隨機(jī)變量及其分布

1、上次課：條件概率P (B|A )=匕阻P(A)乘法定理 P (AB ) = P (B | A ) P (A)全概率公式 P(A)=P(A|B i)P(BJ+P(A|B 2)P(B2)+ +P(A|B n)P(Bn)劃分i BiBj = j,i,j =1,2, ,nii B,B2, Bn 二 S貝葉斯公式 P (Bi | A ) = nP(A |Bi)P(Bi) , i=1,2，,n送 P(A|Bj P(Bj )相互獨(dú)立 P (AB ) =P (A) P (B)例：當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為 98%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生 某種故障時(shí)，其合格率為55%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好 的概率為9

2、5%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？解：設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”，由貝葉斯公式：P (B|A )=P A|B P BP A| B P B P A| B P B二 0.98 9950.98 0.95 0.55 0.05= 0.973例：根據(jù)以往臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，C表示事件“被診斷者患有癌癥”。 P(A|C)=0.95，PA |C =0.95?，F(xiàn)在對(duì)人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人 患有癌癥的概率為 0.005，即P( C)=0.005，試求P(C|A )。解：由貝葉斯公式PC|APA|C

3、PC-P(A|C p(C )+P(A|C P(C )0.95 7.005-0.95 0.0050.05 0.995= 0.087其中：P A |C =1-PA|C =0.05。例：甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p , p > 1/2 , 問(wèn)對(duì)甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利，設(shè)各 局勝負(fù)相互獨(dú)立。解：采用三局二勝制，甲最終獲勝。其勝局的情況是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”，而這三種結(jié)局互不相容，于是由獨(dú)立性得甲 最終獲勝的概率為：Pi=P(甲甲)+ P(乙甲甲)+ P(甲乙甲)=P2+P2 (1 -P)+ P 2 (1-P)=P2+2P2 (1-P)采用

4、五局三勝制，甲最終獲勝。設(shè)B =“甲勝”Bi= “前3局甲勝” ,B2= “前3局甲勝2局，乙勝1局，第4局甲勝”Bs= “第4局中甲、乙各勝2局，第5局甲勝” 則Bi, B2, B3互不相容，且B=B 1 U B2 U B3P(BJ=P3P(B2)= 3 P21-P P2P(B3)= 4 p2i-p p2而 P (B ) Pi = P2 ( 6P3 15P2+12P-3)=3P2 (P-1)2 (2P-1 )當(dāng) P>-時(shí)，P ( B) >Pi ;當(dāng) P=-時(shí)，P (B) = Pi = -2丿 1 7 2丿 1 2第一章小結(jié)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間，隨機(jī)事件，事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算。事

5、件發(fā)生的頻率，穩(wěn)定性，概率。古典概型，P( A)=k/n。條件概率：P(B|A)=空扌，P(A)乘法公式 P(AB)=P(B|A ) P(A)全概率公式，貝葉斯公式。事件的獨(dú)立性。重要術(shù)語(yǔ)及主題：隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)事件基本事件頻率概率古典 概型乘法公式加法公式排列組合 A的對(duì)立事件A及其概率 兩個(gè)互不相容事件的和事件的概率概率的加法定理 條件概率 概率的乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 事件的獨(dú)立性。87第二章隨機(jī)變量及其分布1 隨機(jī)變量普通實(shí)函數(shù)：y = f(x)隨機(jī)變量：為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化。隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果大部分是可以數(shù)量化的。隨機(jī)變量的定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)樣

6、本空間為 S=e，X=X(e)是定 義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱 X=X(e)為隨機(jī)變量。例1 :將一枚硬幣拋擲3次。出現(xiàn)H的總次數(shù)，而對(duì)H,T出現(xiàn)的順序不關(guān)心。以X記三次投擲中出現(xiàn) H的總次數(shù)樣本點(diǎn)HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110例如X取值為2，記成X=2，對(duì)應(yīng)于樣本點(diǎn)的集合 A=HHT,HTH,THH，這是一個(gè)事件，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)有X=2，稱概率 P(A)=PHHT,HTH,THH 為X=2的概率，即 PX=2=P(A)=3/8。以后，還將事件 A=HHT,HTH,THH 說(shuō)成是事件X=2。類似地 有：PX < 1=PHTT,THT,

