J3一，一 5九斛析 cos 8=0,又因為 院0,九所以 仁. 2 人 226答案 D3.已知向量a=(1, V3), b=(3, m).若向量a, b的夾角為:，則實數(shù)m=()A. 2V3Ba/3C. 0D. -V3解析 ab=(1, V§)(3, m) = 3 + V3m,又 ab=Jl2+ (V3) 2x32+m2xcos . 3 +V3m=q

14、12+ (V3) 2 X.32+ m2 x cos 6,m=yf3.答案 B4.已知向量b與向量a= (1, 2)的夾角是180°,且|b|=3/5,則b=()A. ( 3, 6)B. (3, -6)C. (6, -3)D. (-6, 3)解析 由題意，設(shè)b=電=(入一2(K0),由于同= 3/5.；|b| = y 充 + ( 2力 2 =>/57 =35, .入 =3,即 b=(3, 6).答案 A課后作業(yè)尸質(zhì)捉有基礎(chǔ)達標(biāo)一、選擇題1 .設(shè)a=(1, 2), b=(1, m).若a與b的夾角為鈍角，則m的取值范圍是(),11A. (2, 十 °°)B. (

15、-00, 2)，11C. ( 2，+00)D. ( 3 2)解析 :a與b的夾角為鈍角，且a與b不反向,二 cos 仁a b麗<0a b<0,1 .1xi+2Xm<0,.m< 一.答案 D2 .已知向量a=(0, 2書)，b=(1,由)，則向量a在b方向上的投影數(shù)量為()A.3B. 3C. -a/3D. -3解析向量a在b方向上的投影數(shù)量為答案 D3.已知平面向量a與b的夾角為60°, A.V3B. 273C. 4解析 a=(2, 0), |b|=1,. |a| = 2, ab = 2x1Xcos 60:1. .|a+2b|=a2 + 4Xa b+4b2=25

16、.答案 B4.已知平面向量a=(2, 4), b=(1, A. 4也B. 2V5C. 8a b 6三=丁= 3.故選D.|b| 2a=(2, 0), |b|=1,則 |a+2b|=()D. 122),若 c= a- (a b)b,則 |c|=()D. 8近解析 易得 a b = 2X(1) + 4X2 = 6,所以 c=(2, 4) 6(1, 2)=(8, 8),所 以|c|=82+ (-8) 2 = 8版.答案 D5 .已知A, B, C是銳角 ABC的三個內(nèi)角，向量p=(sin A, 1), q=(1, -cos B), 則p與q的夾角是()A .銳角 B.鈍角C.直角D.不確定解析 因為

17、 ABC是銳角三角形，所以A+B>即 A>2- B.又因函數(shù)y= sin x在(一A j上單調(diào)遞增，所以sin A>sin(2-B) = cos B,所以p q= sin A-cos B>0,又因為p與q不共線，所以p與q的夾角是銳角.答案 A二、填空題6 .已知 a=(1, 1), b=(1, 2),則 a(a+2b) =.解析 a +2b=(1, 5), a (a+2b) = 1x(1) + 5X1=4.答案47 .已知向量 a=(43, 1), b=(0, 1), c= (k, 心,若 a 2b 與 c 共線，則 k =.解析 a 2b=(V3, 1) 2(0,

18、-1) = (V3, 3),又; a- 2b與c共線，m3Xk=0,解得 k= 1.答案18 .設(shè)向量 a=(m, 1), b=(1, 2),且|a+b|2 = |a|2+|b|2,則 m=.解析法一 a+b=(m+1, 3),又 |a+b|2=|a|2+|b|2. .(m+1)2 + 32=m2+1 + 5,解得m= 2.法二 由 |a+b|2=|a|2+|b|2,得 a b= 0,即 m+2=0,解得 m= - 2.答案 2三、解答題9 .已知向量a=(1, 2), b=(1,九 若a與b的夾角為銳角，求 人的取值范圍.解由 a b>0 貝U 1X12 A0,1 w k,又 awkb

19、(k>0),后2,一 2 w 入.k1入的取值范圍為點2且入w 2 .10 .已知a=(1, 1), b=(入1),若a與b的夾角a為鈍角，求實數(shù) 人的取值范 圍.解a=(1, 1), b=(A 1), . .|a|=小，|b|=r/1 + , a b= A 1. a, b的夾角a為鈍角.*1 ，A 1<0,2y 1 + % *1 A, 犬+2 計 1*0. - 2<1 J=L 2 1.入的取值范圍是(8, - 1)U(-1, 1).能力提升11.若角a頂點在坐標(biāo)原點O,始邊與X軸的正半軸重合，點P在a的終邊上,點Q(3, 4),且tan a= 2,則OP與OQ夾角的余弦值為()B.2511.511 5D.或或年解析,.tan a= 2,可設(shè) P(x, -2x),cos <OP, (OQ>OP OQ5x|OP| |OQ| 5V5x當(dāng) x>0 時，cosOP, OQ> =坐,當(dāng) x<0 時，cos <(OP, (OQ> =一穿.答案 C 12.設(shè) a=(1, 2), b=( 2, 3),又 c=2a+b, d = a+mb,若 c與 d 夾角為 45°, 求實數(shù)m