【KS5U解析】2020屆高三普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)考試伯樂馬模擬考試（八）文科數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬模擬考試（八）文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效.3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先求出集合a,b，再求交集即可【詳解】解：，.故選：c，【點(diǎn)睛】此題考查集合的交集運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題2. 已知且滿足，則（ ）a. 1b. 3c. 4d. 5【答案】a【解析】【分析】根據(jù)條件建立方程求解即可.【詳解

2、】設(shè)，由題意得，.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查的是由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，較簡(jiǎn)單.3. 若拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，則（ ）a. 2b. 4c. d. 【答案】c【解析】【分析】由拋物線的定義可得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，從而可得答案【詳解】解：由題意得，.故選：c【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.4. 已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】變形，利用指對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及中間量比較大小可得解.【詳解】，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，則所以故選：a【點(diǎn)睛】本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5. 垃圾分類(英文名為garbage classification)，一般是指按一

3、定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱。垃圾分類可以提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，力爭(zhēng)物盡其用。為進(jìn)一步在社會(huì)上普及垃圾分類知識(shí)，某中學(xué)學(xué)生積極到社會(huì)上舉行垃圾分類的公益講座，該校學(xué)生會(huì)為了解本校高一年級(jí)1000名學(xué)生課余時(shí)間參加公益講座的情況，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：參加場(chǎng)數(shù)01234567參加人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比8%10%20%26%18%12%4%2%下列估計(jì)該校高一學(xué)生參加公益講座的情況正確的是（ ）a. 參加公益講座次數(shù)是3場(chǎng)的學(xué)生約為360人b. 參加公益講座次數(shù)是2場(chǎng)或4場(chǎng)的學(xué)生約為480人c. 參加

4、公益講座次數(shù)不高于2場(chǎng)的學(xué)生約為280人d. 參加公益講座次數(shù)不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為360人【答案】d【解析】【分析】根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表中數(shù)據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：估計(jì)該校高一學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為：人，參加公益講座次數(shù)是3場(chǎng)的學(xué)生約為人，參加公益講座次數(shù)是2場(chǎng)或4場(chǎng)的學(xué)生約為人，參加公益講座次數(shù)不高于2場(chǎng)的學(xué)生約為人；故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)表的應(yīng)用，考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力，屬于基礎(chǔ)題.6. 下列命題正確的是（ ）a. 是的必要不充分條件b. 是的充分不必要條件c. 中，是的充要條件d. 命題“，”的否定是“，”【答案】c【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)， 是的非充分非必要條

5、件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)， 是的必要非充分條件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，中，是的充要條件，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，命題“，”的否定是“，”，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，時(shí)，不成立；成立時(shí)，不成立，所以是的非充分非必要條件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，時(shí)，不一定成立；成立時(shí)，一定成立，所以是必要非充分條件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，成立時(shí)，成立；時(shí)，成立，所以中，是的充要條件，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，命題“，”的否定是“，”，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定，考查特稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7. 在等腰梯形中，則（ ）a. b

6、. 3c. d. 12【答案】d【解析】【分析】由平面幾何知識(shí)得出梯形中的邊角關(guān)系，再運(yùn)用向量的加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化向量，代入運(yùn)用向量的數(shù)量積定義運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】作出圖示如下圖所示，作，因?yàn)?，所以，所以，所以，又?中，所以，.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何圖形中的向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)平面幾何知識(shí)得出邊角的關(guān)系，再運(yùn)用向量的線性表示轉(zhuǎn)化向量，運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8. 函數(shù)的圖像大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由定義域?yàn)椋懦齛 d，令，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，所以恒成立排除c即可.【詳解】由定義域?yàn)椋懦齛 d，令，當(dāng)，單調(diào)遞減

7、，當(dāng)，單調(diào)遞增，則在處取得極小值，也即為最小值.，所以恒成立；排除c.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖像的問(wèn)題.屬于較易題.9. 給出下列命題：直線平面，直線直線，則；夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面；直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行；，是異面直線，則存在平面，使它與，都平行且與，的距離相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）a. lb. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】對(duì)于直線可能在平面內(nèi)，對(duì)于根據(jù)面面平行進(jìn)行證明，對(duì)于如果這兩點(diǎn)在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交，對(duì)于找出符合條件的平面即可【詳解】解： 錯(cuò)誤直線可能在平面內(nèi)