7、TTH,TTT=-例 2: 有許多隨機(jī)試驗(yàn)，它的 結(jié)果本身是一個(gè)數(shù) ，即樣本點(diǎn) e 本 身是一個(gè)數(shù)，令 X(e) = e。例如，缺勤人數(shù)(Y)、降雨量(W)、耗電量(Z)、掛號(hào)人數(shù)(N) 等， Y,W,Z,N 都是隨機(jī)變量。大寫的字母如X,Y,Z,W,表示隨機(jī)變量，小寫字母x,y,z,w,表 示實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量的 特點(diǎn) ：隨機(jī)變量與普通實(shí)函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別，隨 機(jī)變量的取值是隨隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定，在試驗(yàn)前不能預(yù) 知，而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而 隨機(jī)變量的 取值有一定的概率 。一般，若L是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，將X在L上取值寫成X L，它表 示事件B=e|X(e) L，即B是由S中使得X(e)

8、L的所有樣本點(diǎn)e 所組成的事件，此時(shí)有：PX L=P(B)=Pe|X(e) L由此， 可用隨機(jī)變量來(lái)描述事件及其概率 。隨機(jī)變量的引入，是概率論從事件及其概率的研究 擴(kuò)大到 隨 機(jī)變量及其概率分布的研究， 這樣就 可以用近代數(shù)學(xué)工具 進(jìn) 行深入廣泛的研究和討論。隨機(jī)變量：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。2離散型隨機(jī)變量及其分布律定義：若X可能的取值是 有限個(gè)或可列多個(gè)。例如一枚硬幣拋擲3次的隨機(jī)變量X，它只可能取0,1,2,3四個(gè)值，它是一個(gè)離散型隨機(jī)變量；120急救電話臺(tái)一晝夜收到的呼喚次數(shù)也是離散型隨機(jī)變量；若以T記某元件的壽命，它所有可能取的值充滿一個(gè)區(qū)間，無(wú)法按一定次序列舉出來(lái)的。它是

9、一個(gè)非離散型的隨機(jī)變量。要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須且只需知道:X所有可能取的值；X取每一個(gè)可能值的概率。離散型隨機(jī)變量分布律的概念。定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量 X所有可能取的值為Xk(k=1,2,)，X 取各個(gè)可能值的概率，即事件X=Xk的概率，為：PX=Xk=Pk, k=1,2,(2.1 )由概率的定義，滿足如下兩個(gè)條件：(1) Pk > 0 , k=1,2 ；qQ(2) Pk =1k生由于X=XiUX=X2U 是必然事件，且X=XjQ X=Xk= 0,qQqQOQk 豐 j，故 1=P X=xk八 PX = xk,即' Pk =1k 1k 4kJ：稱（2.1 ）

10、式為離散型隨機(jī)變量 X的分布律。分布律也可以用 表格的形式來(lái)表示。XX1X2XnPkP1P2Pn表格形式直觀地表示了隨機(jī)變量 X取各個(gè)值的概率的規(guī)律。X取各個(gè)值各占一些概率，這些概率合起來(lái)是1?？梢韵胂蟪桑焊怕?以一定的規(guī)律分布在各個(gè)可能值上例1:設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過(guò) 四組信號(hào)燈，每組 信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過(guò)。 以X表示汽車首次停下 時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈的組數(shù) （設(shè)各組信號(hào)燈的工作是 相互獨(dú)立的）， 求X的分布律。解：以p表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過(guò)的概率，則 1-p為每盞 信號(hào)燈允許汽車通過(guò)的概率，設(shè) Aj=在第i盞燈前禁止汽車通過(guò) i=1,2,3,4,貝 VX=

11、0 ?=P（A1）=pP X=1 ?=P（入 A2）=P（入）P（A2）=（1 -p）pP f X=2 ?=P( A A As)=P( A )P( A )P(As)=(仁 p)2 pP* X=3 P( A A 人人4)=(1 - p)3pP f x=4 匸 p(入 A; A3 A)=(i 一 p)4概括為下表:X01234Pkp(1-p)p(1-p)2p(1-p) 3p(1-p)4或?qū)懗桑篜X=k=(1-p) kp, k=0,1,2,3,PX=4=(1 -P) 4以P=1/2代入得：X01234Pk0.50.250.1250.06250.0625三種重要的離散型隨機(jī)變量及其分布律。(一) (0

