平面向量的綜合運(yùn)用

1、平面向量的綜合運(yùn)用林賢數(shù)設(shè)計(jì)立意及思路考試說明指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科的考試，按照考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力的原則”，且“對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，要全面而又突出重點(diǎn)，注意學(xué)科內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)間的綜合，學(xué)科內(nèi)在的聯(lián)系，包括各部分知識(shí)在發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系，以及各部分之間的橫向聯(lián)系，知識(shí)的綜合性，則是從學(xué)科整體高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題。”由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系眾多知識(shí)內(nèi)容的媒介。所以，向量成為了“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體。從2001年至2004年的高考新課程卷來看，對(duì)向量的考查力度在逐年加大，

2、除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，既是當(dāng)今高考的熱點(diǎn)，又是重點(diǎn)，如2004年高考福建卷第17題、遼寧卷第19題、全國卷第21題等。因此，研究向量與其它內(nèi)容的綜合運(yùn)用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的能力（尤其是培養(yǎng)學(xué)生從學(xué)科整體的高度解決問題的綜合能力），把握當(dāng)今高考命題改革趨勢(shì)，有著重要的意義。本專題將在回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，突出平面向量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高學(xué)生分析問題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，使學(xué)生站在新的高度來認(rèn)識(shí)和理解向量。高考考點(diǎn)回顧一、2005年考綱回放：1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共

3、線向量的概念。2、掌握向量的加法與減法。3、掌握實(shí)數(shù)與向量積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。6、掌握平面兩點(diǎn)間的距離方式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)公式，并且能熟練運(yùn)用，掌握平移公式。二、高考考點(diǎn)回顧：在高考試題中，對(duì)平面向量的考查主要有四個(gè)方面：其一是主要考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則，理解和運(yùn)用其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行計(jì)算，如2004年浙江省卷第14題，2004年全國高考理科第3題，2004

4、年全國高考理科第14題，2004年湖北高考理科解答題中的第19題。其二考查向量坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算，如2004年全國高考理科第9題，2004年廣東高考第1題，2004年上海高考文科第6題等。其三是和其他知識(shí)結(jié)合在一起，在知識(shí)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，考查向量與學(xué)科知識(shí)間綜合運(yùn)用能力，如在2002年全國新課程卷上出現(xiàn)了與數(shù)列相結(jié)合的題目，2004年福建高考第17題（與三角函數(shù)結(jié)合），2004年全國卷理第21題（與解析幾何結(jié)合）等；其四是考查以向量為工具，即構(gòu)造向量解決有關(guān)數(shù)量問題，如2004年重慶卷理科第21題（解析幾何題）可借助向量垂直的充要條件進(jìn)行求解等?；A(chǔ)知識(shí)梳理、平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表向量的概

5、念向量的加、減法兩個(gè)向量平行的充要條件件件向量向量的運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量的積 兩個(gè)向量垂直的充要條件件件向量的數(shù)量積定比分點(diǎn)公式向量的運(yùn)用在物理學(xué)中的應(yīng)用在地平移公式在幾何中的應(yīng)用、內(nèi)容概述1、向量的概念向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量，它由大小和方向兩個(gè)因素確定，向量有三種表示法：一是用有向線段，二是用字母a或，三是用坐標(biāo)a（x , y）。注意共線向量（也稱平行向量，方向相同或相反的向量）與相等向量（方向相同且模相等）的聯(lián)系與區(qū)別。2、向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算有加法、減法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積四種。注意前三種向量運(yùn)算的幾何表示和四種運(yùn)算的坐標(biāo)表示、運(yùn)算律。3、平面向量的定理及相關(guān)性質(zhì)（1）兩個(gè)非零向量平行的

6、充要條件： ab ab (R)設(shè)a(x1,y1),b (x2,y2)則ab x1y2x2y10（2）兩個(gè)非零向量垂直的充要條件： ab a·b 0設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)則ab x1·x2y1·y20（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使 a1e12e2.（4）三點(diǎn)共線定理：平面上三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)、，使，其中1,O為平面內(nèi)的任一點(diǎn)。4、 常用公式及結(jié)論a、向量模的公式：設(shè)（x,y）,則b、兩點(diǎn)間的距離公式： P1(x1,y1),P2(x2,y

7、2)c、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式： P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y), d、中點(diǎn)坐標(biāo)公式： 或 M（x0 ,y0）是線段AB中點(diǎn)e、兩向量的夾角公式：cos 0°180°,a(x1,y1),b(x2,y2)f、圖形平移公式：若點(diǎn)P(x,y)按向量a(h,k)平移至(,),則g、有關(guān)向量模的常用結(jié)論：, 例題講解類型、平面向量學(xué)科內(nèi)綜合運(yùn)用此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關(guān)概念與性質(zhì)，要求考生深刻理解平面向量的相關(guān)概念，能熟練進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，熟悉常用公式及結(jié)論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。例1已知a（5，4），b（3，2）

