精選MCMA題讓標(biāo)槍飛

1、五一數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了五一數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的 ，如果引用別人的成果或其它公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參 考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī) 則的行為，我們?cè)敢獬袚?dān)由此引起的一切后果。我們授權(quán)五一數(shù)學(xué)建模競賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包 括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和

2、其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）參賽題號(hào)（從A/B/C中選擇一項(xiàng)填寫）：參賽隊(duì)號(hào):參賽組別（研究生、本科、?？?、高中）本科所屬學(xué)校（學(xué)校全稱）參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.2.3.日期:郵政編碼:聯(lián)系電話:獲獎(jiǎng)證書郵寄地址: 收件人姓名:五一數(shù)學(xué)建模競賽讓標(biāo)槍飛關(guān)鍵詞：多元回歸統(tǒng)計(jì) K-means聚類 距離相關(guān)牛頓歐拉方程 剛體微分學(xué) 摘要:標(biāo)槍的技術(shù)參數(shù)包括，標(biāo)槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等，標(biāo)槍 的形心位置由槍身、槍頭、把手三者綜合判定而得，題目給出了三者長軸和直徑的相關(guān)數(shù)據(jù)， 根據(jù)k-means聚類進(jìn)行分析求解此問題?？紤]到初始攻角受到了出手角的影響，我們猜測初始 攻角

3、和出手角之間存在聯(lián)系，可以尋找初始攻角和出手角之間的關(guān)系，簡化初始攻角、出手角、 投擲距離、出手速度之間的關(guān)系，禾U用多元回歸統(tǒng)計(jì)進(jìn)行分析。用前面已經(jīng)擬合的公式，發(fā)現(xiàn) 初始攻角存在某一合法置信區(qū)間，出手速度固定，通過逐漸改變初始攻角的取值，可以得到多 組投擲距離，取最優(yōu)解。閱讀題意，順風(fēng)逆風(fēng)改變了出手速度，前述問題，已經(jīng)解決了出手角、 初始攻角對(duì)投擲距離的影響，而初始俯仰角速度是指標(biāo)槍出手瞬間，標(biāo)槍槍頭半軸（槍尖至重 心部分）在單位時(shí)間內(nèi)圍繞重心旋轉(zhuǎn)的角度，建立標(biāo)槍飛行的數(shù)學(xué)模型，利用牛頓歐拉方程求 解。最后，根據(jù)上述問題得到的結(jié)論，對(duì)運(yùn)動(dòng)員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速 度、風(fēng)向及

4、風(fēng)速等要素，對(duì)標(biāo)槍投擲距離影響的相對(duì)重要性進(jìn)行分析總結(jié)，用自然語言進(jìn)行詳 盡的描述。問題重述標(biāo)槍的投擲是一項(xiàng)歷史悠久的田徑比賽項(xiàng)目。 標(biāo)槍投擲距離的遠(yuǎn)近受到運(yùn)動(dòng)員水平（出手速度、出手角、初始攻角、出手高度、出手時(shí)標(biāo)槍的初始俯仰角速度等），標(biāo)槍的技術(shù)參數(shù)（標(biāo)槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等）和比賽環(huán)境（空氣的密度與粘度、風(fēng)力、風(fēng)向等）三方面因素的影響。1. 現(xiàn)有某型標(biāo)槍的測量尺寸數(shù)據(jù)。請(qǐng)估算該型標(biāo)槍沿標(biāo)槍中軸線剖面面積、標(biāo)槍表面 積和標(biāo)槍形心的位置。2. 現(xiàn)有某標(biāo)槍比賽中24名運(yùn)動(dòng)員使用同型號(hào)標(biāo)槍投擲的實(shí)測數(shù)據(jù)。 請(qǐng)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行 分析，建立合適的數(shù)學(xué)模型，找出標(biāo)槍飛行過程中的