12、 1)分布定義：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是:PX=k=p k(1-p) 1-k，k=0,1(0<P<1)，則稱X服從(0 1)分布或兩點(diǎn)分布。(0 1 )分布的分布律也可寫成：X01Pk1-pp對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即S=ei,e2，貝V總能在S上定義一個(gè)服從（0 1 ）分布的隨機(jī)變量：；、0,當(dāng) e = eX=X（e）=1,當(dāng) e = e2來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。例如，新生嬰兒的性別、產(chǎn)品是否合格、電力消耗是否超過(guò)負(fù)荷、“拋硬幣”試驗(yàn)等都可以用（0 1 ）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述。例：設(shè)100件產(chǎn)品，其中有95件合格品，5件次品。現(xiàn)從

13、中任取 一件，設(shè)隨機(jī)變量X為: 0,取得次品X=1,取得正品式求X的概率分布（分布律）。解：P' X =050.05100P：X=1950.95100X服從（0 1 ）分布。（二）伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)定義：設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A及入，則稱E 為伯努利(Bernoulli )試驗(yàn)。設(shè)P( A)=P(0vp<1)，則P( a)=1 -p。將E獨(dú)立重復(fù) 地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。例如：E是拋一枚硬幣觀察得到正面或反面，A表示得正面，這是一個(gè)伯努利試驗(yàn)，如將硬幣拋n次，就是n重伯努利試驗(yàn)，又如拋一顆骰子，若A表示得到“ 1點(diǎn)” A表示得到“非1

14、點(diǎn)” 將骰子拋n次，也是n重伯努利試驗(yàn)，再如在袋中裝有a只白球，b只黑球，試驗(yàn)E是在袋中任取一只球，觀察其顏色，以A表示“取到白球”，P(A)=a/(a+b)，若連續(xù)取 球n次作放回抽樣，這就是n重伯努利試驗(yàn)。然而，若作不放回抽樣， 雖每次試驗(yàn)都有P(A)=a/(a+b)，但各次試驗(yàn)不再相互獨(dú)立，因而不再 是n重伯努利試驗(yàn)了。提問(wèn)：以X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，X是一個(gè) 隨機(jī)變量，求它的分布律。分析：X所有可能取的值為0,1,2,n。由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú) 立的，因此事件 A在k(0 < k w n)次試驗(yàn)中發(fā)生，在其它 n-k次試驗(yàn) 中A不發(fā)生的概率為：P P P (1-P

15、) (1-P) (1-P)=P k(1 -P)n-kk個(gè)n-k個(gè)fn 3在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為Pk(1-p) n-k，記q=1-p，即K丿PX=k= i； jPkqn-k , k=0,1,2,n顯然：PX=k > 0 , k=0,1,2,n ;n門 fn、Z PX=k=£pkqn» =(P+ q y =1k=gkzg (k 丿注意到f lkqn±剛好是二項(xiàng)式(p+q) n的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)。&丿二項(xiàng)分布的定義：如果隨機(jī)變量 X取值為0，1，2，,n的概 率為PX=k= n Pkqn-k ,k=0,1,2,n(k丿則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)

16、為n,p的二項(xiàng)分布，記為Xb(n,p)。特別，當(dāng)n = 1時(shí)二項(xiàng)分布化為：PX=k=p kq1-k ,k=0 , 1。這就是(0 1)分布。例2 :按規(guī)定，某電子元件的壽命超過(guò)1500小時(shí)的為一級(jí)品，已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2 ,現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只，問(wèn)20只元件中恰有k只(k=0,1，,20 )為一級(jí)品的概率是多少？解：這是不放回抽樣，但由于這批元件的總數(shù)很大，且抽查的元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小，因而可以當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理，這樣做會(huì)有一些誤差，但誤差不大。將檢查一只元件看它是否為一級(jí)品看成是一次試驗(yàn)，檢查20只元件相當(dāng)于做20重伯努利試驗(yàn)，以X記20只元件中一級(jí)品的只數(shù)