8、，則與2a3b平行的單位向量為_。點(diǎn)撥 與一個(gè)非零向量a共線的單位向量有兩個(gè)：與a同向的單位向量e1，與a反向的單位向量e2.求與已知向量平行的向量常用坐標(biāo)運(yùn)算。解析 法一：2a3b2(5，4)3（3，2）（1，2） .法二：令e=(x, y) 2a3b（1，2），且e與2a3b平行， x2y0.   又x2y21    由解得.變式 已知b是a（3，4）垂直，且15，求b. （12，9）或（12，9） 例2已知1，1，a與b的夾角為60°，x2ab,y3ba，則x與y的夾角是多少？點(diǎn)撥 要計(jì)算x與y的夾角，需求出，x·y的

9、值,可利用2x2求解。解析 由已知1，a與b的夾角為60°, 得 a·b··cos2x2=（2ab）24a24a·bb244×13，2y2=（3ba）29b26a·ba296×17,x·y（2ab）·(3ba) 7a·b2a23b2，又x·y··cos，即·cos cos，arccos.變式1 （2004年高考浙江卷）已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足3, 4, 5,則的值等于_。25變式2 已知，2，a和b的夾角為45°，求使向量ab與ab

10、的夾角是銳角時(shí)的取值范圍?；颍?）類型、平面向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合運(yùn)用當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，可以設(shè)計(jì)出有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：利用向量平行或垂直的充要條件，利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).例3已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，試求函數(shù)的關(guān)系式kf(t)；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間。解析（1）法一：由題意知x(,), y(tk，tk

11、)，又xy故x · y×（tk）×(tk)0。整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x · y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.歸納 第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公

12、式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用。變式1 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角，使向量(sin3), k(sin),且，試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。點(diǎn)撥 將例題中的t略加改動(dòng)，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數(shù)綜合運(yùn)用能力。解析 仿例3（1）解法（二）可得k( sin)2,而1sin1, 當(dāng)sin1時(shí)，k取最大值1； sin1時(shí)，k取最小值. 又k0 k的取值范圍為 .變式2 已知向量(x,x4)，向量(x2, x), x4,2.(1)試用x表示

13、3;；2求·的最大值，并求此時(shí)·夾角的大小。(1)·x3x26x , (2)最大值為10，此時(shí)x=2,arccos 例4（2004年高考福建卷）設(shè)函數(shù)f (x)a · b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c(m , n) ()平移后得到函數(shù)yf(x)的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值。分析 本題主要考查平面向量的概念和計(jì)算、平移公式以及三角函數(shù)的恒等變換等基本技能，解析 (1)依題設(shè)，f(x)（2cosx，1）·(cosx,sin2x)2cos2x

14、sin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x,2x=, 即x.（2）函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c（m , n）平移后得到函數(shù)y2sin2(xm)+n的圖象，即函數(shù)yf(x)的圖象.由(1)得f (x) ， m，n1. 歸納 把函數(shù)的圖像按向量平移，可以看成是C上任一點(diǎn)按向量平移，由這些點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所組成的圖象是C，明確了以上點(diǎn)的平移與整體圖象平移間的這種關(guān)系，也就找到了此問題的解題途徑。一般地，函數(shù)yf (x)的圖象按向量a(h , k)平移后的函數(shù)解析式為ykf（xh）例5（2002年全國高考新課程卷）已知兩點(diǎn)M(1，0)，N(1 , 0)，且

15、點(diǎn)P使·，·，·成公差小于零的等差數(shù)列.（）點(diǎn)P 的軌跡是什么曲線？（）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0、y0），記為與的夾角，求tan.分析 本題依托向量把解析幾何、三角、數(shù)列等知識(shí)很自然地融于一體,既考查了向量的長度、角度、數(shù)量積，又考查了軌跡方程、等差數(shù)列及同角三角函數(shù)間關(guān)系等重點(diǎn)知識(shí)，可謂一舉多得。略解（）設(shè)點(diǎn)P（x , y），分別計(jì)算出·，·，·，由題意，可得點(diǎn)P的軌跡方程是 故點(diǎn)P 的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的右半圓。 () 由（）知，可得cos，又x0,即,于是sin，變式 已知兩個(gè)M（1，0），N（1，0），點(diǎn)P使·，&

16、#183;，·成公差小于零的等差數(shù)列，且向量與a（1，0）垂直，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 P（1，）或（1，）類型、平面向量與解析幾何的綜合運(yùn)用由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，已逐漸成為高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)。在2004年全國高考、以及不少省市自主命題的高考卷中（如天津、湖南）都出現(xiàn)了平面向量與解析幾何綜合題。由此看來，向量與解析幾何相結(jié)合將是今后高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，應(yīng)引起我們高度的重視。平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問

