關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個問題_馬云鵬

1、第卷第期年月 ， 關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個問題馬云鵬（東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林長春）摘要：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（年版）提出個核心素養(yǎng)，從學(xué)生發(fā)展和數(shù)學(xué)課程教學(xué)的角度理解，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的四方面內(nèi)容有密切關(guān)系。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有綜合性、階段性和持久性的特征。數(shù)學(xué)基本思想統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更側(cè)重數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深層次目標(biāo)，數(shù)學(xué)思想方法更強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中運用的反映一定數(shù)學(xué)思想的具有操作性的方法。關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思想方法中圖分類號：文獻(xiàn)標(biāo)志碼：文章編號：（）標(biāo)準(zhǔn)中只是提出并解釋了這些詞的含義，并未明確

2、稱之為“概念”。這些內(nèi)容在年的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）中已經(jīng)出現(xiàn)了六個，標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）解讀稱之為核心詞。核心詞和核心概念都是習(xí)慣性的說法，并不是確切的表述。本文將這些表述稱為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，一方面是由于這些表述是數(shù)學(xué)知識技能上位的東西，與數(shù)學(xué)能力相關(guān)，但又不限于數(shù)學(xué)能力，很大程度上反映了數(shù)學(xué)思想；另一方面，核心素養(yǎng)是近年來關(guān)注較多的一個問題，用核心素養(yǎng)描述這些表述要比核心詞和核心概念更貼切，更符合這些表述所反映的實質(zhì)。收稿日期：作者簡介：馬云鵬，年生，男，吉林洮南人，東北師范大學(xué)教育學(xué)部教授，博士生導(dǎo)師，中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會副理事長，國家基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會委

3、員，教育部高等學(xué)校小學(xué)教師培養(yǎng)教學(xué)指導(dǎo)委員會副主任，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育、基礎(chǔ)教育課程、學(xué)校改進(jìn)等研究。隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，人們越來越關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，更關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問題更引起廣泛的討論。如何理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)思想方法等之間的關(guān)系如何，本文試對這些問題談一談自己的理解。一、對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的基本素養(yǎng)。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（年版）（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)）明確提出個核心素養(yǎng)，即數(shù)感、符

4、號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（年版）解讀等一些材料中，曾把這些表述稱為核心概念，但嚴(yán)格意義上講，把這些表述稱為“概念”并不合適，它們是思想、方法或者關(guān)于數(shù)學(xué)的整體理解與把握，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)。因此，把這個表述稱為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是恰當(dāng)?shù)?。?shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)··學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力。核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識技能。核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、階

5、段性和持久性。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和內(nèi)容直接相關(guān)，對于理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)，以及開展數(shù)學(xué)評價等有著重要的意義和價值?！皵?shù)學(xué)素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關(guān)心、會思考的市民的需要而具備的認(rèn)識，并理解數(shù)學(xué)在自然、社會生活中的地位和能力，作出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動的能力。”可見，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起來的認(rèn)識、理解和處理周圍事物時所具備的品質(zhì)，通常是在人們與周圍環(huán)境產(chǎn)生相互作用時所表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略。人們所遇到的問題可能是數(shù)學(xué)問題，也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問題，而具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人可以從數(shù)學(xué)的角度看待問題，可以用數(shù)學(xué)的思維方法

6、思考問題，可以用數(shù)學(xué)的方法解決問題。比如，人們在超市購物時常常發(fā)現(xiàn)這樣的情境，收銀臺前排了長長的隊等待結(jié)賬，而只買一兩樣?xùn)|西的人也同樣和買多樣?xùn)|西的人排隊等候。有位數(shù)學(xué)家看到這種情境馬上想到，能否考慮為買東西少的人單獨設(shè)一個出口，這樣可以免去這些人長時間地等候，會大大提高效率。那么問題就出現(xiàn)了，什么叫買東西少，件、件、件或件，上限是多少？設(shè)定不同件數(shù)會對收銀的整體情況產(chǎn)生什么影響？因此，會想到用統(tǒng)計的方法，收集不同時段買不同件數(shù)東西人的數(shù)量，用這個數(shù)據(jù)可以幫助人們作出判斷。在這個過程中，至少從兩個方面反映面對這樣的情境，具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有助于幫助人們提出問題和解決問題。首先是數(shù)感，具有數(shù)感的

7、人會有意識地把一些事情與數(shù)和數(shù)量建立起聯(lián)系，認(rèn)識到排隊結(jié)賬這件事中有數(shù)學(xué)問題，人們買東西的數(shù)量（個數(shù)）與結(jié)賬的速度有關(guān)系。買很少的東西也同樣排很長時間隊，一方面會顯得交款處排很長的隊，另一方面這些只買很少東西的人在心理上會產(chǎn)生焦慮。其次是數(shù)據(jù)分析觀念，解決這個問題時需要數(shù)據(jù)分析觀念，用具體的數(shù)據(jù)說話會有說服力地解決這個問題。從這個例子中可以了解到，具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)可能有助于人們在具體的情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題。而這個情境本身可能并非有明顯的數(shù)學(xué)問題。標(biāo)準(zhǔn)提出的這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一般與一個或幾個學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)容有密切的關(guān)系。某些核心素養(yǎng)與單一的學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)容相關(guān)。例如，數(shù)感、符號意識、運算能力與“