17、， 那么，X是一個(gè)隨機(jī)變量，且 Xb(20,0.2)，即得所求概率為：PX=k= 20 0.2 k 0.8 20“,k =0,1, ,20.Ik丿計(jì)算結(jié)果列表如下:PX=0=0.012PX=4=0.218PX=8=0.022PX=1=0.058PX=5=0.175PX=9=0.007PX=2=0.137PX=6=0.109PX=10=0.002PX=3=0.205PX=7=0.055PX=k<0.001,當(dāng) k > 11 時(shí)本題結(jié)果如圖所示。從圖中看到，當(dāng)k增加時(shí)，概率PX=k先是隨之增加，直至達(dá)到 最大值(本例中當(dāng)k=4時(shí)取到最大值)，隨后單調(diào)減少。一般，對(duì)于 固定的n及p，二項(xiàng)

18、分布b(n,p)都具有這一性質(zhì)。例3 :某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。解：將一次射擊看成是一次試驗(yàn)，設(shè)擊中的次數(shù)為X，則Xb(400 , 0.02 ), X的分布律為：PX=k=4000.02兀0.98)400弋k = 01,，400.I k丿于是所求概率為：PX > 2=1 PX=0-PX=1=1-(0.98) 400 -400(0.02)(0.98)399=0.9972.這個(gè)概率很接近1。討論這一結(jié)果的實(shí)際意義，雖然每次射擊的 命中率很小(為0.02)，但如果射擊400次，則擊中目標(biāo)至少兩次是幾 乎可以肯定。例4 :設(shè)有80臺(tái)同

19、類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故 障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理，考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由 3人共同維護(hù)80臺(tái)，試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí) 維修的概率的大小。解：按第一種方法，以 X記“第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā) 生故障的臺(tái)數(shù)”，以Ai(i=1,2,3,4 )表示事件“第i人維護(hù)的20臺(tái)中 發(fā)生故障不能及時(shí)維修”，則知80臺(tái)發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率 為：P (A1 U A2 U A3 U A4) > P (A1) =PX > 2,而 Xb (20,0.01 ),故有:1PX > 2

20、=1-瓦 PX =kk=0d嚴(yán)、20/1 f20k=1-送1(0.01)(0.99)=0.0169kdlk 丿即有：P (A1 U A2 U A3 U A4) > 0.0169。按第二種方法，以Y記80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)， 此時(shí)，Yb（ 80,0.01 ），故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為:3PYA 4=1-、k=0800.0lf(0.99 嚴(yán)K丿二 0.0087在后一種情況盡管任務(wù)重了（每人平均維護(hù)約27臺(tái)），但工作效率反而提高了（三）泊松分布定義：設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,而取各個(gè)值的 概率為：.kePX=k= 一, k 0,1,2 ,k!其中 0是常數(shù)

21、，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X二。易知，PX=k > 0, k=0,1,2,，且有:0000 扎ke臨-00 屮 -二 PX 二 kee e =1k=0k =0 k!k=0 k!參數(shù)的意義以后討論。泊松分布是描述大量隨機(jī)試驗(yàn)中 稀有事件出現(xiàn)次數(shù)的概率模型。例如，印刷錯(cuò)誤數(shù)、郵遞遺失的信件數(shù)、急診人數(shù)、發(fā)生交通事故的 次數(shù)等都服從泊松分布。定理(泊松逼近定理)：設(shè)0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)npn=,這對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有Pnk(1-Pn)n-k =k!17例：設(shè)生三胞胎的概率為10 ，求在10000次生育中恰有2次生 三胞胎的概率。解：本例屬貝努利概型，設(shè)10000次生育

22、中生三胞胎的次數(shù)為X,則Xb (10000,0.0001)。故所求概率為PX=2='10000 (0.0001) 2(1 -0.0001)9998直接計(jì)算很麻煩，故用泊松分布求近似值：因 X=np=10000*0.0001=1,故PX=2 一 =0.18392! 23 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量 X 的引入是為了 更好地研究隨機(jī)事件的概率 ，可隨機(jī)變 量的 定義域?yàn)橐话銟颖究臻g ，這對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具來(lái)分析會(huì)有 很大困難 ， 故此在引入一個(gè)與隨機(jī)變量緊密相關(guān)的函數(shù)概念。分布函數(shù) 的定義：設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量， x 是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)：F (x) = PX w x稱為 X 的 分布函數(shù) ?？?/p>

