多元函數(shù)的基本概念課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 第九章 第一節(jié)第一節(jié)一、平面點集一、平面點集二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念本節(jié)重點 了解多元函數(shù)的基本概念 會求函數(shù)的定義域 會求簡單的多元函數(shù)的極限 知道

2、極限不存在的說明方法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念平面點集，n維空間目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念一、一、 平面點集平面點集 n n維空間維空間直線直線R中的點集中的點集 |Rxx 實數(shù)集，一維空間實數(shù)集，一維空間 | , Ax axba b區(qū)間區(qū)間ab1,2,3, ,Nn自然數(shù)集自然數(shù)集目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念1、平面點集、平面點集2( , )|,Rx yx y 實平面，二維空間，實平面，二維空間，坐標平面坐標平面2R( , )| ,Ex yx yP具有性質(zhì)222C( , )|, x yxya圓盤Ca平面點集平面點集目錄 上頁 下頁

3、 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念常見平面點集常見平面點集| ),(222ayxyxB1| ),(2xyxyxC圓域目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念圓環(huán)域1|),(yxyxD41 | ),(22yxyxE目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念空間點集,| ),(3zyxzyxR實空間，三維空間| ),(2222azyxzyxA球面| ),(2222azyxzyxB球體目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念| ),(22222yxazyxzyxC22yxz222yxaz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念| ),(22222yxazyxzyxC球頂錐

4、體目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念2. 鄰域鄰域回憶： R中的鄰域；00(, ) |U xx xx00 |x xxx00(,)xx0 x0 x0 xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 平面中的鄰域點P0（x0，y0）的鄰域；空間中的鄰域點P0（x0，y0，z0）的鄰域；),(0 PU |0PPP222000( , )|()()().x yxxyyzz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 )(0oPPUPP 00說明：說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成點 P0 的去心鄰

5、域去心鄰域記為0()U P目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念3. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集 E 及一點 P : 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點也含 EE則稱 P 為 E 的內(nèi)點內(nèi)點；則稱 P 為 E 的外點外點 ;則稱 P 為 E 的邊界點邊界點 .的外點 ,顯然, E 的內(nèi)點必屬于 E , E 的外點必不屬于 E , E 的邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念(2) 聚點與孤立點聚點與孤立點若對

6、任意給定的 , ,點P 的去心),PU(E鄰域內(nèi)總有E 中的點 , 則稱 P 是 E 的聚點聚點.聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因為聚點可以為 E 的邊界點 )所有聚點所成的點集稱為 E 的導集導集 ，記作 .E目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集；EP 41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集開集不包含它的任何邊界點 若點集 E E , 則稱 E 為閉集； E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;點集E是閉集閉集，是指它包含了它的每一個非孤立的邊界點。EP 22( , )|01x yxy例如例如,即為

7、閉集即為閉集(3) 開集與閉集開集與閉集目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念D(4) 開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域xyOxy21OxyOxy21O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 整個平面 點集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域

8、 ;但非區(qū)域 .11 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 PD 與某定點 A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無無xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)的概念目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式,2hrV ,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)

9、的基本概念定義定義1. 設(shè)非空點集,nDRDPPfu, )(或點集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當 n = 3 時, 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的定義域多元函數(shù)的定義域多元函數(shù)的定義域：明確指定或約定定義域的約定：使函數(shù)表達式有意義的所有點的集合。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念xzy例如, 二元函數(shù)2

10、21yxz定義域為1),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(Ryx三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域為1),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzOOO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)的圖形目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念),(),(| ),(Dyxyxfzzyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概

11、念二元函數(shù)的例子22yxz旋轉(zhuǎn)拋物面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念222yxaz上半球面22yxz正圓錐面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念22xRz上半圓柱面231yxz平面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念復(fù)雜的二元函數(shù)的例子yxzsinsin22sinyxz22yxxyez目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念一個二元函數(shù)并非每一個曲面都表示222zyx22yxz22yxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念2222Rzyx222yxRz222yxRz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念求多元函數(shù)的表達式例

12、設(shè) ， 22(,)f xy xyxy求 ( , )f x y解 因為 2(,)()2xyxfxyyxy得2( , )( )2fuvuv所以2( , )2f x yxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限回憶：一元函數(shù)的極限:)(lim0Axfxx.|)(|0:0, 00Axfxxx對.|)(|),(0AxfxUxo或?qū)δ夸?上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）

13、二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念例例1 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當當 時，時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 若當點),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,2

14、2),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點 (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時yxP不存在 .例例2. 討論函數(shù)函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念僅知其中一個存在,推不出其他二者存在.注注. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx

15、),(limlim00yxfxy0,0但由例2 知它在(0,0)點二重極限不存在 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 多元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似，比如 四則運算法則 夾逼準則 等價無窮小代換（因式代換） 但羅比達法則不再成立！目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念例例3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim2220

16、0 yxyxyxyxu2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè) 二 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy0)(PPf在點如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上000P(x ,y ) D,聚點如果否則稱為不連續(xù),0P此時稱為間斷點 .則稱 二元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 回憶一元函數(shù)的連續(xù)性回憶一元函數(shù)的連續(xù)性000lim( )()xxfxf xf x在 連續(xù)目錄 上頁

17、下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(0 , 0) 極限不存在, 故 ( 0, 0 )為其間斷點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).多元初等函數(shù)；多元初等函數(shù)； 由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算所構(gòu)成的可用一個有限次的四則運算和復(fù)合運算所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)定義區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。是指包含在定義

18、域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。初等函數(shù)初等函數(shù)sin()xy()xyxy e2()(2)xyxy處處連續(xù)處處連續(xù)又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx在圓周目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念例例4.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 00000lim( )( )( )( )lim( )().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P一般地，求時，如果是初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點，則在點處連續(xù)，于是目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念例例5. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準則得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念課內(nèi)練習課內(nèi)練習 p63,6(6) 222222001 cos()lim.()x yxyxyxye02222)()cos(1lim22220yxyxeyxyx2222)()(21lim22