8、正確平面，且、分別為、的中點(diǎn)，過(guò)作交平面于，連接、設(shè)是的中點(diǎn)，則，平面，平面平面平面平面，錯(cuò)誤如果這兩點(diǎn)在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交正確，設(shè)是異面直線、的公垂線段，為的中點(diǎn)，過(guò)作，則、確定的平面即為與、都平行且與、距離相等的平面，并且它是唯一確定的因此2個(gè)假命題，2個(gè)真命題故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了線線，線面，面面平行關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意這三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題10. 已知函數(shù)，若恰有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】恰有1個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)，而直線恒過(guò)點(diǎn)，結(jié)合圖可得答案【詳解】恰有1個(gè)零點(diǎn)即與的圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)，

9、恒過(guò)點(diǎn)，由得，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，由得，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，所以結(jié)合圖像可知，恰有1個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).故選：d【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.11. 已知橢圓，點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由題意知為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義可得，然后結(jié)合圖形可得答案.【詳解】由題意知為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義知，所以.又，如圖，設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn).當(dāng)為點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查的是橢圓的定義的應(yīng)用，屬于常考題型.12. 方程在的解為，

10、則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先根據(jù)的范圍求得，結(jié)合函數(shù)圖象對(duì)稱性得，將換掉求得，然后根據(jù)范圍結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，是的兩根，結(jié)合圖像可知或即或，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋?，所以，所以，所以；?dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以，且所以，所以，所?綜上兩個(gè)情況都有，故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.二、填空題：13. 已知，則_.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及正弦的倍角公式，將目標(biāo)式化為含正切的代數(shù)式，代值即可求得結(jié)果.【詳解】由，得

11、.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查用誘導(dǎo)公式以及倍角公式化簡(jiǎn)求值，屬綜合基礎(chǔ)題.14. 已知正三棱錐中，兩兩互相垂直，若，則正三棱錐外接球的表面積為_.【答案】【解析】【分析】由題意可得該三棱錐外接球與以，為棱長(zhǎng)的正方體的外接球的半徑相同，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于正方體的外接球的直徑，利用球的表面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】正三棱錐，兩兩互相垂直，所以，則該三棱錐外接球與以，為棱長(zhǎng)的正方體的外接球的半徑相同，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于正方體的外接球的直徑，即，所以該三棱錐外接球的表面積為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求法，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：若三條棱兩兩垂直則

12、用（a,b,c為三棱的長(zhǎng)）；若面abc（sa=），則（r為外接圓半徑）；可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球.15. 已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集為_.【答案】【解析】【分析】由題得函數(shù)為上的增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即得解.【詳解】所以所以函數(shù)為上的增函數(shù)，.所以不等式的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16. 的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若的面積為，則其周長(zhǎng)是_.【答案】15【解析】【分析】根據(jù)余弦定理到，根據(jù)面積公式到，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)余弦定理：.根據(jù)面積公式：，故.故，故，故

13、周長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和面積公式，意在考查學(xué)生計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題17. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的基本量轉(zhuǎn)化已知條件，解方程求得首項(xiàng)和公比，則問(wèn)題得解；（2）根據(jù)（1）中所求得到，再用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以?因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以解得，或.又因?yàn)椋允沁f增

14、的等比數(shù)列，所以，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知.則，在式兩邊同時(shí)乘以3得，-得，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)例基本量的計(jì)算，以及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬綜合基礎(chǔ)題.18. 如圖1，平面四邊形中，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，現(xiàn)沿將折起，使，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由已知條件可證得，所以平面，又平面，由面面垂直的判定定理可得到證明.（2）利用等體積進(jìn)行計(jì)算即可得到所求距離.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)楹途鶠檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，且，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，平面，平?/p>

15、，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知，平面，三棱錐的體積設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則由題意中，,中pa邊上的高為，,由（1）知， ，.所以，點(diǎn)到的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19. 某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人。萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽的內(nèi)容。同時(shí)提供快樂兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新。萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎。為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司