23、見：分布函數(shù) F(x) 的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集定義域也為實(shí)數(shù)空間( O,+O), 即 F(x) 為一普通實(shí)函數(shù)這樣，就能用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)研究隨機(jī)變量，使概率論的研 究從此邁上了新臺(tái)階。由定義知，對(duì)于任意實(shí)數(shù) Xi , X2 (Xi V X2 ),有：Px1<X w x2= PX w x2- PX w x1=F(X 2)-F(X i)( 3.i )若已知 X 的分布函數(shù)，就可知道 X 落在任一區(qū)間( Xi,X 2)上的 概率。在這個(gè)意義上說(shuō)， 分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 性。如果將 X 看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù) F(X)在x處的函數(shù)值就表示 X落在區(qū)間(一 X, X

24、)上的概率。分布函數(shù)F(x)具有以下的基本性質(zhì):1 ° F(x)是一個(gè)不減函數(shù)。事實(shí)上，由(3.1)式對(duì)于任意實(shí)數(shù)xi, X2(xiwX2),有F(x2)-F(x 1)=Px 1 v X w x2 / > 0。2 ° 0 w F(x) w 1，且：F (I = Lim F(x)=0 ,xF ( + TO) =LimF(x)=1 ,x_,上面兩個(gè)式子，可以從幾何上說(shuō)明。在圖中，將區(qū)間端點(diǎn)x沿?cái)?shù)軸無(wú)限向左移動(dòng)(即 x f i),貝V “隨機(jī)點(diǎn)X落在點(diǎn)x左邊”這 一事件趨于不可能事件，從而其概率趨于0，即有F (I)=0 ;又 若將點(diǎn)x無(wú)限右移(即x f + TO)，貝V

25、“隨機(jī)點(diǎn)X落在點(diǎn)x左邊”這 一事件趨于必然事件，從而其概率趨于1，即有F ( + ) =1。3 ° F(x+0)=F(x)，即 F(x)是右連續(xù)的。例1 :設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為:X-123111Pk424求 X 的分布函數(shù)，并求 PXw j, P| vX w 5 ： P2 wXw 3。解：X僅在x= -1,2,3 三點(diǎn)處其概率工0，而F (x)的值是X w x 的累積概率值，由概率的有限可加性，知它即為 小于或等于x的那些 Xk處的概率Pk之和，有：x V -1 ,F (x) = PX= - 1PX= -1+PX=21 ,即：r0 , x V-1 ,F (x ) =1, -1 w

26、x V 2 ,434 , 2 w x V 3 ,I41 , x > 3。F(x)的圖形如圖所示。-1 w x V 2 ,2 w x V 3 ,x > 3。3 14 4P2 _ X _3 ；=F 3 - F 2PX y13丄423般，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX =x= pk,k =1,2,由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為F x 二 P 汶空 x ；=為 PX 二 x"xk -X即F x 八 Pk(3, 2)Xk <x這里和式是對(duì)于所有滿足 Xk<x的k求和的，分布函數(shù) F (x)在 x=x k ( k=1,2,)處有跳躍，其跳躍值為Pk=PX=Xk。例2

27、 一個(gè)靶子是半徑為 2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。解 若x<0 ,則X < x是不可能事件，于是F (x) =PX w x=0。若0 w xw 2，由題意，P0 wXw x=kx F(x), k是某一常數(shù)，為了確定 k 的值，取 x=2，有 P0 w X w 2=2 2k，但已知 P0 w X w 2=1，故得 k=1/4，即:P0 w X w x=于是:F(x)=PX w x=PX v 0+P0 w X w x=若x > 2，由題意Xw x是必然事件，于是:F(x)

