【新人教A版數(shù)學(xué)】必修二第六章《平面向量及其應(yīng)用》6.1

1、【新人教版】數(shù)學(xué)必修二第六單元平面向量及其應(yīng)用6.1平面向量的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量 與數(shù)量的區(qū)別.2.會(huì)用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別3理解零向 量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形 中這些相關(guān)的概念.知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)底礎(chǔ)0知識(shí)點(diǎn)一向量的概念1 .向量：既有大小乂有方向的量叫做向量.2 .數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱(chēng)為數(shù)量.知識(shí)點(diǎn)二向量的幾何表示1 .有向線段具有方囪的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方囪、近度，如圖所示.以A為起點(diǎn)、8為終點(diǎn)的有向線段記作檢，線段A8

2、的長(zhǎng)度叫做有向線段油的長(zhǎng)度記作防I.2 .向量的表示(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有 向線段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母“，b, c,表示(印刷用黑體a, b, cf書(shū)寫(xiě)時(shí)用 > a , b, c).3.模、零向量、單位向量向量檢的大小，稱(chēng)為向量屈的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)，記作師I.長(zhǎng)度為色的向量叫做零向 量，記作出長(zhǎng)度等于L個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.思考 ”向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說(shuō)法對(duì)嗎？答案 錯(cuò)誤.理由是：向量只有長(zhǎng)度和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要長(zhǎng)度 和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段有起

3、點(diǎn)、長(zhǎng)度和方向三 個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管長(zhǎng)度和方向相同，也是不同的有向線段.知識(shí)點(diǎn)三相等向量與共線向量1 .平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.（1）記法：向量”與平行，記作（2）規(guī)定：零向量與任意向量平行.2 .相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相回的向量叫做相等向量.3 .共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫 做共線向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共 線相混淆.思考（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）與 任意向量都平行的向量是什么向量？（4）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向 量一定是什么向

4、量？答案（1）不一定；（2）不一定；（3）零向量；（4）平行（共線）向量.-思考辨析 判斷正誤-1 .如果筋1>1而1,那么檢>eb.（ x ）提示向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小.2 .若明力都是單位向量，則“=.（X ）提示“與方都是單位向量，則卬=族1=1,但。與的方向可能不同.3 .力、速度和質(zhì)量都是向量.（X ）提示質(zhì)量不是向量.4 .零向量的大小為0,沒(méi)有方向.（X ）提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升一、向量的概念 例1 （多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A.向量檢與向量麗的長(zhǎng)度相等B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相

5、同C.零向量都是相等的D.若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等答案BCD解析 兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不 一定相同；零向量的模都是0,但方向不確定；兩個(gè)單位向量也可能反向，則不 相等，故B, C, D都錯(cuò)誤，A正確.反思感悟解決向量概念問(wèn)題一定要緊扣定義，對(duì)單位向量與零向量要特別注意 方向問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練1下列說(shuō)法中正確的是（）A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的模可以比較大小答案D解析不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A, B不正確；向量的大 小即為向

6、量的模，指的是有向線段的長(zhǎng)度，與方向無(wú)關(guān)，故C不正確；向量的 模是一個(gè)數(shù)量，可以比較大小，故D正確.二、向量的幾何表示及應(yīng)用例2 一輛汽車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了 100 km到達(dá)8點(diǎn)，然后又改變方向，向 西偏北50。的方向走了 200 km到達(dá)。點(diǎn),最后又改變方向，向東行駛了 100 km 到達(dá)D點(diǎn).（1）作出向量油，BC, CDx求麗.解（1）向量檢，bc, e力如圖所示.（2）由題意，可知前與方向相反，故筋與e力共線,VIA&I = ICZ)I,在四邊形 ABC。中，A8CO 且 A8=C。,四邊形48co為平行四邊形, ：.AD=BC9 ：.AD = BC=200 km.反思感悟作

7、向量的方法準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的 大小確定向量的終點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練2在如圖的方格紙上，已知向量小 每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.試以8為終點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量，使=/（2）在圖中畫(huà)一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c,使ld=木，并說(shuō)出向量c的終點(diǎn)的軌跡是 什么？解（1）根據(jù)相等向量的定義，所作向量力與向量“方向相同，且長(zhǎng)度相等（作圖 略）.由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為小 的圓（作圖略）.三、相等向量與共線向量例3如圖所示，ZXABC的三邊均不相等，E, F,。分別是AC, AB, 8c的中寫(xiě)出與辭共線的向量；(2)寫(xiě)出模與前的模相等的向量