16、研究部門從流水線上隨機(jī)抽取200件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），免費(fèi)送給家長(zhǎng)試用，試用結(jié)束后將200件產(chǎn)品的試用報(bào)告收回，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品歡迎度達(dá)80%（即80%的產(chǎn)品受家長(zhǎng)歡迎），研究部門同時(shí)統(tǒng)計(jì)了產(chǎn)品的性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合小托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱第1組產(chǎn)品），性能指數(shù)在的適合大托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱第2組產(chǎn)品），性能指數(shù)在的適合小班幼兒使用（簡(jiǎn)稱第3組產(chǎn)品），性能指數(shù)在的適合中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱第4組產(chǎn)品），性能指數(shù)在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱第5組產(chǎn)品）.（1）求；（2）現(xiàn)在要從第1組和第2組中用分層抽樣的方法抽取5件產(chǎn)品，并再?gòu)倪@5件中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行測(cè)試，求這兩件恰

17、好屬于不同組別的概率；（3）把在第1，2，3組的產(chǎn)品稱為標(biāo)準(zhǔn)版，在第4，5組的產(chǎn)品稱為提高版，若選出的200件中不受家長(zhǎng)歡迎的標(biāo)準(zhǔn)版產(chǎn)品有30件，問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為是否受家長(zhǎng)歡迎與性能指數(shù)有關(guān)？附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，.【答案】（1）；（2）；（3）沒有99%的把握認(rèn)為是否受家長(zhǎng)歡迎與性能指數(shù)有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和等于1，結(jié)合頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，即可得出答案；（2）由分層抽樣的性質(zhì)得出第1，2組選取的產(chǎn)品數(shù)，列舉出所有情況，再由概率公式求解即可

18、；（3）列出列聯(lián)表，計(jì)算，即可作出判斷.【詳解】（1），.（2）由題意可知從第1組選取的產(chǎn)品數(shù)為件，設(shè)為，從第2組選取的產(chǎn)品數(shù)為件，設(shè)為，.從這5件中隨機(jī)抽取2件的所有情況有：，共10種.這兩件恰好屬于不同組別有，共6種.所求的概率為.（3）選出的200件產(chǎn)品中，各組的產(chǎn)品數(shù)分別為：第1組：件，第2組：件，第3組：件，第4組：件，第5組：件.標(biāo)準(zhǔn)版有件，提高版有件，80%的產(chǎn)品受家長(zhǎng)歡迎，即有件不受家長(zhǎng)歡迎，選出的200件中不受家長(zhǎng)歡迎的標(biāo)準(zhǔn)版產(chǎn)品有30件，選出的200件中不受家長(zhǎng)歡迎的提高版產(chǎn)品有10件.于是得列聯(lián)表：受家長(zhǎng)歡迎不受家長(zhǎng)歡迎合計(jì)標(biāo)準(zhǔn)版9030120提高版701080合計(jì)160

19、40200沒有99%的把握認(rèn)為是否受家長(zhǎng)歡迎與性能指數(shù)有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)全頻率分布直方圖，古典概型概率公式的應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.20. 已知函數(shù).（1）判斷在上的單調(diào)性；（2）時(shí)，求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.【答案】（1）在上為單調(diào)增函數(shù)；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）要判斷在上的單調(diào)性，只需研究的值域，進(jìn)一步研究的取值情況即可. （2）由（1）知，在單調(diào)遞增，且易證，所以只需證明當(dāng)時(shí)，此結(jié)論易證.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù).（2），即，由（1）知，在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，即，所以要證明原不等式成立，只需證明

20、，令，則，得，在上單調(diào)遞減，可知，因?yàn)?，所以時(shí)，即.所以，原不等式成立.【點(diǎn)睛】考查函數(shù)單調(diào)性的求法以及函數(shù)型不等式的證明，注意兩個(gè)問(wèn)題之間的聯(lián)系，屬于難題.21. 已知圓，拋物線，傾斜角為直線過(guò)的焦點(diǎn)且與相切.（1）求的值；（2）點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)在上，在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，設(shè)四邊形為平行四邊形，求證：點(diǎn)在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）依題意設(shè)直線的方程為，解方程即得的值；（2）依題意設(shè)，根據(jù)四邊形為平行四邊形，求出，即得解.【詳解】（1）依題意設(shè)直線的方程為，由已知得，圓的圓心，半徑因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離.即，解得或（舍去），所以.（2）依

21、題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)，則以為切點(diǎn)的切線的斜率為，所以切線的方程為.令，即交軸于點(diǎn)坐標(biāo)為.四邊形為平行四邊形，所以，所以，.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查拋物線中的定直線問(wèn)題 ，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.（二）選考題：請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若上恰有2個(gè)點(diǎn)到的距離等于