28、=PX w x=1綜合上述，即得X的分布函數(shù)為:它的圖形是一條連續(xù)曲線如圖所示。另外，容易看到本例中的分布函數(shù)F(x)，對(duì)于任意x可以寫成形式：xF(x)= ：f(tdt,其中：-,0 v tv 2嚴(yán)2f(t)= Y0 , 其它這就是說(shuō)，F(xiàn)(x)恰是非負(fù)函數(shù)f(t)在區(qū)間(一 , x )上的積分，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義：如果對(duì)于隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x),使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有：xF(x)= . J(t)dt,(4.1)則稱為X的連續(xù)型隨機(jī)變變量，其中函數(shù)f (x)稱為X概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。由定義知道，概率密度f(wàn) (x)具有以下性

29、質(zhì)：1 ° f (x) > 0.2 ° Jxdx"3 °對(duì)于任意實(shí)數(shù)Xi, X2, (Xi w X2),X2P X1<X w X2=F(X 2)-F(X J= X f(x”x.4。若f (x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F ' (x)=f (x)由性質(zhì)2。知道介于曲線y=f (x)與Ox軸之間的面積等于1由3。知道X落在區(qū)間(xX2)的概率P Xi<X wX2等于區(qū)間(x1,x2上曲線y=f (x)之下的曲邊梯形的面積由性質(zhì)4 °在f (x)的連續(xù)點(diǎn)x處有：f(x)=F x：x - F xPx X 乞 x：x(4.2 )從這里可

30、以看到，概率密度的定義與物理學(xué)中的線密度的定義相 類似，這就是為什么稱f (x)為概率密度的緣故。由(4.2)式知道，若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：Px X 乞 xf x x(4.3 )這表示X落在小區(qū)間x,xx 1上的概率近似地等于f (X) X。例1 :設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度：” kx,OEx/3xf(x)»2,3蘭 x 蘭42、O,其它(1)確定常數(shù)k;(2)求X的分布函數(shù)F(x);(3)求P1<X w 7 解：(1 )由.；f xdx =1,得340 ©dx 32一2 如1解得k= 1，于是X的概率密度為:6(x , 0 w x v 3 6f (x) =2- , 3

31、 w x v 420,其它(2) X的分布函數(shù)為:F(x)fx0 6dx，0 w xv 3T-YJ/XFX2T7741(3)P1 vXw 笄 f(2)-F(1)=需要指出的是，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 X來(lái)說(shuō)，它取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0，即PX=a=0。事實(shí)上，設(shè)X的分布函數(shù)為F(x), x >0，則由X=a a- x vXw a得 0 w PX=a w Pa- x v Xw a =F(a)-F(a- x)。在上述不等式中令 x f 0，并注意到X為連續(xù)型 隨機(jī)變量，其分布函數(shù) F(x)是連續(xù)的，即得：PX=a=0( 4.4 )據(jù)此，在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必 區(qū)

32、分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間，例如有：Pa v X < b =Pa < X < b=Pa v X v b在這里，事件X=a并非不可能事件，但有PX=a=0 ,這就是說(shuō)， 若A是不可能事件，則有 P (A) =0 ;反之，若P (A) =0,并不一 定意味著A是不可能事件。下面介紹三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量。(一) 均勻分布定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度：rf(x)在，(4.5 )i o,其它則稱X在區(qū)間(a,b )上服從均勻分布，記為XU (a,b)。易知f(x) > 0，且 f x dx =1在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布的隨機(jī)變量X，具有下述意義的等可能性

33、。對(duì)于任一長(zhǎng)度I的子區(qū)間(c,c+i), a < cv c+ i < b，有：c +c + 1lPc V X W c+ l =f (x)dxdx .p、c b - ab - a即它落在區(qū)間(a,b)中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，或者說(shuō)它落在（a,b）的子區(qū)間內(nèi)的概率只 依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度 而與子 區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。由（4.1 ）式得的分布函數(shù)為:49(4.6 )F(x)=f（x）及F（x）的圖形分別如圖所示。例2 :設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900門 11001,求R的概率密度及 R落在9501 10501的概率。解：按題意，R的概率密度為：1, 900 v r

34、v 1100 ,1100 900f (r)=其它。10501故有： P950 v R w 1050 二打盤dr =0.5（二）指數(shù)分布定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:f(x)=其它(4.7 )其中，0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為r的指數(shù)分布易知 f (x) > 0，且：f xdx=1圖中畫出*1/3，二=1，二=2時(shí)f(x)的圖形。由(4.7)式容易得到隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為：FhH1。xM( 4，8)0, 其它服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量 X具有以下的性質(zhì):對(duì)于任意s，t>0,有px s t|x s px r(4，9)事實(shí)上P：X s t|X s，P(X s. t)X “px A

