精選MCMA題讓標槍飛

1、五一數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了五一數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢等）與本隊以外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的 ，如果引用別人的成果或其它公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參 考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī) 則的行為，我們愿意承擔由此引起的一切后果。我們授權五一數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包 括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和

2、其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）參賽題號（從A/B/C中選擇一項填寫）：參賽隊號:參賽組別（研究生、本科、?？?、高中）本科所屬學校（學校全稱）參賽隊員（打印并簽名）：1.2.3.日期:郵政編碼:聯(lián)系電話:獲獎證書郵寄地址: 收件人姓名:五一數(shù)學建模競賽讓標槍飛關鍵詞：多元回歸統(tǒng)計 K-means聚類 距離相關牛頓歐拉方程 剛體微分學 摘要:標槍的技術參數(shù)包括，標槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等，標槍 的形心位置由槍身、槍頭、把手三者綜合判定而得，題目給出了三者長軸和直徑的相關數(shù)據(jù)， 根據(jù)k-means聚類進行分析求解此問題?？紤]到初始攻角受到了出手角的影響，我們猜測初始 攻角

3、和出手角之間存在聯(lián)系，可以尋找初始攻角和出手角之間的關系，簡化初始攻角、出手角、 投擲距離、出手速度之間的關系，禾U用多元回歸統(tǒng)計進行分析。用前面已經(jīng)擬合的公式，發(fā)現(xiàn) 初始攻角存在某一合法置信區(qū)間，出手速度固定，通過逐漸改變初始攻角的取值，可以得到多 組投擲距離，取最優(yōu)解。閱讀題意，順風逆風改變了出手速度，前述問題，已經(jīng)解決了出手角、 初始攻角對投擲距離的影響，而初始俯仰角速度是指標槍出手瞬間，標槍槍頭半軸（槍尖至重 心部分）在單位時間內(nèi)圍繞重心旋轉(zhuǎn)的角度，建立標槍飛行的數(shù)學模型，利用牛頓歐拉方程求 解。最后，根據(jù)上述問題得到的結(jié)論，對運動員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速 度、風向及

4、風速等要素，對標槍投擲距離影響的相對重要性進行分析總結(jié)，用自然語言進行詳 盡的描述。問題重述標槍的投擲是一項歷史悠久的田徑比賽項目。 標槍投擲距離的遠近受到運動員水平（出手速度、出手角、初始攻角、出手高度、出手時標槍的初始俯仰角速度等），標槍的技術參數(shù)（標槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等）和比賽環(huán)境（空氣的密度與粘度、風力、風向等）三方面因素的影響。1. 現(xiàn)有某型標槍的測量尺寸數(shù)據(jù)。請估算該型標槍沿標槍中軸線剖面面積、標槍表面 積和標槍形心的位置。2. 現(xiàn)有某標槍比賽中24名運動員使用同型號標槍投擲的實測數(shù)據(jù)。 請對這些數(shù)據(jù)進行 分析，建立合適的數(shù)學模型，找出標槍飛行過程中的

5、運動規(guī)律。3. 假設某型標槍的幾何參數(shù)同問題1，重心位于形心前l(fā)Of機（重心在槍尖與形心之間），出手時標槍的初始俯仰角速度為 0。在無風的前提下，對標槍投擲出手瞬間、出手 后的受力及運動情況進行分析，建立標槍飛行的數(shù)學模型并求解如下問題：（1 ）假設某運動員投擲出手速度為29.75心、出手角為3&6、初始攻角為-0.9請估算出標槍的投擲距離。（2）假設某運動員投擲出手速度為請給出最佳的出手角和初始攻角使得投擲距離最大并估算出標槍的投擲距離。4. 假設標槍技術參數(shù)同問題3，風向分別為順風和逆風，風速分別為 3m/£, 和伽鳳 運動員投擲出手速度為|乩70皿/§。請建立

6、標槍飛行的數(shù)學模型，給出最佳出手角、最佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得投擲距離最大。5.標槍技術參數(shù)同問題3，請分析運動員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角 速度、風向及風速等要素對標槍投擲距離影響的相對重要性。問題分析2.1 問題一的分析標槍的技術參數(shù)包括，標槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等，標槍的形心位置由槍身、槍頭、把手三者綜合判定而得，題目給出了三者長軸和直徑的相關數(shù)據(jù)，可以根據(jù) k-means 聚類進行分析，來求解此問題。2.2 問題二的分析題目給出了 24 位運動員的標槍比賽實測數(shù)據(jù)， 考慮到初始攻角受到了出手角的影響， 我們猜測初始 攻角和出手角之間存在聯(lián)

