【KS5U解析】廣東省2020屆高三普通高中招生全國統(tǒng)一考試模擬（一）數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試廣東省文科數(shù)學(xué)模擬試題（一）本試卷5頁，23小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的縣（市、區(qū)）、學(xué)校、姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2b鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案答案不能答在試卷上3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答無效4考生必須保證答題卡的整潔考

2、試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知集合均為全集的子集，集合，則滿足的集合可以是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由補(bǔ)集的定義可知，集合中不含元素1,2，即得答案.【詳解】集合均為全集的子集，集合.集合中不含元素1,2.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2. 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）a. b. 2c. 5d. 1【答案】d【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，把復(fù)數(shù)化為的形式，即得的虛部.【詳解】,復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和

3、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.3. 已知向量，向量滿足，若，則（ ）a. b. 3c. 1d. 2【答案】a【解析】【分析】求出，由，得，即求.【詳解】.，即，.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.4. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，若四邊形是正方形且面積為4，則橢圓的方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由題意知.由四邊形是正方形且面積為4，可得，且，即，可求的值，從而求出，可得答案.【詳解】由題意知.四邊形是正方形且面積為4，且，即，橢圓方程為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.5. 如圖，是邊長為

4、2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為，則的大致圖像為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先由已知條件寫出的函數(shù)關(guān)系式，即可選擇其圖像.【詳解】因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，當(dāng)1時(shí)， ；當(dāng)2時(shí)， 所以只有選項(xiàng)b中圖像符合故選：b.【點(diǎn)睛】此題考查的是求函數(shù)解析式和由解析式選函數(shù)圖像，屬于基礎(chǔ)題.6. 若，則的值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由，可求出.又，根據(jù)倍角公式可求值.【詳解】.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.7. 甲、乙兩人分別從4種不同的圖書中任選2本閱讀，則甲、乙兩人選的2本恰好相同的概率為（ ）a

5、. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用列舉法求出“甲從4種不同的圖書中任選2本閱讀”所包含的基本事件數(shù)，進(jìn)而求出“甲、乙兩人分別從4種不同的圖書中任選2本閱讀”包含的基本事件總數(shù)，以及“甲、乙兩人選的2本恰好相同”包含的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可求概率.【詳解】用、表示4種不同的圖書，則事件“甲從4種不同的圖書中任選2本閱讀”所包含的基本事件有：、，共種，其中，事件“甲、乙兩人分別從4種不同的圖書中任選2本閱讀”所包含的基本事件數(shù)為，記“甲、乙兩人選的2本恰好相同”為事件，則事件包含的基本事件數(shù)為，.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題.8. 某廣場(chǎng)設(shè)置

6、了一些石凳子供大家休息，這些石凳子是由正方體沿各棱的中點(diǎn)截去八個(gè)一樣的正三棱錐后得到的如果被截正方體的棱長為，則石凳子的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由題意可知，石凳子的體積等于正方體的體積減去8個(gè)正三棱錐的體積.求出正三棱錐的體積即得答案.【詳解】由題意，石凳子的體積等于正方體的體積減去8個(gè)正三棱錐的體積.一個(gè)正三棱錐的體積為,所以石凳子的體積為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.9. 執(zhí)行下邊的程序框圖，若輸出的值為，則輸入的值為（ ）a. 4b. 5c. 6d. 7【答案】b【解析】【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的值.根

7、據(jù)輸出的值為，可求出輸入的的值.【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖可得第一次執(zhí)行循環(huán)，可得第二次執(zhí)行循環(huán)，可得第三次執(zhí)行循環(huán)，可得第四次執(zhí)行循環(huán)，可得第五次執(zhí)行循環(huán)，可得輸出的值為，不成立，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.10. 已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與軸垂直，且交雙曲線于兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】設(shè).把代入雙曲線方程，得.由是等腰直角三角形，得.又，可求離心率.【詳解】設(shè).把代入雙曲線，得.是等腰直角三角形，,又，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題.11. 在

8、中，已知，是邊上一點(diǎn)，且，則面積的最大值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設(shè).由題意.則，兩端平方，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.再由三角形面積公式可求面積的最大值【詳解】設(shè).由題意，.則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.，面積的最大值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求三角形的面積，考查基本不等式，屬于中檔題.12. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由，得.令，則，故在上單調(diào)遞增，且.可得是定義在上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，且.故等價(jià)于，等價(jià)于或，可求解集.【詳解】由，得，

9、即.令，在上單調(diào)遞增，且.是定義在上的奇函數(shù)，.，是定義在上的偶函數(shù).在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且.故等價(jià)于，等價(jià)于或，即或，解得或，原不等式的解集為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于較難的題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 設(shè)函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則_【答案】【解析】【分析】求出.由題意知，可求.【詳解】.曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14. 若滿足約束條件則的最大值為_【答案】7【解析】【分析】約束條件即，作出可行域.由得，平移直線，