8、；寫(xiě)出與前相等的向量.解(1)因?yàn)槭?，尸分別是AC, 48的中點(diǎn)，所以 EFBC, EF=BC.又因?yàn)?。是BC的中點(diǎn)，所以與前共線的向量有厚，冊(cè),DB, DC. CD. BC, CB.(2)模與前的模相等的向量有年，曲,DB,反，CD.(3)與辭相等的向量有方及CD.反思感悟相等向量與共線向量的探求方法尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪 些是同向共線.尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造 同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起 點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，。是正六邊形ABCDEF的中心.與萬(wàn)1

9、的模相等的向量有多少個(gè)？(2)是否存在與晶長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個(gè)?與萬(wàn)1共線的向量有幾個(gè)？解(1)與為的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如08),而每一條線段可以有 兩個(gè)向量，所以這樣的向量共有23個(gè).(2)存在.由正六邊形的性質(zhì)可知，8C4OE凡所以與醇的長(zhǎng)度相等、方向相 反的向量有最,歷，電BC,共4個(gè).(3)由(2)知，BC/OA/EF.線段O。，AO與。4在同一條直線上，所以與為共 線的向量有反?，CB, EF, FE, AO, OD, 前，AD, DA,共9個(gè).-核心素養(yǎng)之邏輯推理- 特殊向量的作用 典例給出下列命題：若“，則a與b的方向相同或相反；若 a/b, b

10、/c,則“c；若兩個(gè)模相等的向量互相平行，則這兩個(gè)向量相等；若 “=，b=c,則 ”=c,其中正確的是.(填序號(hào))答案解析由于零向量的方向是任意的，且規(guī)定與任意向量平行，故取 =0,則對(duì) 于任意的向量心 都有乩 知錯(cuò)誤；取力=0,則對(duì)于任意的向量明 c都有 a/b, b/c,知錯(cuò)誤；兩個(gè)模相等的向量互相平行，方向可能相反，知錯(cuò)誤; 由兩個(gè)向量相等的概念可知正確.素養(yǎng)提升(1)本題主要考查相等向量，共線向量與零向量的概念，需要準(zhǔn)確理 解概念進(jìn)行推理，這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中邏輯推理的核心素養(yǎng).特殊向量的性質(zhì)往往與一般向量有所不同，在解題中應(yīng)單獨(dú)加以臉證，不能 混淆.隨堂演練例如：零向量與任意向量平行，解

11、題時(shí)要驗(yàn)證取零向量時(shí)是否成立.基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用1 .在同一平面內(nèi)，把所有長(zhǎng)度為1的向量的起點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn) 形成的軌跡是()B.一段弧D.直線A.單位圓C.線段答案A2 .（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A.共線的兩個(gè)單位向量相等B.相等向量的起點(diǎn)相同C.若彳&而，則一定有直線ABCOD.若向量趨，共線，則點(diǎn)A, B, C,。必在同一直線上答案ABCD解析 A錯(cuò)，共線的兩個(gè)單位向量的方向可能相反；B錯(cuò)，相等向量的起點(diǎn)和終 點(diǎn)都可能不相同；C錯(cuò)，直線AB與CO可能重合；D錯(cuò)，AB與C。可能平行， 貝44, B, C,。四點(diǎn)不共線.3 .若筋1 = 1屐）1且眉二而，則四邊形A8

12、CO的形狀為（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形答案C解析因?yàn)辂?，所以四邊形48co為平行四邊形， 又筋1 =應(yīng)由，即鄰邊相等, 所以四邊形48CO為菱形.,（填序4 .如圖所示，設(shè)。是正方形A8CO的中心，則下列結(jié)論正確的有號(hào)）5=元Ad 公：/6與共線;®AO=BO.答案 解析血與反方向相同，長(zhǎng)度相等，正確；A, O, C三點(diǎn)在一條直線上，.AO/ACt 正確；:AB1/DC,，檢與的共線，正確；歷與防方向不同，二者不相等，錯(cuò)誤.5.已知A, B, C是不共線的三點(diǎn)，向量，與向量油是平行向量，與求是共線向 量，則加=.答案0解析篇與比不共線，零向量的方向是任意的，它與

13、任意向量平行，所以唯有 零向量才能同時(shí)與兩個(gè)不共線向量平行.課堂小結(jié)-1 .知識(shí)清單：(1)向量的基本概念.(2)向量的幾何表示.(3)相等向量與共線向量(平行向量).2 .方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3 .常見(jiàn)誤區(qū)：忽視零向量這一特殊向量.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)力基礎(chǔ)鞏固1 .給出下列物理量：質(zhì)量；速度；位移；力；路程；功；加速度.其中是向量的有()A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)答案A解析 速度、位移、力、加速度，這4個(gè)物理量是向量，它們都有大小和方向.2 .（多選）下列命題中錯(cuò)誤的有A.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量B.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)C向量與b不共線，則“與b都是非零向量D.若卬

