平面向量的綜合運用

1、平面向量的綜合運用林賢數(shù)設計立意及思路考試說明指出：“數(shù)學學科的考試，按照考查基礎知識的同時，注重考查能力的原則”，且“對數(shù)學知識的考查，要全面而又突出重點，注意學科內在聯(lián)系和知識間的綜合，學科內在的聯(lián)系，包括各部分知識在發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系，以及各部分之間的橫向聯(lián)系，知識的綜合性，則是從學科整體高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡的交匯處設計試題。”由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學數(shù)學知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識內容的媒介。所以，向量成為了“在知識網(wǎng)絡交匯處設計試題”的很好載體。從2001年至2004年的高考新課程卷來看，對向量的考查力度在逐年加大，

2、除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內容相結合，在知識交匯點處命題，既是當今高考的熱點，又是重點，如2004年高考福建卷第17題、遼寧卷第19題、全國卷第21題等。因此，研究向量與其它內容的綜合運用，對培養(yǎng)學生的能力（尤其是培養(yǎng)學生從學科整體的高度解決問題的綜合能力），把握當今高考命題改革趨勢，有著重要的意義。本專題將在回顧和梳理基礎知識的基礎上，突出平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高學生分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，使學生站在新的高度來認識和理解向量。高考考點回顧一、2005年考綱回放：1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共

3、線向量的概念。2、掌握向量的加法與減法。3、掌握實數(shù)與向量積，理解兩個向量共線的充要條件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。6、掌握平面兩點間的距離方式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用，掌握平移公式。二、高考考點回顧：在高考試題中，對平面向量的考查主要有四個方面：其一是主要考查平面向量的概念、性質和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，并能正確地進行計算，如2004年浙江省卷第14題，2004年全國高考理科第3題，2004

4、年全國高考理科第14題，2004年湖北高考理科解答題中的第19題。其二考查向量坐標表示，向量的線性運算，如2004年全國高考理科第9題，2004年廣東高考第1題，2004年上海高考文科第6題等。其三是和其他知識結合在一起，在知識的交匯點設計試題，考查向量與學科知識間綜合運用能力，如在2002年全國新課程卷上出現(xiàn)了與數(shù)列相結合的題目，2004年福建高考第17題（與三角函數(shù)結合），2004年全國卷理第21題（與解析幾何結合）等；其四是考查以向量為工具，即構造向量解決有關數(shù)量問題，如2004年重慶卷理科第21題（解析幾何題）可借助向量垂直的充要條件進行求解等?；A知識梳理、平面向量知識結構表向量的概

5、念向量的加、減法兩個向量平行的充要條件件件向量向量的運算實數(shù)與向量的積 兩個向量垂直的充要條件件件向量的數(shù)量積定比分點公式向量的運用在物理學中的應用在地平移公式在幾何中的應用、內容概述1、向量的概念向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量，它由大小和方向兩個因素確定，向量有三種表示法：一是用有向線段，二是用字母a或，三是用坐標a（x , y）。注意共線向量（也稱平行向量，方向相同或相反的向量）與相等向量（方向相同且模相等）的聯(lián)系與區(qū)別。2、向量的運算向量的運算有加法、減法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積四種。注意前三種向量運算的幾何表示和四種運算的坐標表示、運算律。3、平面向量的定理及相關性質（1）兩個非零向量平行的

6、充要條件： ab ab (R)設a(x1,y1),b (x2,y2)則ab x1y2x2y10（2）兩個非零向量垂直的充要條件： ab a·b 0設a(x1,y1),b(x2,y2)則ab x1·x2y1·y20（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2使 a1e12e2.（4）三點共線定理：平面上三點A、B、C共線的充要條件是：存在實數(shù)、，使，其中1,O為平面內的任一點。4、 常用公式及結論a、向量模的公式：設（x,y）,則b、兩點間的距離公式： P1(x1,y1),P2(x2,y

7、2)c、線段的定比分點坐標公式： P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y), d、中點坐標公式： 或 M（x0 ,y0）是線段AB中點e、兩向量的夾角公式：cos 0°180°,a(x1,y1),b(x2,y2)f、圖形平移公式：若點P(x,y)按向量a(h,k)平移至(,),則g、有關向量模的常用結論：, 例題講解類型、平面向量學科內綜合運用此類題經常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關概念與性質，要求考生深刻理解平面向量的相關概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。例1已知a（5，4），b（3，2）