5、運(yùn)動(dòng)規(guī)律。3. 假設(shè)某型標(biāo)槍的幾何參數(shù)同問題1，重心位于形心前l(fā)Of機(jī)（重心在槍尖與形心之間），出手時(shí)標(biāo)槍的初始俯仰角速度為 0。在無風(fēng)的前提下，對(duì)標(biāo)槍投擲出手瞬間、出手 后的受力及運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，建立標(biāo)槍飛行的數(shù)學(xué)模型并求解如下問題：（1 ）假設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投擲出手速度為29.75心、出手角為3&6、初始攻角為-0.9請(qǐng)估算出標(biāo)槍的投擲距離。（2）假設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投擲出手速度為請(qǐng)給出最佳的出手角和初始攻角使得投擲距離最大并估算出標(biāo)槍的投擲距離。4. 假設(shè)標(biāo)槍技術(shù)參數(shù)同問題3，風(fēng)向分別為順風(fēng)和逆風(fēng)，風(fēng)速分別為 3m/£, 和伽鳳 運(yùn)動(dòng)員投擲出手速度為|乩70皿/§。請(qǐng)建立

6、標(biāo)槍飛行的數(shù)學(xué)模型，給出最佳出手角、最佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得投擲距離最大。5.標(biāo)槍技術(shù)參數(shù)同問題3，請(qǐng)分析運(yùn)動(dòng)員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角 速度、風(fēng)向及風(fēng)速等要素對(duì)標(biāo)槍投擲距離影響的相對(duì)重要性。問題分析2.1 問題一的分析標(biāo)槍的技術(shù)參數(shù)包括，標(biāo)槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等，標(biāo)槍的形心位置由槍身、槍頭、把手三者綜合判定而得，題目給出了三者長軸和直徑的相關(guān)數(shù)據(jù)，可以根據(jù) k-means 聚類進(jìn)行分析，來求解此問題。2.2 問題二的分析題目給出了 24 位運(yùn)動(dòng)員的標(biāo)槍比賽實(shí)測數(shù)據(jù)， 考慮到初始攻角受到了出手角的影響， 我們猜測初始 攻角和出手角之間存在聯(lián)

7、系，可以尋找初始攻角和出手角之間的關(guān)系，簡化初始攻角、出手角、投 擲距離、出手速度之間的關(guān)系，利用多元回歸統(tǒng)計(jì)進(jìn)行分析。2.3 問題三的分析第一小問，閱讀題意，根據(jù)第二問得出的結(jié)論進(jìn)行分析；第二小問，用前面已經(jīng)擬合的公式，發(fā)現(xiàn) 初始攻角存在某一合法置信區(qū)間，在區(qū)間中設(shè)置步長為1（題目給出的數(shù)據(jù)均為整數(shù)） ，猜想，初始攻角結(jié)果也為一個(gè)合法的整數(shù)，故出手速度固定，通過逐漸改變初始攻角的取值，可以得到多組投 擲距離，取最優(yōu)解2.4 問題四的分析閱讀題意， 順風(fēng)逆風(fēng)改變了出手速度， 前述問題， 已經(jīng)解決了出手角、 初始攻角對(duì)投擲距離的影響， 而初始俯仰角速度是指標(biāo)槍出手瞬間，標(biāo)槍槍頭半軸（槍尖至重心部

8、分）在單位時(shí)間內(nèi)圍繞重心旋 轉(zhuǎn)的角度，建立標(biāo)槍飛行的數(shù)學(xué)模型，給出最佳出手角、最佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得 投擲距離最大，利用牛頓歐拉方程求解。2.5 問題五的分析根據(jù)上述問題得到的結(jié)論，對(duì)運(yùn)動(dòng)員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速 度、風(fēng)向及風(fēng)速等要素，對(duì)標(biāo)槍投擲距離影響的相對(duì)重要性進(jìn)行分析總結(jié)，用自然 語言進(jìn)行詳盡的描述。符號(hào)說明我在底下標(biāo)注，自助總結(jié)下吧四、模型假設(shè)假設(shè)運(yùn)動(dòng)員:(1)(2)(3)出手高度為2m標(biāo)槍重量為Qoo.g不考慮標(biāo)槍在飛行過程中的進(jìn)動(dòng)影響(6)(7)如果考慮有風(fēng)，空氣阻力(推力)水平考慮地心引力(8)除了出手角度外，考慮初始俯仰角和初始攻角(初始攻角3