10、數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】約束條件即，作出可行域，如圖所示由得，則為直線在軸上的截距.平移直線，當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，最大.解方程組，得，即，.故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.15. 如圖，已知三棱錐滿足，則該三棱錐外接球的體積為_【答案】【解析】【分析】由題意可得，點(diǎn)在底面上的射影為的外心，即斜邊的中點(diǎn).由得的外心即為三棱錐的外接球的球心，設(shè)為.故正的外接圓的半徑即為三棱錐的外接球的半徑，求出半徑，即求球的體積.【詳解】在底面上的射影為的外心.斜邊的中點(diǎn)即為的外心，即平面，三棱錐的外接球的球心在上.的外心即為三棱錐外接球的球心，設(shè)為.如圖所示三棱錐的外接球的半

11、徑即為正的外接圓的半徑，三棱錐外接球的體積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體外接球的體積，屬于中檔題.16. 函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由可得的對(duì)稱軸為.由輔助角公式可得，故，可求.求出的解析式，求出在的值域，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)滿足，對(duì)稱軸為.由輔助角公式可得，即，即，兩端平方，可得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，即方程在上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根.或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程、三角函數(shù)的對(duì)稱性和輔助角公式，屬于較難的題目.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

12、驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 已知為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值及取得最小值時(shí)的值【答案】（1）；（2）當(dāng)或11時(shí)，取得最小值【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.由，成等比數(shù)列列方程組求，即求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)的符號(hào)，可求的值，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，求的最小值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得解得或（舍）當(dāng)時(shí)，（2）由（1）知，令解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或11時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，屬于基

13、礎(chǔ)題.18. 某城市208年抽樣100戶居民的月均用電量（單位：千瓦時(shí)），以，分組，得到如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率0.04190.22250.25150.151050.05（1）求表中的值，并估計(jì)2018年該市居民月均用電量的中位數(shù)；（2）該城市最近十年的居民月均用電量逐年上升，以當(dāng)年居民月均用電量的中位數(shù)（單位：千瓦時(shí)）作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下圖是部分?jǐn)?shù)據(jù)的折線圖由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與年份的關(guān)系為簡化運(yùn)算，對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，令，請(qǐng)你在答題卡上完成數(shù)據(jù)預(yù)處理表；建立關(guān)于的線性回歸方程，預(yù)測(cè)2020年該市居民月均用電量的中位數(shù)附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【答案

14、】（1），；中位數(shù)千瓦時(shí)；（2）見解析；237.2千瓦時(shí).【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率等于頻數(shù)與樣本容量的比，求出.根據(jù)中位數(shù)左右兩側(cè)的頻率相等，求出中位數(shù)；（2）根據(jù)折線圖完成數(shù)據(jù)預(yù)處理表；根據(jù)參考公式求出關(guān)于的線性回歸方程，令，可得預(yù)測(cè)值.【詳解】（1）由已知，同理；，同理設(shè)樣本頻率分布表的中位數(shù)為，則，解得由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)2018年該市居民月均用電量的中位數(shù)千瓦時(shí)（2）數(shù)據(jù)預(yù)處理表如下：02401929由可知，設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，則，且得代入，有，則所求關(guān)于的線性回歸方程為：，即可預(yù)測(cè)該市2020年居民月均用電量的中位數(shù)為（千瓦時(shí)）【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表和線性回歸方程，屬

15、于中檔題.19. 如圖，已知正三棱柱，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接.證明四邊形是平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定定理，即證平面（2）根據(jù)體積相等，求點(diǎn)到平面的距離證明平面，則三棱錐的體積.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，可求.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，平面，平面,平面（2）是正三角形，是的中點(diǎn),在正三棱柱中，平面，平面又由（1）知，平面又，在中，平面設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則由得，即點(diǎn)到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理、線面垂

16、直的判定定理和等體積法求點(diǎn)面距，屬于中檔題.20. 動(dòng)圓與軸交于，兩點(diǎn)，且是方程的兩根（1）若線段是動(dòng)圓的直徑，求動(dòng)圓的方程；（2）證明：當(dāng)動(dòng)圓過點(diǎn)時(shí)，動(dòng)圓在軸上截得弦長為定值【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理求出圓心坐標(biāo)和半徑，即求動(dòng)圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)圓的方程為：.令，則.由題意，結(jié)合韋達(dá)定理可得，又動(dòng)圓過點(diǎn)，可求的值. 令，可求動(dòng)圓在軸上截得的弦長.【詳解】（1）是方程的兩根，動(dòng)圓與軸交于，兩點(diǎn)且線段是動(dòng)圓的直徑，動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為動(dòng)圓的方程為：（2）證明：設(shè)動(dòng)圓的方程為：，動(dòng)圓與軸交于，令，則由題意可知，又動(dòng)圓過點(diǎn)，即令，則，解得或動(dòng)圓在軸上截得弦

17、長為動(dòng)圓在軸上截得弦長為定值【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上存在唯一零點(diǎn)【答案】（1）極小值，無極大值；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出，判斷的單調(diào)性，即求函數(shù)的極值；（2），令,求出，判斷的單調(diào)性.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得：存在使得，判斷在的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，得，.當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值（2）證明：，令，則當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞增又，存在使得即當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)又，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查

18、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和零點(diǎn)，屬于較難的題目.（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是射線上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的面積【答案】（1）（去掉原點(diǎn)）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，根據(jù)題意得出，將點(diǎn)的極坐標(biāo)代入曲線的極坐標(biāo)方程，可得出一個(gè)等式，然后將代入等式，化簡可得出曲線的極坐標(biāo)方程，進(jìn)而利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將曲線