14、1"則公功答案ABD解析溫度沒(méi)有方向，所以不是向量，故A錯(cuò)；向量的模也可以為0,故B錯(cuò); 向量不可以比較大小，故D錯(cuò)；若“，中有一個(gè)為零向量，則a與必共線， 故若“與不共線，則應(yīng)均為非零向量，故C對(duì).3 .設(shè)O是ABC的外心，則BO,力是（ ）A.相等向量B.模相等的向量C.平行向量D.起點(diǎn)相同的向量答案B解析 因?yàn)?。是ABC的外心，所以加1 = 1歷1 = 1歷I.4 .如圖所示，梯形A8CO為等腰梯形，則兩腰上的向量屈與比的關(guān)系是（X.AB=DCD.AB<DCC.AB>DC 答案B 解析師I與I反I表示等腰梯形兩腰的長(zhǎng)度，故相等.5 .下列說(shuō)法正確的是（）A.若“6,

15、則B.若=血，則C.若a=b,則與共線D.若“工人則a一定不與共線答案C解析 A中，當(dāng)“辦時(shí)，不能得到A不正確；B中，向量的模相等，但 “與力的方向不確定，B不正確；D中，可與共線.6 .若A地位于8地正西方向5 km處，C地位于A地正北方向5 km處，則C地 相對(duì)于8地的位移的大小是km,方向是.答案5西北方向7 .已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，ZABC=60°f則I筋1=答案2小解析 由題意知AC_L8。，且448。=30。，設(shè)4C與8。的交點(diǎn)為O,：.Rt/ABO 中，I歷l = lASlcos300 = 2x¥=5，：.BD = 2BO = 2.8 .如圖，在菱形

16、48。中，NBAO=120。，則以下說(shuō)法正確的是.（填序 號(hào)）與施相等的向量只有1個(gè)（不含筋）;與腦的模相等的向量有9個(gè)（不含篇）;前的模恰為民的模的十倍；油與反不共線.解析 由于檢=灰，因此與油相等的向量只有力己而與牯的模相等的向量有 DA, DC, AC, CB, AD, CD, CAf BC, BAt 因此選項(xiàng)®正確.而 RtaAO。 中，因?yàn)镹AOO = 30。，所以I及1=41反I,故I加1 =小1aI,因此選項(xiàng)正確. 由于屈=殖，因此。與£4是共線的，故填9 .如圖所示，在四邊形A8CO中，AB=DC, M M分別是A。，8c上的點(diǎn)，且函 =MA,求證：DN=M

17、B.證明,：AB=DCi ：,AB=DC 且 AB/DC.四邊形48C。是平行四邊形，：.CB=DA,又函=必，:.CN=MA, CNM4,四邊形CN4M是平行四邊形，：.CM=NAt ：.CM=NAt CMNA.'：CB=DAf CM=NA,:.MB=DN.又。NM8,加與血的模相等且方向相同，：.DN=MB.10.一輛消防車(chē)從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30。方向行駛2千米 到。地，然后從。地沿北偏東60。方向行駛6千米到達(dá)。地，從C地乂向南偏 西30。方向行駛2千米才到達(dá)B地.北（1）畫(huà)出國(guó)），DC, CB, AB；求8地相對(duì)于A地的位移.解（1）向量廢），DC. CB,

18、后如圖所示.（2）由題意知方）=反?,J.AD/BC. AD=BC9則四邊形48co為平行四邊形, ：.AB=DC9則8地相對(duì)于A地的位移為“北偏東60。，長(zhǎng)度為6千米綜合運(yùn)用11 .如圖所示，四邊形48cO, CEFG, CG”。是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A.L4BI = IEF1C.冊(cè)與由共線 答案CB.4&與京共線D.CD = FG12 .在如圖所示的半圓中，A8為直徑，點(diǎn)。為圓心，。為半圓上一點(diǎn)，且NOC8= 30°,腦 1 = 2,則應(yīng)1=.答案1解析 連接 AC, iOC = OB ZABC= ZOCB=30°,又 NACB=90。，則應(yīng)1=；屬 l=；X2=L13 .已知在四邊形A8CD中，比=病且防1 = 1質(zhì)）1 = 1反1 = 2,則該四邊形內(nèi)切圓 的面積是.答案T解析 由沈=Q知四邊形ABCD為平行四邊形，由防1 = 1防1 = 1比I知四邊形 ABC。為菱形，A8。為等邊三角形，故N48c=120。，菱形的內(nèi)切圓圓心。在 對(duì)角線8。的中點(diǎn)處，令其半徑為八 則,=k防Isin 60。=號(hào)，所以S氏=兀/=14 .一艘海上巡邏艇從港口向北航行了 30 km,這時(shí)接到求救信號(hào)，在巡邏艇的正 東方向40 km處有一艘漁