9、=持槍角丫 ？出手角a五、模型建立與求解5.1空氣密度為1.184 X 10切卅 空氣粘度為曲4 X L0 '"?丿(帕秒)5.1.1模型建立標(biāo)槍長軸與直徑數(shù)據(jù)在不同的部位存在一定的關(guān)系逼近，利用題中已給的數(shù)據(jù)近似聚類，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述，以完成對(duì)形心位置的準(zhǔn)確預(yù)測。即利用k-means聚類研究它們之間的關(guān)系。聚類是一個(gè)將數(shù)據(jù)集中在某些方面相似的數(shù)據(jù)成員進(jìn)行分類組織的過程，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。我們建立槍身、槍頭、把手三者相關(guān)的聚類模型(1) 選擇3個(gè)點(diǎn)作為初始質(zhì)心?；?2) 將每個(gè)點(diǎn)指派到最近的質(zhì)心，形成3個(gè)簇，重新計(jì)算每個(gè)簇的質(zhì)心，直到質(zhì)心不發(fā)生變 (Result表示結(jié)果，v

10、1v2v3表示槍身、槍頭、把手)D(x)表示沿槍軸方向的直徑分布，我們將D(x)的度量為標(biāo)槍長度分割為多個(gè)刻度，一共70份，利用matlab進(jìn)行擬合得到標(biāo)槍沿槍軸方向的直徑分布模型：D(x)表示沿槍軸方向的直徑分布在matlab中，標(biāo)槍長度刻度為 y軸，沿槍軸方向的直徑分布為x軸，根據(jù)擬合優(yōu)度選用以擬合優(yōu)度91.34%e為底的指數(shù)函數(shù)擬合，擬合得到如下圖像反函數(shù)運(yùn)算得到 D(x) 表達(dá)式查閱相關(guān)資料，結(jié)合分析，發(fā)現(xiàn)，該型標(biāo)槍沿標(biāo)槍中軸線剖面面積以及標(biāo)槍表面積滿足下列表達(dá)式(S剖表示標(biāo)槍中軸線剖面面積，X表示從槍尖為起點(diǎn)的標(biāo)槍長度，D(x)表示沿槍軸5.1.2方向的直徑分布，L表示標(biāo)槍長度，80

11、0g標(biāo)槍取2.6m)模型求解根據(jù)上述模型，可以得到，三者樣本量集群分布如下：由結(jié)合、分割輪廓可知三者品質(zhì)如下，形心位于槍身(品質(zhì)：劣)處:經(jīng)過k-means聚類得到下述結(jié)果： 最終經(jīng)過計(jì)算：形心位于距離槍尖1050mm處利用matlab軟件對(duì)剖面面積以及標(biāo)槍表面積進(jìn)行辛普森梯形數(shù)值積分，得到表面積為 145074（mm2），剖面積 67336（mm2）5.2問題二模型建立與求解出手速度v （米/秒），出手角5.2.1 模型的建立利用SPSS軟件對(duì)變量進(jìn)行距離相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)員（度），初始攻角（度），投擲距離dist （米）4者之間存在相關(guān)性，結(jié)果如下:我們以V,為自變量，dist為因變量進(jìn)

12、行多?；貧w分析擬合準(zhǔn)確度符合預(yù)期查閱文獻(xiàn)我們知道，出手角度，初始俯仰角，貝初始攻角我們經(jīng)過分析及查閱相關(guān)文檔發(fā)現(xiàn)，考慮初始攻角由出手角以及初始俯仰角聯(lián)合影響，故，只考慮初始攻角即可，擬合發(fā)現(xiàn)，初始攻角、出手速度V二者之間對(duì)投擲距離dist的影響滿足三兀三次關(guān)系:函數(shù)圖像如下：傅里葉函數(shù)6次擬合出手角和初始攻角之間的關(guān)系:5.2.2模型的求解標(biāo)槍飛行過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下:（1）在只考慮出手速度V，出手角，高度h，情況下則滿足斜拋運(yùn)動(dòng)方程，距5.3S1（2）考慮初始攻角S2，S2tan，出手角，出手速度V時(shí)，忽略高度的影響因素，距離dist問題三模型建立與求解5.3.1模型的建立1,重心位于形心前