8、，則與2a3b平行的單位向量為_。點撥 與一個非零向量a共線的單位向量有兩個：與a同向的單位向量e1，與a反向的單位向量e2.求與已知向量平行的向量常用坐標運算。解析 法一：2a3b2(5，4)3（3，2）（1，2） .法二：令e=(x, y) 2a3b（1，2），且e與2a3b平行， x2y0.   又x2y21    由解得.變式 已知b是a（3，4）垂直，且15，求b. （12，9）或（12，9） 例2已知1，1，a與b的夾角為60°，x2ab,y3ba，則x與y的夾角是多少？點撥 要計算x與y的夾角，需求出，x·y的

9、值,可利用2x2求解。解析 由已知1，a與b的夾角為60°, 得 a·b··cos2x2=（2ab）24a24a·bb244×13，2y2=（3ba）29b26a·ba296×17,x·y（2ab）·(3ba) 7a·b2a23b2，又x·y··cos，即·cos cos，arccos.變式1 （2004年高考浙江卷）已知平面上三點A、B、C滿足3, 4, 5,則的值等于_。25變式2 已知，2，a和b的夾角為45°，求使向量ab與ab

10、的夾角是銳角時的取值范圍?；颍?）類型、平面向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合運用當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數(shù)的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數(shù)運算，其轉化途徑主要有兩種：利用向量平行或垂直的充要條件，利用向量數(shù)量積的公式和性質.例3已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在實數(shù)k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，試求函數(shù)的關系式kf(t)；(2) 根據(jù)(1)的結論，確定kf(t)的單調區(qū)間。解析（1）法一：由題意知x(,), y(tk，tk

11、)，又xy故x · y×（tk）×(tk)0。整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x · y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的單調遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.歸納 第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公

12、式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數(shù)的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用。變式1 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不為零的實數(shù)k和角，使向量(sin3), k(sin),且，試求實數(shù)k 的取值范圍。點撥 將例題中的t略加改動，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數(shù)綜合運用能力。解析 仿例3（1）解法（二）可得k( sin)2,而1sin1, 當sin1時，k取最大值1； sin1時，k取最小值. 又k0 k的取值范圍為 .變式2 已知向量(x,x4)，向量(x2, x), x4,2.(1)試用x表示

13、3;；2求·的最大值，并求此時·夾角的大小。(1)·x3x26x , (2)最大值為10，此時x=2,arccos 例4（2004年高考福建卷）設函數(shù)f (x)a · b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c(m , n) ()平移后得到函數(shù)yf(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值。分析 本題主要考查平面向量的概念和計算、平移公式以及三角函數(shù)的恒等變換等基本技能，解析 (1)依題設，f(x)（2cosx，1）·(cosx,sin2x)2cos2x

14、sin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x,2x=, 即x.（2）函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c（m , n）平移后得到函數(shù)y2sin2(xm)+n的圖象，即函數(shù)yf(x)的圖象.由(1)得f (x) ， m，n1. 歸納 把函數(shù)的圖像按向量平移，可以看成是C上任一點按向量平移，由這些點平移后的對應點所組成的圖象是C，明確了以上點的平移與整體圖象平移間的這種關系，也就找到了此問題的解題途徑。一般地，函數(shù)yf (x)的圖象按向量a(h , k)平移后的函數(shù)解析式為ykf（xh）例5（2002年全國高考新課程卷）已知兩點M(1，0)，N(1 , 0)，且

15、點P使·，·，·成公差小于零的等差數(shù)列.（）點P 的軌跡是什么曲線？（）若點P坐標為（x0、y0），記為與的夾角，求tan.分析 本題依托向量把解析幾何、三角、數(shù)列等知識很自然地融于一體,既考查了向量的長度、角度、數(shù)量積，又考查了軌跡方程、等差數(shù)列及同角三角函數(shù)間關系等重點知識，可謂一舉多得。略解（）設點P（x , y），分別計算出·，·，·，由題意，可得點P的軌跡方程是 故點P 的軌跡是以原點為圓心、為半徑的右半圓。 () 由（）知，可得cos，又x0,即,于是sin，變式 已知兩個M（1，0），N（1，0），點P使·，&