17、題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算；或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題。主要包括以下三種題型：1、 運(yùn)用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題運(yùn)用向量共線的充要條件來處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點(diǎn)公式研究這類問題要簡捷的多。 例6（2004年全國卷）設(shè)雙曲線C :y21(a0)與l : xy1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.（）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；（）設(shè)直線l 與y 軸的交點(diǎn)為P，且，求a的值。略解 （I）略 （）設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2），P（0 , 1）

18、聯(lián)立y21與xy1,消去y整理得 從而 由，即 有代入式消去得再消去得 , 結(jié)合條件a0及滿足0得.變式1 （華中師大一附中2004年高三模擬卷改編）已知橢圓方程，過B（1，0）的直線l交隨圓于C、D兩點(diǎn)，交直線x4于E點(diǎn)，B、E分的比分1、2求證：120證明 設(shè)l的方程為yk(x1)，代入橢圓方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.設(shè)C（x1,y2）,D(x2,y2)則x1x2.由得 所以.同理，記E得其中 .變式2 （2004年高考天津卷）橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c, 0）(c0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A, 過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。()求橢圓的

19、方程及離心率；()若，求直線PQ的方程；()設(shè)，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明：簡解 () 橢圓方程為,離心率 ()略. () 證明 設(shè)P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0），由已知得方程組：； 注意1，消去x1、y1和y2 得 因F（2 , 0）, M（x1,y1），故而所以 .2、運(yùn)用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長度、角度、垂直等問題運(yùn)用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計(jì)算”出所要求的結(jié)果。例7（2004年高考重慶卷）設(shè)p0是一常數(shù)，過點(diǎn)Q(2p,0)的直線與拋物線y22px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑

20、作圓H（H為圓心），試證明拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程。分析 要證點(diǎn)O在圓H上，只要證OAOB，可轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算·0，用向量運(yùn)算的方法證明（見圖1）解答 由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：kyx2p又設(shè)A（xA,yA）,B(xB,yB), 則其坐標(biāo)滿足消去x，得y22pky4p20kyx2py22px 由此得xAxB4pk (yAyB) (42k2)p ， xAxB4P2因此·xAxByAyB0，即OAOB故O必在圓H的圓周上。又由題意圓心H（xH , yH）是AB的中點(diǎn)，故由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且從而當(dāng)k0時(shí)，圓H的半

21、徑最小，亦使圓H的面積最小。此時(shí)，直線AB的方程為：x2p.變式1（2004全國卷）給定拋物線C:y24x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)。（）設(shè)l的斜率為1，求與夾角的大?。唬ǎ┰O(shè)，若4 , 9，求l在y軸上截距的變化范圍。解答 （）C的焦點(diǎn)為F（1，0）,直線l的斜率為1，所以l的方程為yx1,將yx1代入方程y2=4x，并整理得x26x10設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則有x1x26, x1x21，從而·x1x2y1y22x1x2(x1+x2)+13··,cos所以與夾角的大小為arcos.()略.變式2如圖，點(diǎn)F（a,0）（a0）

22、，點(diǎn)P 在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為動(dòng)點(diǎn)，且·0，0。（1）求點(diǎn)N的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)F(a , 0)的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)K（a,0），與的夾角為,求證：0.分析 (1)分別設(shè)出P、M與N點(diǎn)的坐標(biāo)，將已知向量坐標(biāo)化，然后利用向量數(shù)量積及向量相等知識(shí)找到等量關(guān)系。(2)利用向量的夾角公式可知,要證0,只要證。解析 (1)y24ax(2) 證明：設(shè)AB的方程為yk（xa），代入y24ax得k2x22a（k22）xk2a20設(shè)A（x1 , y1）、B（x2 , y2），則x1x2x1 x2a2 （x1a , y1）, （x2a , y2）&#

23、183;（x1a）（x2a）y1 y2 x1x2a ( x1x2)a2() · ()a2a· a24a20，與的夾角為，與不共線，0，cos0 , 即0.3、運(yùn)用平面向量綜合知識(shí)，探求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，還可再進(jìn)一步探求曲線的性質(zhì)。例8（2002年全國新課程卷）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3, 1)，B(1, 3)， 若點(diǎn)C滿足，其中，R且+=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）.A3x2y11=0B(x1)2(y2)2=5C2xy=0 Dx2y5=0分析 本題主要考查向量的運(yùn)算（幾何形式或坐標(biāo)形式）及直線的方程，把向量聯(lián)系起來，使問題立意更新，情景更好，內(nèi)容更