8、數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域直接相關(guān)。在學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算、字母表示數(shù)等內(nèi)容時與這些核心素養(yǎng)直接聯(lián)系。數(shù)的認(rèn)識的學(xué)習(xí)過程有利于形成學(xué)生的數(shù)感，數(shù)感的建立有助于學(xué)生對數(shù)的理解和把握?？臻g觀念與“圖形與幾何”領(lǐng)域密切相關(guān)。學(xué)習(xí)圖形的認(rèn)識和圖形的關(guān)系等內(nèi)容應(yīng)注重學(xué)生空間觀念的發(fā)展。學(xué)生探索一個正方體有多少個面，怎樣求易拉罐的表面積等內(nèi)容時都需要空間觀念的支撐。數(shù)據(jù)分析觀念與“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域直接相關(guān)，數(shù)據(jù)的收集、整理、呈現(xiàn)和判斷的整體過程是形成學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念的過程。有些核心素養(yǎng)與幾個領(lǐng)域都有密切的關(guān)系，不直接指向某個單一的領(lǐng)域，包括幾何直觀、推理能力和模型思想。幾何直觀在學(xué)習(xí)圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)等領(lǐng)域的內(nèi)

9、容時都會用到。在解決具體數(shù)學(xué)問題時，可以采用畫圖的方法幫助理解數(shù)與代數(shù)問題中的數(shù)量關(guān)系。推理能力在幾個領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中都會用到。推理在幾何中經(jīng)常運用，特別是初中階段的平面幾何的證明。在數(shù)與代數(shù)中也常常用到推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中歸納是常用的思維方式。演繹也會經(jīng)常用到，最簡單的在表述一些運算的算理時，其實用到了演繹推理的方法。如在學(xué)習(xí)“以內(nèi)退位減法”時，“看減法，想加法”是用加減之間互為逆運算的方法來算的。而這個過程通常表述為，“因為，所以”，這里事實上沒有把“加減之間互為逆運算”這個大前提表述出來，加上這個大前提就是一個完整的演繹推理的過程。模型思想同樣在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”以及“統(tǒng)計與概率”

10、中都會用到。如“時、分、秒”可以從建立時間模型的角度理解。方程的學(xué)習(xí)更是一個建模的過程。數(shù)軸和直角坐標(biāo)系都是刻畫空間位置的模型?！白詈唵蔚囊痪S幾何模型是一條線，如果在線上標(biāo)出原點、單位、方向，··則稱這樣的線為數(shù)軸?！薄皩嵺`意識”與“創(chuàng)新意識”具有綜合性、整體性，在“綜合與實踐”領(lǐng)域中有突出的表現(xiàn)，但不局限于這個方面的內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)是貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)教育全過程。 本節(jié)觀摩課由山東劉萬元老師執(zhí)教。二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特征按照上述對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有綜合性、階段性和持久性的特征。我們不妨用一個與“幾何直觀”有關(guān)的例子來說明數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個特征。在年第十一屆全國小學(xué)

11、數(shù)學(xué)觀摩課中一節(jié)“分?jǐn)?shù)乘法”的教學(xué)中，要解決的問題是“每小時織圍巾米，小時織多少米？”。教師引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法解決×。教師引導(dǎo)學(xué)生：“如果用一個長方形表示米長的圍巾，我們應(yīng)該先畫什么，再畫什么？”學(xué)生人一組畫圖表示這一數(shù)量關(guān)系。然后展示學(xué)生的不同表示方法。其中有兩種典型的方法如下：兩種方法的不同在于第二步，方法在第二次分的時候仍然是按第一次分的同樣方式把一個小長方形平均分成份；方法卻用畫一條小橫線的方式來分。兩種方法看起來沒有差別，但當(dāng)教師問：為什么得到的結(jié)果是的時候，第種方法就顯得比第種方法更清楚。一個男生說了一句關(guān)鍵性的話“加一個輔助線”，形成下面的情況。在這個圖中可以清楚地看