16、#183;，·成公差小于零的等差數(shù)列，且向量與a（1，0）垂直，求點P的坐標。 P（1，）或（1，）類型、平面向量與解析幾何的綜合運用由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質，是數(shù)形結合與轉換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結合與轉換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。在2004年全國高考、以及不少省市自主命題的高考卷中（如天津、湖南）都出現(xiàn)了平面向量與解析幾何綜合題。由此看來，向量與解析幾何相結合將是今后高考的重點和熱點，應引起我們高度的重視。平面幾何與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問

17、題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題。主要包括以下三種題型：1、 運用向量共線的充要條件處理解幾中有關平行、共線等問題運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問題要簡捷的多。 例6（2004年全國卷）設雙曲線C :y21(a0)與l : xy1相交于兩個不同的點A、B.（）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；（）設直線l 與y 軸的交點為P，且，求a的值。略解 （I）略 （）設 A（x1，y1），B（x2，y2），P（0 , 1）

18、聯(lián)立y21與xy1,消去y整理得 從而 由，即 有代入式消去得再消去得 , 結合條件a0及滿足0得.變式1 （華中師大一附中2004年高三模擬卷改編）已知橢圓方程，過B（1，0）的直線l交隨圓于C、D兩點，交直線x4于E點，B、E分的比分1、2求證：120證明 設l的方程為yk(x1)，代入橢圓方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.設C（x1,y2）,D(x2,y2)則x1x2.由得 所以.同理，記E得其中 .變式2 （2004年高考天津卷）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c, 0）(c0)的準線l與x軸相交于點A, 過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。()求橢圓的

19、方程及離心率；()若，求直線PQ的方程；()設，過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明：簡解 () 橢圓方程為,離心率 ()略. () 證明 設P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0），由已知得方程組：； 注意1，消去x1、y1和y2 得 因F（2 , 0）, M（x1,y1），故而所以 .2、運用向量的數(shù)量積處理解幾中有關長度、角度、垂直等問題運用向量的數(shù)量積，可以把有關的長度、角度、垂直等幾何關系迅速轉化為數(shù)量關系，從而“計算”出所要求的結果。例7（2004年高考重慶卷）設p0是一常數(shù)，過點Q(2p,0)的直線與拋物線y22px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑

20、作圓H（H為圓心），試證明拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程。分析 要證點O在圓H上，只要證OAOB，可轉化為向量運算·0，用向量運算的方法證明（見圖1）解答 由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：kyx2p又設A（xA,yA）,B(xB,yB), 則其坐標滿足消去x，得y22pky4p20kyx2py22px 由此得xAxB4pk (yAyB) (42k2)p ， xAxB4P2因此·xAxByAyB0，即OAOB故O必在圓H的圓周上。又由題意圓心H（xH , yH）是AB的中點，故由前已證，OH應是圓H的半徑，且從而當k0時，圓H的半

21、徑最小，亦使圓H的面積最小。此時，直線AB的方程為：x2p.變式1（2004全國卷）給定拋物線C:y24x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點。（）設l的斜率為1，求與夾角的大??；（）設，若4 , 9，求l在y軸上截距的變化范圍。解答 （）C的焦點為F（1，0）,直線l的斜率為1，所以l的方程為yx1,將yx1代入方程y2=4x，并整理得x26x10設A（x1,y1）,B(x2,y2),則有x1x26, x1x21，從而·x1x2y1y22x1x2(x1+x2)+13··,cos所以與夾角的大小為arcos.()略.變式2如圖，點F（a,0）（a0）

22、，點P 在y軸上運動，點M在x軸上運動，點N為動點，且·0，0。（1）求點N的軌跡C的方程；（2）過點F(a , 0)的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點，設點K（a,0），與的夾角為,求證：0.分析 (1)分別設出P、M與N點的坐標，將已知向量坐標化，然后利用向量數(shù)量積及向量相等知識找到等量關系。(2)利用向量的夾角公式可知,要證0,只要證。解析 (1)y24ax(2) 證明：設AB的方程為yk（xa），代入y24ax得k2x22a（k22）xk2a20設A（x1 , y1）、B（x2 , y2），則x1x2x1 x2a2 （x1a , y1）, （x2a , y2）&#

23、183;（x1a）（x2a）y1 y2 x1x2a ( x1x2)a2() · ()a2a· a24a20，與的夾角為，與不共線，0，cos0 , 即0.3、運用平面向量綜合知識，探求動點軌跡方程，還可再進一步探求曲線的性質。例8（2002年全國新課程卷）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3, 1)，B(1, 3)， 若點C滿足，其中，R且+=1，則點C的軌跡方程為（ ）.A3x2y11=0B(x1)2(y2)2=5C2xy=0 Dx2y5=0分析 本題主要考查向量的運算（幾何形式或坐標形式）及直線的方程，把向量聯(lián)系起來，使問題立意更新，情景更好，內容更