35、s_ Px >s + t_1 _F(s+t) _ es岀丸二 P：X © = 1-F(s)二 e* ”二 PX t?性質(zhì)(4 ,9)稱為無(wú)記憶性。如果X是某一元件的壽命，那么(4， 9)式表明，已知元件已使用了s小時(shí)，它總共能使用至少 s+t小時(shí)的條件概率，與從開始使用時(shí)算起它至少能使用t小時(shí)的概率相等，這就是說(shuō)，元件對(duì)它已使用過(guò)s小時(shí)沒(méi)有記憶，具有這一性質(zhì)是指數(shù) 分布有廣泛應(yīng)用的重要原因。指數(shù)分布在可靠性理論與排隊(duì)論中有廣 泛的應(yīng)用。(三) 正態(tài)分布定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中，'0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 J二的正態(tài)分布或高斯分(4.10 )f(x)=e

36、#/2dt =1f（x ）的圖形如圖所示，它具有以下的性質(zhì)。1 °曲線關(guān)于x=卩對(duì)稱。這表明對(duì)于任意 h>0有（圖）P yh<X wP卩<w 卩+h e 導(dǎo)布，記為X N d； °當(dāng)x=卩時(shí)取到最大值f (T= 1V2JIO_x離、1越遠(yuǎn)，f（x）的值越小，這表明對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離越遠(yuǎn)，X落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小。顯然：=f(x)dx=1.令x-5 =t，得到1e汗 dx= 1<2n旳 t2/2ed /2dt記 I= ：e"dt,則有I2廣廣eCi2d利用極坐標(biāo)，得到I22二二)_-rer2 / 2dr" - 2 ：而I

37、>0，故有I即有：e*/2dt-2(4.11)于是在x=I 土二處曲線有拐點(diǎn) 曲線以O(shè)x軸為漸近線。如果固定二，改變的值，則圖形沿著Qx軸平移，而不改變形 狀，可見正態(tài)分布的概率密度曲線 y=f （x）的位置完全由參數(shù)丿 所確定，J稱為位置參數(shù)。如果固定，改變二，由于最大值f （）=1 _，當(dāng)匚越小時(shí)圖 形變得越尖，因而 X落在，附近的概率越大。圖由（4.10 ）式得X的分布函數(shù)為（圖）：F（X）1 占 dt.&2兀石、皿特別，當(dāng)0,二=1時(shí)稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度和分布函數(shù)分別用，x：-（x）表示，即有易知(圖)"1e2/2吋2兀(4.15)(4.13)(4.

38、14)人們已編制了門x的函數(shù)表（見書附表2 )。般，若XN ，二2，我們只要通過(guò)一個(gè)線性變換就能將它化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。引理 若 X N 二 2，則 Z = N 0,1 oa證的分布函數(shù)為PZ Ex ； = PX - 1xff. z24：x -刁尹e 2a dt,"apiz <x -寸2兀X 2 /2edu 二：(x),由此知，Z = X N 0, o<T于是，若XN ，二2，則它的分布函數(shù)F （x ）可寫成:F(x) = px ExhpX 4 ,x 卩蘭CJCJ僅-叮II CT丿(4.16)對(duì)于任意區(qū)間（ X，有XicrX2 -叮X -X2(4.17)CTCT并八2I爪D

39、=6 i ICT )CF )例如，設(shè)XN （1，4 ），查表得I 2丿 I 2丿：0.3 卻 0.5= 0.6179-1 -門 0.5= 0.6179-1 0.6915 = 0.3094.設(shè)X N，-2，由門x的函數(shù)表還能得到（圖）：P -；X=G 行珂 1=21 -1 =68.26%PW -2- X2Y- G 2 卻 2 =95.44%PW -3匚 X3'C-G 3 -門-31=99.74%我們看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是（-渋，）,但它的值落在 ：心-3；丁，二內(nèi)幾乎是肯定的事，這就是人們所說(shuō)的 “ 3”法則。例3 :將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在d C