12、到的是，也就是×。借助上面的案例，我們來分析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特征。首先是綜合性。綜合性是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本能力、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)態(tài)度等的綜合體現(xiàn)。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本能力可以看作數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外顯表現(xiàn)。在上面用幾何直觀表示分?jǐn)?shù)乘法的過程中，需要運用分?jǐn)?shù)的意義、乘法的意義、乘法運算、用圖表示分?jǐn)?shù)等基礎(chǔ)知識和基本技能。同時，學(xué)生要思考用什么樣的方式可以更好地表示出這樣一種數(shù)量關(guān)系。這是一種綜合的能力。核心素養(yǎng)總是基于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本能力實現(xiàn)的，并且外化于運用基礎(chǔ)知識和基本能力解決問題的過程。同時，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也促進(jìn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的深刻理解和數(shù)學(xué)基本能力的提升。數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)態(tài)

13、度作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)隱特質(zhì)。核心素養(yǎng)的形成需要對數(shù)學(xué)內(nèi)部和數(shù)學(xué)外部之間的各種關(guān)系進(jìn)行深入理解和綜合運用，在這個過程中，數(shù)學(xué)的思考能力和思考方式以及數(shù)學(xué)態(tài)度起著重要作用，而這種作用往往不是直接看到的，是內(nèi)隱于解決問題過程之中的。在上面的例子中，教師已經(jīng)事先提示學(xué)生，用一個長方形表示一個米長的圍巾，并事先準(zhǔn)備好長方形紙，讓學(xué)生來做，以及提示學(xué)生先畫什么，再畫什么。如果教師不用這樣的提示，可能學(xué)生會作出各種不同的幾何直觀的表示方式。這會顯示出學(xué)生不同的思考方式和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的態(tài)度。其次是階段性。階段性是指學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)為不同層次水平、不同階段。在上面的例子中，學(xué)生用不同的方式表現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘法

14、的過程。分一個長方形的方式和順序不同，表現(xiàn)了學(xué)生運用幾何直觀的不同水平。五年級的學(xué)生可以在一個圖中表示出兩種不同的數(shù)量關(guān)系，并理解它們之間的聯(lián)系。而低年級的學(xué)生可能達(dá)不到這種水平。在一個圖中只表達(dá)一種數(shù)量關(guān)系。到了初中，學(xué)生可以用更復(fù)雜的方式表達(dá)數(shù)量關(guān)系，幾何直觀的水平會更高。這反映了幾何直觀的不同階段。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平和層次劃分，是一個復(fù)雜的問題，不同的核心素養(yǎng)也有各自的特點。這將是一個值得深入研究的問題。最后是持久性。持久性是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與把握，還是伴隨學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)，以及將來走向生活和工作的歷程。在上面的例子中，運用圖表等直觀··

15、;的形式表達(dá)復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的能力，作為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可以一直伴隨他的學(xué)習(xí)和生活。學(xué)生到中學(xué)、大學(xué)，乃至走向生活和工作，也會有意識地運用幾何直觀的方式解決問題，包括數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)以外的問題。這體現(xiàn)了這一核心素養(yǎng)的持久性。三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與相關(guān)概念的關(guān)系與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著密切關(guān)系的還有數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)思想方法等概念。按照上述對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解，我們可以嘗試分析這幾個概念之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)基本思想是標(biāo)準(zhǔn)提出的“四基”之一，也是義務(wù)教育階段學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到的重要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)科學(xué)本質(zhì)特征的反映，是數(shù)學(xué)科學(xué)的基石。史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本思想“是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴、所依靠的思想”。數(shù)學(xué)基本思想是研究

16、數(shù)學(xué)科學(xué)不可缺少的思想，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解和掌握數(shù)學(xué)所應(yīng)追求和達(dá)成的目標(biāo)?！皵?shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”。把抽象、推理和模型作為數(shù)學(xué)的基本思想與數(shù)學(xué)具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性的基本特征是一致的。抽象性就是抽象思想的體現(xiàn)，嚴(yán)謹(jǐn)性來自合乎邏輯的推理，廣泛的應(yīng)用性恰是通過建立數(shù)學(xué)模型使數(shù)學(xué)與現(xiàn)實中的問題建立聯(lián)系，解決更廣泛的實際問題。對于數(shù)學(xué)教育而言，了解數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展所依賴的數(shù)學(xué)基本思想是必要的，也是最基本的目標(biāo)。這體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科的基本理

17、解與把握，及對數(shù)學(xué)這門學(xué)科基本的思維方式的理解。數(shù)學(xué)的思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，特別是解決數(shù)學(xué)問題所運用的方法。這些方法一般來講是具有一定的可操作性，同時反映數(shù)學(xué)的某些思想，不是一般意義上的具體方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題過程中，人們形成了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)換的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法、等量替換的思想方法、特殊化的方法、窮舉的方法等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，經(jīng)常運用這些思想方法解決一類數(shù)學(xué)問題。如用轉(zhuǎn)換的思想方法學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式，將平行四邊形轉(zhuǎn)換成長方形，由長方形的面積長×寬，得知平行四邊形的面積底邊×高。用等量替換的方法解方程等。從上述的理解中，可以嘗試分析這三個概念之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)基本思想是統(tǒng)領(lǐng)整個數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的思