7、系，可以尋找初始攻角和出手角之間的關系，簡化初始攻角、出手角、投 擲距離、出手速度之間的關系，利用多元回歸統(tǒng)計進行分析。2.3 問題三的分析第一小問，閱讀題意，根據(jù)第二問得出的結(jié)論進行分析；第二小問，用前面已經(jīng)擬合的公式，發(fā)現(xiàn) 初始攻角存在某一合法置信區(qū)間，在區(qū)間中設置步長為1（題目給出的數(shù)據(jù)均為整數(shù)） ，猜想，初始攻角結(jié)果也為一個合法的整數(shù)，故出手速度固定，通過逐漸改變初始攻角的取值，可以得到多組投 擲距離，取最優(yōu)解2.4 問題四的分析閱讀題意， 順風逆風改變了出手速度， 前述問題， 已經(jīng)解決了出手角、 初始攻角對投擲距離的影響， 而初始俯仰角速度是指標槍出手瞬間，標槍槍頭半軸（槍尖至重心部

8、分）在單位時間內(nèi)圍繞重心旋 轉(zhuǎn)的角度，建立標槍飛行的數(shù)學模型，給出最佳出手角、最佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得 投擲距離最大，利用牛頓歐拉方程求解。2.5 問題五的分析根據(jù)上述問題得到的結(jié)論，對運動員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速 度、風向及風速等要素，對標槍投擲距離影響的相對重要性進行分析總結(jié)，用自然 語言進行詳盡的描述。符號說明我在底下標注，自助總結(jié)下吧四、模型假設假設運動員:(1)(2)(3)出手高度為2m標槍重量為Qoo.g不考慮標槍在飛行過程中的進動影響(6)(7)如果考慮有風，空氣阻力(推力)水平考慮地心引力(8)除了出手角度外，考慮初始俯仰角和初始攻角(初始攻角3

9、=持槍角丫 ？出手角a五、模型建立與求解5.1空氣密度為1.184 X 10切卅 空氣粘度為曲4 X L0 '"?丿(帕秒)5.1.1模型建立標槍長軸與直徑數(shù)據(jù)在不同的部位存在一定的關系逼近，利用題中已給的數(shù)據(jù)近似聚類，并進行統(tǒng)計描述，以完成對形心位置的準確預測。即利用k-means聚類研究它們之間的關系。聚類是一個將數(shù)據(jù)集中在某些方面相似的數(shù)據(jù)成員進行分類組織的過程，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。我們建立槍身、槍頭、把手三者相關的聚類模型(1) 選擇3個點作為初始質(zhì)心?；?2) 將每個點指派到最近的質(zhì)心，形成3個簇，重新計算每個簇的質(zhì)心，直到質(zhì)心不發(fā)生變 (Result表示結(jié)果，v

10、1v2v3表示槍身、槍頭、把手)D(x)表示沿槍軸方向的直徑分布，我們將D(x)的度量為標槍長度分割為多個刻度，一共70份，利用matlab進行擬合得到標槍沿槍軸方向的直徑分布模型：D(x)表示沿槍軸方向的直徑分布在matlab中，標槍長度刻度為 y軸，沿槍軸方向的直徑分布為x軸，根據(jù)擬合優(yōu)度選用以擬合優(yōu)度91.34%e為底的指數(shù)函數(shù)擬合，擬合得到如下圖像反函數(shù)運算得到 D(x) 表達式查閱相關資料，結(jié)合分析，發(fā)現(xiàn)，該型標槍沿標槍中軸線剖面面積以及標槍表面積滿足下列表達式(S剖表示標槍中軸線剖面面積，X表示從槍尖為起點的標槍長度，D(x)表示沿槍軸5.1.2方向的直徑分布，L表示標槍長度，80