24、豐富。解法1 設(shè)C(x, y)，則 (x, y)=(3, )(, 3)=(3, 3)，又 +=1 x=3， y=3 x=41，y=23消去參數(shù)，得點(diǎn)C的軌跡方程為x2y5=0解法2 利用向量的幾何運(yùn)算，考慮定比分點(diǎn)公式的向量形式，結(jié)合條件知：A，B，C三點(diǎn)共線，故點(diǎn)C的軌跡方程即為直線AB的方程x2y5=0，故本題應(yīng)選D例9已知點(diǎn)G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x軸上有一點(diǎn)M，滿足|=|， (R)求點(diǎn)C的軌跡方程； 若斜率為k的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn)P，Q，且滿足|=|，試求k的取值范圍分析 本題依托向量給出等量關(guān)系，既考查向量的模、共線等基礎(chǔ)知識(shí)，又考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡

25、，直線與橢圓的位置關(guān)系。通過向量和解析幾何間的聯(lián)系，陳題新組，考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法。按照求軌跡方程的方法步驟，把向量問題坐標(biāo)化，幾何問題代數(shù)化。解析 設(shè)C(x, y)，則G(,)(R)，GM/AB,又M是x軸上一點(diǎn)，則M(, 0)又|=|，整理得，即為曲線C的方程當(dāng)k=0時(shí)，l和橢圓C有不同兩交點(diǎn)P，Q，根據(jù)橢圓對(duì)稱性有|=|當(dāng)k0時(shí)，可設(shè)l的方程為y=kxm，聯(lián)立方程組 y=kxm消去y，整理行(13k2)x26kmx3(m21)=0（*）直線l和橢圓C交于不同兩點(diǎn)，=(6km)24(13k2)×( m21)0，即13k2m20 (1) 設(shè)P(x1, y1)，Q(x2, y2)，

26、則x1, x2是方程（*）的兩相異實(shí)根，x1x2=則PQ的中點(diǎn)N(x0, y0)的坐標(biāo)是x0=，y0= k x0m=，即N(, )，又|=|，k·kAN=k·=1，m=.將m=代入(1)式,得 13k2()20（k0），即k21，k(1, 0)(0, 1)綜合得，k的取值范圍是(1, 1)例10（2000年北京春季高考題）設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4x上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OAOB，OMAB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。分析 本題解法很多，而構(gòu)造向量解之，思路清晰，運(yùn)算簡捷，提高了解題速度，拓展了學(xué)生的思維空間，為學(xué)生今后解決解析幾何問題又提供一種新思路。解析

27、 設(shè)M(x, y)，A(4, 4t1)，B(4, 4t2)，其中x0，t1t20且t1t2=(4, 4t1)，=(4, 4t2)，=(x, y)，=(4(), 4(t2t1)，4·44t1·4t2=0，由t1t20，可知t1t2=1 ，x·4()y·4(t2t1)=0，由t1t2，可知 t1t2= 又A、B、M三點(diǎn)共線，/，而=(x4, y4t1)，=( x4, y4t2)，由向量共線的充要條件，可知 (x4)( y4t2)=( y4t1)( y4t)，化簡，得x(t1t2)y4t1t2=0 將、代入式，可得點(diǎn)M的軌跡方程為(x2)2y2=4 (x0)，

28、它表示與y軸切于原點(diǎn)的一個(gè)圓（不包括原點(diǎn)）。從上述幾例可以看出，只要對(duì)于解析幾何中圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行認(rèn)真分析，充分挖掘問題的向量背景，注意運(yùn)用曲線參數(shù)方程的點(diǎn)化作用，就完全有可能獲得一個(gè)漂亮的向量解法。隨著新教材的逐步推廣、使用，今后高考對(duì)新增內(nèi)容的考查會(huì)逐漸加大，綜合性會(huì)更強(qiáng)。作為新課程新增內(nèi)容之一的向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，成為了作為聯(lián)系眾多知識(shí)的橋梁。因此，向量與三角、解析幾何、立體幾何的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢(shì),所以必須非常重視對(duì)向量的復(fù)習(xí)與演練，直至達(dá)到深刻理解、運(yùn)用熟練的境地。思維能力訓(xùn)練1（2004年湖北卷文）已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx7與線段

29、M1M2的交點(diǎn)分有向線段M1M2的比為3：2，則的值為 （ ）A B C D42（2004年福建卷理）已知a,b是非零向量且滿足（a2b）a，（b2a）b，則a與b的夾角是 （ ）A B C D3已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），則向量與向量的夾角的范圍為 （ ）A0， B， C， D，4（2001年全國新課程卷）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則·= （ ）A B C3 D35（2003年全國新課程卷）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+()，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的