13、10匸創(chuàng)（重心在槍尖與形心之間），出手假設(shè)某型標(biāo)槍的幾何參數(shù)同問題時(shí)標(biāo)槍的初始俯仰角速度為 0。在無風(fēng)的前提下，對(duì)標(biāo)槍投擲出手瞬間、出手后的受力及運(yùn) 動(dòng)情況進(jìn)行分析：簡化模型，忽略初始俯仰角速度和重心對(duì)標(biāo)槍投擲的影響；5.3.2標(biāo)槍出手瞬間，受到手的推力和重力； 標(biāo)槍出手后，只受重力。由第二問的分析以及第三問題意知，標(biāo)槍投擲滿足模型 模型的求解（1）假設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投擲出手速度為|29.7伽/$、出手角為36.6初始攻角為-0.9 ,由第二5.45.4.1問的結(jié)論可以估算出標(biāo)槍的投擲距離為（2）將初始攻角的區(qū)間設(shè)為83.904m（-20,10），步長設(shè)為1,建立程序計(jì)算得到，（程 序見附錄），初始

14、攻角為-7度時(shí)，投擲距離較大，投擲距離為 85.817m, 而用擬合的另一個(gè)公式，33.73 0.7881cos0.72671.525sin 0.72671.04cos1.45340.1092sin1.45341.196cos2.18012.07sin 2.18010.51cos2.90680.07145sin 2.90680.6295cos3.63350.07075sin 3.63351.13COS4.36021.743s in 4.3602由初始攻角得到，出手角為34.6875度問題四模型建立與求解模型的建立 查閱相關(guān)文獻(xiàn)， 我們知道出手角度為（1）（2）（3）初始攻角為0° 當(dāng)

15、初始攻角0 在順風(fēng)風(fēng)速為32°，6°時(shí),如有逆風(fēng)，標(biāo)槍飛行遠(yuǎn)度均呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)；時(shí)，逆風(fēng)增大只會(huì)引起飛行遠(yuǎn)度大幅度地下降。012 m/s,初始攻角為-6° 6°時(shí)，標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度隨風(fēng)速增加有所增加尤其是在初始攻角為 6°時(shí)增加幅度更大。12 m/s時(shí)，飛行遠(yuǎn)度會(huì)急劇下降。（4）出手角度為40°時(shí),（1）（2）（3）但當(dāng)風(fēng)速超過6時(shí)，如有逆風(fēng)，標(biāo)槍飛行遠(yuǎn)度均會(huì)減小 時(shí)下降的幅度更大。初始攻角為-6初始攻角0°9 m/s12順風(fēng)時(shí)，在上述條件下，標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度會(huì)有較大幅度增加，但風(fēng)速一旦超過m/s，飛行遠(yuǎn)度會(huì)大大減小通過上面的

16、論述，我們可以知道，題目中給出的順風(fēng)逆風(fēng)速度沒有讓實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)指數(shù)級(jí)別 的誤差，并且為我們后面的研究提供了理論和數(shù)值基礎(chǔ)。在這里，嘗試建立人體-標(biāo)槍運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程：將標(biāo)槍視為純凈剛體，利用牛頓歐拉方程建立剛體的動(dòng)力學(xué)方程，作用在標(biāo)槍上的力有重力 以及空氣阻力（反作用力）符號(hào)說明：J標(biāo)槍轉(zhuǎn)動(dòng)慣量r質(zhì)點(diǎn)距離轉(zhuǎn)軸，默認(rèn)15mm x（t）標(biāo)槍位移x'（t）標(biāo)槍速度x”（t）標(biāo)槍加速度V出出手速度V順順風(fēng)速度V逆逆風(fēng)速度 出出手角 攻初始攻角M標(biāo)槍質(zhì)量I標(biāo)槍長度（力矩）初始俯仰角速度h運(yùn)動(dòng)員高度X風(fēng)向阻力5.4.2 模型的求解將初速代入上述模型求解可得順風(fēng)逆風(fēng)3m/shm(s9m/53m/shm