11、0g標槍取2.6m)模型求解根據(jù)上述模型，可以得到，三者樣本量集群分布如下：由結(jié)合、分割輪廓可知三者品質(zhì)如下，形心位于槍身(品質(zhì)：劣)處:經(jīng)過k-means聚類得到下述結(jié)果： 最終經(jīng)過計算：形心位于距離槍尖1050mm處利用matlab軟件對剖面面積以及標槍表面積進行辛普森梯形數(shù)值積分，得到表面積為 145074（mm2），剖面積 67336（mm2）5.2問題二模型建立與求解出手速度v （米/秒），出手角5.2.1 模型的建立利用SPSS軟件對變量進行距離相關性分析，發(fā)現(xiàn)運動員（度），初始攻角（度），投擲距離dist （米）4者之間存在相關性，結(jié)果如下:我們以V,為自變量，dist為因變量進

12、行多?；貧w分析擬合準確度符合預期查閱文獻我們知道，出手角度，初始俯仰角，貝初始攻角我們經(jīng)過分析及查閱相關文檔發(fā)現(xiàn)，考慮初始攻角由出手角以及初始俯仰角聯(lián)合影響，故，只考慮初始攻角即可，擬合發(fā)現(xiàn)，初始攻角、出手速度V二者之間對投擲距離dist的影響滿足三兀三次關系:函數(shù)圖像如下：傅里葉函數(shù)6次擬合出手角和初始攻角之間的關系:5.2.2模型的求解標槍飛行過程中的運動規(guī)律如下:（1）在只考慮出手速度V，出手角，高度h，情況下則滿足斜拋運動方程，距5.3S1（2）考慮初始攻角S2，S2tan，出手角，出手速度V時，忽略高度的影響因素，距離dist問題三模型建立與求解5.3.1模型的建立1,重心位于形心前

13、10匸創(chuàng)（重心在槍尖與形心之間），出手假設某型標槍的幾何參數(shù)同問題時標槍的初始俯仰角速度為 0。在無風的前提下，對標槍投擲出手瞬間、出手后的受力及運 動情況進行分析：簡化模型，忽略初始俯仰角速度和重心對標槍投擲的影響；5.3.2標槍出手瞬間，受到手的推力和重力； 標槍出手后，只受重力。由第二問的分析以及第三問題意知，標槍投擲滿足模型 模型的求解（1）假設某運動員投擲出手速度為|29.7伽/$、出手角為36.6初始攻角為-0.9 ,由第二5.45.4.1問的結(jié)論可以估算出標槍的投擲距離為（2）將初始攻角的區(qū)間設為83.904m（-20,10），步長設為1,建立程序計算得到，（程 序見附錄），初始

14、攻角為-7度時，投擲距離較大，投擲距離為 85.817m, 而用擬合的另一個公式，33.73 0.7881cos0.72671.525sin 0.72671.04cos1.45340.1092sin1.45341.196cos2.18012.07sin 2.18010.51cos2.90680.07145sin 2.90680.6295cos3.63350.07075sin 3.63351.13COS4.36021.743s in 4.3602由初始攻角得到，出手角為34.6875度問題四模型建立與求解模型的建立 查閱相關文獻， 我們知道出手角度為（1）（2）（3）初始攻角為0° 當

15、初始攻角0 在順風風速為32°，6°時,如有逆風，標槍飛行遠度均呈現(xiàn)出下降的趨勢；時，逆風增大只會引起飛行遠度大幅度地下降。012 m/s,初始攻角為-6° 6°時，標槍的飛行遠度隨風速增加有所增加尤其是在初始攻角為 6°時增加幅度更大。12 m/s時，飛行遠度會急劇下降。（4）出手角度為40°時,（1）（2）（3）但當風速超過6時，如有逆風，標槍飛行遠度均會減小 時下降的幅度更大。初始攻角為-6初始攻角0°9 m/s12順風時，在上述條件下，標槍的飛行遠度會有較大幅度增加，但風速一旦超過m/s，飛行遠度會大大減小通過上面的

16、論述，我們可以知道，題目中給出的順風逆風速度沒有讓實驗結(jié)果出現(xiàn)指數(shù)級別 的誤差，并且為我們后面的研究提供了理論和數(shù)值基礎。在這里，嘗試建立人體-標槍運動動力學方程：將標槍視為純凈剛體，利用牛頓歐拉方程建立剛體的動力學方程，作用在標槍上的力有重力 以及空氣阻力（反作用力）符號說明：J標槍轉(zhuǎn)動慣量r質(zhì)點距離轉(zhuǎn)軸，默認15mm x（t）標槍位移x'（t）標槍速度x”（t）標槍加速度V出出手速度V順順風速度V逆逆風速度 出出手角 攻初始攻角M標槍質(zhì)量I標槍長度（力矩）初始俯仰角速度h運動員高度X風向阻力5.4.2 模型的求解將初速代入上述模型求解可得順風逆風3m/shm(s9m/53m/shm