24、豐富。解法1 設C(x, y)，則 (x, y)=(3, )(, 3)=(3, 3)，又 +=1 x=3， y=3 x=41，y=23消去參數(shù)，得點C的軌跡方程為x2y5=0解法2 利用向量的幾何運算，考慮定比分點公式的向量形式，結合條件知：A，B，C三點共線，故點C的軌跡方程即為直線AB的方程x2y5=0，故本題應選D例9已知點G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x軸上有一點M，滿足|=|， (R)求點C的軌跡方程； 若斜率為k的直線l與點C的軌跡交于不同兩點P，Q，且滿足|=|，試求k的取值范圍分析 本題依托向量給出等量關系，既考查向量的模、共線等基礎知識，又考查動點的軌跡

25、，直線與橢圓的位置關系。通過向量和解析幾何間的聯(lián)系，陳題新組，考查基礎知識和基本方法。按照求軌跡方程的方法步驟，把向量問題坐標化，幾何問題代數(shù)化。解析 設C(x, y)，則G(,)(R)，GM/AB,又M是x軸上一點，則M(, 0)又|=|，整理得，即為曲線C的方程當k=0時，l和橢圓C有不同兩交點P，Q，根據(jù)橢圓對稱性有|=|當k0時，可設l的方程為y=kxm，聯(lián)立方程組 y=kxm消去y，整理行(13k2)x26kmx3(m21)=0（*）直線l和橢圓C交于不同兩點，=(6km)24(13k2)×( m21)0，即13k2m20 (1) 設P(x1, y1)，Q(x2, y2)，

26、則x1, x2是方程（*）的兩相異實根，x1x2=則PQ的中點N(x0, y0)的坐標是x0=，y0= k x0m=，即N(, )，又|=|，k·kAN=k·=1，m=.將m=代入(1)式,得 13k2()20（k0），即k21，k(1, 0)(0, 1)綜合得，k的取值范圍是(1, 1)例10（2000年北京春季高考題）設點A和B為拋物線y2=4x上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。分析 本題解法很多，而構造向量解之，思路清晰，運算簡捷，提高了解題速度，拓展了學生的思維空間，為學生今后解決解析幾何問題又提供一種新思路。解析

27、 設M(x, y)，A(4, 4t1)，B(4, 4t2)，其中x0，t1t20且t1t2=(4, 4t1)，=(4, 4t2)，=(x, y)，=(4(), 4(t2t1)，4·44t1·4t2=0，由t1t20，可知t1t2=1 ，x·4()y·4(t2t1)=0，由t1t2，可知 t1t2= 又A、B、M三點共線，/，而=(x4, y4t1)，=( x4, y4t2)，由向量共線的充要條件，可知 (x4)( y4t2)=( y4t1)( y4t)，化簡，得x(t1t2)y4t1t2=0 將、代入式，可得點M的軌跡方程為(x2)2y2=4 (x0)，

28、它表示與y軸切于原點的一個圓（不包括原點）。從上述幾例可以看出，只要對于解析幾何中圖形的位置關系和數(shù)量關系進行認真分析，充分挖掘問題的向量背景，注意運用曲線參數(shù)方程的點化作用，就完全有可能獲得一個漂亮的向量解法。隨著新教材的逐步推廣、使用，今后高考對新增內容的考查會逐漸加大，綜合性會更強。作為新課程新增內容之一的向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c，成為了作為聯(lián)系眾多知識的橋梁。因此，向量與三角、解析幾何、立體幾何的交匯是當今高考命題的必然趨勢,所以必須非常重視對向量的復習與演練，直至達到深刻理解、運用熟練的境地。思維能力訓練1（2004年湖北卷文）已知點M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx7與線段

29、M1M2的交點分有向線段M1M2的比為3：2，則的值為 （ ）A B C D42（2004年福建卷理）已知a,b是非零向量且滿足（a2b）a，（b2a）b，則a與b的夾角是 （ ）A B C D3已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），則向量與向量的夾角的范圍為 （ ）A0， B， C， D，4（2001年全國新課程卷）設坐標原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A，B兩點，則·= （ ）A B C3 D35（2003年全國新課程卷）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+()，則點P的軌跡一定通過ABC的