17、js9m/5最佳出手角（度）38.740.341.140.639.938.4最佳初始攻角（度）-7.1-6.7-6.4-5.7-6.1-6.9最佳初始俯仰角速度（度/秒）-8-8-9-9-9-8最大投擲距離（米）87.589.190.489.588.187.05.5問題五模型建立與求解通過對(duì)擲標(biāo)槍運(yùn)動(dòng)的研究，主要將得出以下兩個(gè)方面的結(jié)論：一、人體投擲動(dòng)作對(duì)標(biāo)槍初始條件的影響本文先對(duì)飛行系統(tǒng)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)預(yù)測，在對(duì)人體-標(biāo)槍系統(tǒng)建立剛體力學(xué)模型基礎(chǔ)上，通過動(dòng)力學(xué)普遍定理推導(dǎo)了該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，最終得出了各個(gè)剛體之間的相互作用力矩 與剛體之間相對(duì)角度之間的關(guān)系，從而間接建立了各剛體之間相互作用力

18、及力矩與標(biāo)槍飛行 的初始條件之間的關(guān)系。二、初始條件和風(fēng)對(duì)標(biāo)槍飛行遠(yuǎn)度的影響在對(duì)標(biāo)槍飛行的計(jì)算機(jī)模擬以及模擬得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，將得出以下幾個(gè)結(jié)論,而月增加（1）在其它初始條件不變的情況下，隨著初速度的不斷增加，標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度也不斷增加 的幅度有加大的趨勢(shì)。在本文研究的范圍內(nèi)，它們基本上呈線性關(guān)系。 在其它初始條件不變的情況下，標(biāo)槍在出手角度為0° 42。的范圍內(nèi)，隨著出手角度的增加標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度基本上是不斷增加的。當(dāng)出手角度為45°時(shí)，在空氣阻力的影響下，并不能使標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度達(dá)到最大。當(dāng)出手角度超過42°以后，標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度有所下降。本文認(rèn)為該標(biāo)槍的最佳出手

19、角度大約在 42度左右。（3）在其它初始條件-定的情況下，初始俯仰角速度小于0時(shí)標(biāo)槍要飛的更遠(yuǎn)一些。認(rèn)為標(biāo)槍的最佳初始俯仰角速度大約在 -0.26rad/s -0.17rad/s范圍內(nèi)。（4 ）在本文的研究中，初始攻角的變化和出手角存在一定的關(guān)系。八、模型評(píng)價(jià)問題一采用的是 K-means聚類，雖然直觀，但是不便于數(shù)據(jù)的具體統(tǒng)計(jì)。問題二利用多元回歸統(tǒng)計(jì)進(jìn)行分析，采取的是忽略次要因素，突出主要因素，可能會(huì)在結(jié)論 上出現(xiàn)些許偏差。問題三在問題二的基礎(chǔ)上修繕，在程序上采用步長推斷法，導(dǎo)出合適的結(jié)論。問題四更加復(fù)雜化，在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合物理模型，建立牛頓歐拉方程，求解問題， 結(jié)果較為準(zhǔn)確。問題五

20、對(duì)整個(gè)標(biāo)槍問題進(jìn)行系統(tǒng)地總結(jié)概括。七、參考文獻(xiàn)標(biāo)槍的氣動(dòng)力特性和幾何 _物理參數(shù)測量_蔡國華 標(biāo)槍幾何物理參數(shù)與空氣動(dòng)力學(xué)性能_王倩標(biāo)槍的仰角與阻力_ 王吉壽世界優(yōu)秀男子標(biāo)槍運(yùn)動(dòng)員最后用力階段運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)分析風(fēng)對(duì)標(biāo)槍飛行初始條件及遠(yuǎn)度的影響王倩（一般力學(xué)與力學(xué)基礎(chǔ)專業(yè)論文）人體一標(biāo)槍系統(tǒng)對(duì)標(biāo)槍飛行初始條件的影響及標(biāo)槍飛行的計(jì)算機(jī)模擬八、附錄附錄：#in cludevbits/stdc+.h> using n ames pace std;int mai n()double x100;double y100;double z100;double p00 =2115 ;double p10 =-

21、94.97;double p01 =-221.1 ;double p20 =0.5152 ;double p11 =6.849 ;double p02 =7.788 ;double p30 =-0.003476 ;double p21 =-0.01733 ;double p12 =-0.1229 ;double p03 =-0.08907 ;int i;for(i=1；iv=31;i+)xi=30;for(i=1；i<=31;i+)yi=i-11；double x=-7;double a0 =33.73 ;double a1 =-0.7881 ;double b1 =-1.525 ;doubl