17、js9m/5最佳出手角（度）38.740.341.140.639.938.4最佳初始攻角（度）-7.1-6.7-6.4-5.7-6.1-6.9最佳初始俯仰角速度（度/秒）-8-8-9-9-9-8最大投擲距離（米）87.589.190.489.588.187.05.5問題五模型建立與求解通過對擲標槍運動的研究，主要將得出以下兩個方面的結(jié)論：一、人體投擲動作對標槍初始條件的影響本文先對飛行系統(tǒng)進行了統(tǒng)計預測，在對人體-標槍系統(tǒng)建立剛體力學模型基礎上，通過動力學普遍定理推導了該系統(tǒng)運動的動力學方程，最終得出了各個剛體之間的相互作用力矩 與剛體之間相對角度之間的關系，從而間接建立了各剛體之間相互作用力

18、及力矩與標槍飛行 的初始條件之間的關系。二、初始條件和風對標槍飛行遠度的影響在對標槍飛行的計算機模擬以及模擬得到的數(shù)據(jù)進行分析后，將得出以下幾個結(jié)論,而月增加（1）在其它初始條件不變的情況下，隨著初速度的不斷增加，標槍的飛行遠度也不斷增加 的幅度有加大的趨勢。在本文研究的范圍內(nèi)，它們基本上呈線性關系。 在其它初始條件不變的情況下，標槍在出手角度為0° 42。的范圍內(nèi)，隨著出手角度的增加標槍的飛行遠度基本上是不斷增加的。當出手角度為45°時，在空氣阻力的影響下，并不能使標槍的飛行遠度達到最大。當出手角度超過42°以后，標槍的飛行遠度有所下降。本文認為該標槍的最佳出手

19、角度大約在 42度左右。（3）在其它初始條件-定的情況下，初始俯仰角速度小于0時標槍要飛的更遠一些。認為標槍的最佳初始俯仰角速度大約在 -0.26rad/s -0.17rad/s范圍內(nèi)。（4 ）在本文的研究中，初始攻角的變化和出手角存在一定的關系。八、模型評價問題一采用的是 K-means聚類，雖然直觀，但是不便于數(shù)據(jù)的具體統(tǒng)計。問題二利用多元回歸統(tǒng)計進行分析，采取的是忽略次要因素，突出主要因素，可能會在結(jié)論 上出現(xiàn)些許偏差。問題三在問題二的基礎上修繕，在程序上采用步長推斷法，導出合適的結(jié)論。問題四更加復雜化，在數(shù)學模型的基礎上，結(jié)合物理模型，建立牛頓歐拉方程，求解問題， 結(jié)果較為準確。問題五

20、對整個標槍問題進行系統(tǒng)地總結(jié)概括。七、參考文獻標槍的氣動力特性和幾何 _物理參數(shù)測量_蔡國華 標槍幾何物理參數(shù)與空氣動力學性能_王倩標槍的仰角與阻力_ 王吉壽世界優(yōu)秀男子標槍運動員最后用力階段運動學參數(shù)分析風對標槍飛行初始條件及遠度的影響王倩（一般力學與力學基礎專業(yè)論文）人體一標槍系統(tǒng)對標槍飛行初始條件的影響及標槍飛行的計算機模擬八、附錄附錄：#in cludevbits/stdc+.h> using n ames pace std;int mai n()double x100;double y100;double z100;double p00 =2115 ;double p10 =-

21、94.97;double p01 =-221.1 ;double p20 =0.5152 ;double p11 =6.849 ;double p02 =7.788 ;double p30 =-0.003476 ;double p21 =-0.01733 ;double p12 =-0.1229 ;double p03 =-0.08907 ;int i;for(i=1；iv=31;i+)xi=30;for(i=1；i<=31;i+)yi=i-11；double x=-7;double a0 =33.73 ;double a1 =-0.7881 ;double b1 =-1.525 ;doubl