40、，液體的溫度 X （以C計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且XN（d,0.5 2）。（1 ）若d=90，求X小于89的概率。（2）若要求保持液 體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問(wèn)d至少為多少？解：（1 ）所求概率為：89 - 90 I 0.5 丿2=1 - ：2 =1 -0.9772 = 0.0228（2）按題意需求d滿足即:0.99 豈 PX _80 PX -d 80 - d0.5 一 0.5X -d 80 -d0.50.580 -df0.580 d、 J-0.99 = 1-(2.327)I 0.5丿'丿=：-2.327 ,亦即： 80 d < -2.3270.5故需：d>81

41、.1635為了便于今后在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，引 入上a分位點(diǎn)的定義。定義：設(shè)XN (0,1 ),若Za滿足條件：PX > Z a= a, 0 VaVl ,(4.18 )則稱點(diǎn)Za為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 上a分位點(diǎn)(如圖)，下面列出了幾個(gè)常 用的乙的值。a0.0010.050.0050.100.010.025Z a3.0901.6452.5761.2822.3271.960另外，由x圖形的對(duì)稱性知道Z1-a=-Za。在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布。例如：一個(gè)地區(qū)的男性成年人的身高 測(cè)量某零件長(zhǎng)度的誤差海洋波浪的高度半導(dǎo)體器件中的熱噪聲電流或電壓等

42、。在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論研究和實(shí)際應(yīng)用中正態(tài)隨機(jī)變量起著特 別重要的作用。5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布比如我們能測(cè)量圓軸截面的直徑d，而關(guān)心的卻是截面面積Ad2。這里，隨機(jī)變量 A是隨機(jī)變量d的函數(shù)。在實(shí)際中，我們4常對(duì)某些隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。在這一節(jié)中，將討論如何由已知的隨機(jī)變量 X的概率分布去求得它的函數(shù)Y=g(X) (g ( )是已知的連續(xù)函數(shù))的概率分布。例1 :設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律，試求Y=(X-1) 2的分布律。X-1012Pk0.20.30.10.4解：Y有所可能取的值為0,1,4 ,由p2-1 f =0>= P<X =" = 0.1,P”Y =1

43、； = PX =0? PX =0；=0.7,py =4= plx 二 一1 二 0.2,Y014Pk0.10.70.2例2 :設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度:-,0 vx V 48fx (x)=0, 其它。求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。解：分別記X,Y的分布函數(shù)為Fx (x),Fy (y)，下面先求Fy (y)= PV < y ；=P2X 8 乞 y：=P心口.2 ： I 2 丿將Fy(y)關(guān)于y求導(dǎo)數(shù)，得Y=2X+8概率密度為：fY(Y)=f x J J 2 xi 2八2丿1 口 .1,0 口 4= 8.22 20.其它例3 :設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)x(x)，八x ：:，求Fy (y

44、)Y=X2的概率密度。解：分別記X,Y的分布函數(shù)為Fx(x), FY(y)。由于 y=X2 > 0，當(dāng) y<0 時(shí) Fy (y)=0 ,當(dāng)y>0時(shí)有：Fy (y)=PY w y=PX2 w y=P y <X< y"=F x y - Fx _ . y將FY(y)關(guān)于y求導(dǎo)數(shù)，即得Y的概率密度為：y 0,fY (y)=0,y w 0.例如，設(shè)XN (0,1 ),其概率密度為:®(x )= e2/2, _°ox <°o 由(5.1 )得Y=X2概率密度為:y 0,fF(y)=0,y w 0此時(shí)稱Y服從自由度為1的2分布。g (X) w y ”上述兩個(gè)例子解法的關(guān)鍵一步是在“ Y w y ”中，即在 中解出X，從而得到一個(gè)與“ g (X) < y”等價(jià)的X的不等式，并以后 者代替“ g (X) < y”。例如，在例2中以“X<誇8 ”代替“2X+8 < y”; 在例3中，當(dāng)y > 0時(shí)以“- y<X<jy ”代替“ X2 < y ”。以上做法具 有普遍性。一般來(lái)說(shuō)，我們都可以樣的方法求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布函數(shù)或概率密度。下面我們僅對(duì)Y=g (X)