1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

1、1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外 面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項(xiàng)式的公因式的確定方法是：(1) 當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的最低次幕。(2) 系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。 下面我們通過例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解【分類解析】1. 把下列各式因式分解2 m !；2m 1m(1) -axabx -acx -ax(2) a(a -b)3 2a2(b -a)2 - 2ab(b -a

2、)分析：(1)若多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng) 系數(shù)是正數(shù)，在提出“-”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。解: -a2xm 2 abxm 1acxmaxm 3 二 _axm(ax2bx c x3)(2)有時(shí)將因式經(jīng)過符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)時(shí)，(a -b)2n =(b -a)2n ; (a -b)2n二一(b a)2n，是在因式分解過程中常用的因式 變換。解：a(a -b)3 2a2(b - a)2 - 2ab(b - a)= a(a -b)3 2a2(a-b)2 2ab(a -b)= a(a -b)(a -b)2 2a(a -b) 2

3、b= a(a -b)(3a2 -4ab b22b)2. 利用提公因式法簡化計(jì)算過程987987987987例：計(jì)算 123268456521 -1368136813681368987分析：算式中每一項(xiàng)都含有，可以把它看成公因式提取出來，再算出結(jié)果。1368987解:原式(123 268 456 5219873. 在多項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用'2x + y = 3例：不解方程組，求代數(shù)式(2x y)(2x - 3y) 3x(2x y)的值。px 3y = -2分析：不要求解方程組，我們可以把2x y和5x-3y看成整體，它們的值分別是3和-2，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)

4、都含有2x y，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有2x y和5x -3y的式子，即可求出結(jié)果。解：(2xy)(2x-3y)3x(2x y) = (2x y)(2x-3y 3x) = (2x y)(5x -3y)把2x - y和5x-3y分別為3和-2帶入上式，求得代數(shù)式的值是-6。4. 在代數(shù)證明題中的應(yīng)用分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形,接著只需證明每一項(xiàng)都是-2n10的倍數(shù)即可。例：證明：對于任意自然數(shù) n，3n 2 - 2n 2 - 3n - 2n 定是10的倍數(shù)。3n 2 -2n 2 3n _2n =3n2 3n -22-3n(32 1) -2n(221)-10 3n -5

5、 2n；對任意自然數(shù)n, 103n和52n都是10的倍數(shù)。.3n 2 -2n 2 - 3n -2n一定是 10 的倍數(shù) 5、中考點(diǎn)撥：例1。因式分解3x(x -2) -(2 -x)解：3x(x -2) -(2 -X)= 3x(x -2) (x -2)=(x -2)(3x 1)說明：因式分解時(shí)，應(yīng)先觀察有沒有公因式，若沒有，看是否能通過變形轉(zhuǎn)換得到。例 2分解因式：4q(1-p) ，2(p-1)3 2解：4q(1 - p) 2( p -1)= 4q(1-p)32(1-p)2= 2(1-p) 2q(1-p) 1= 2(1-p) (2q-2pq 1)說明：在用提公因式法分解因式前，必須對原式進(jìn)行變形

6、得到公因式，同時(shí)一定要注意符號(hào)，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡。題型展示:精析與解答：設(shè) 2000 = a，則 2001 二 a 12000 20012001-2001 20002000= a10000(a 1) (a 1) -(a 1)(10000a a)-a(a 1)10001 -a(a 1) 10001= a(a 1)(10001-10001)=0說明：此題是一個(gè)有規(guī)律的大數(shù)字的運(yùn)算，若直接計(jì)算，運(yùn)算量必然很大。其中2000、2001重復(fù)出現(xiàn)，又有2001 =2000 - 1的特點(diǎn)，可通過設(shè)未知數(shù)，將復(fù)雜數(shù)字間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化 為代數(shù)式，再利用多項(xiàng)式的因式分解化簡求值，從而簡化計(jì)算。242

7、42例2.已知：x bx c (b、c為整數(shù))是x 6x25及3x 4x - 28x 5的公因式，求b、c的值。分析：常規(guī)解法是分別將兩個(gè)多項(xiàng)式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比較麻煩。注意到x2 bx c是3( x4 - 6x2 - 25)及3x4 - 4x2 - 28x5的因式。因而也是-(3x4 4x228x 5)的因式，所求問題即可轉(zhuǎn)化為求這個(gè)多項(xiàng)式的二次因式。24242解：；x bx c是 3(x 6x 25)及 3x 4x 28x 5 的公因式.也是多項(xiàng)式3(x4 6x2 25) -(3x4 4x2 28x 5)的二次因式4 2422而 3(x4 6x2 - 25) - (3x

8、4 4x2 - 28x 5) = 14(x -2x - 5)b> c為整數(shù)2 2得：x bx c = x - 2x 5b 二 -2, c = 5說明：這是對原命題進(jìn)行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為解多項(xiàng)式14x2 -28x 70，從而簡便求得 x2 bx c。例3.設(shè)x為整數(shù)，試判斷10 5x x(x 2)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請說明理由。解：10 5x x(x 2)-5(2 x) x(x 2)-(x 2)(5 x)x 2，5 x都是大于1的自然數(shù)-(x - 2)(5 x)是合數(shù)說明：在大于1的正數(shù)中，除了 1和這個(gè)數(shù)本身，還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。 只能被1和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)。【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.

9、分解因式：2332(1) -4m n 12m n -2mn2n 駁nd!n” 亠，(2) a x abx - acx -adx (n 為正整數(shù))3222(3) a(a -b) 2a (b - a) -2ab(b - a)2計(jì)算：(2)11 +(-2)10的結(jié)果是()100 10A. 2B. -2C. -2D. -13. 已知x、y都是正整數(shù)，且 x(x - y) - y(y - x) 12，求X、y。4. 證明：81 -279 -9能被45整除。5. 化簡：1 x x(1 x) x(1 x)2x(1 - x) 1995，且當(dāng) X = 0時(shí)，求原式的值?！驹囶}答案】1. 分析與解答：2332(1

10、) -4m n 12m n -2mn2 2-2mn(2mn -6m n 1)2 n “2n -1nn _j(2) a x abx - acx -adx二 axn(ax3 bx2cxd)(3) 原式二 a(a -b)3 2a2(a -b)2 -2ab(a -b)22二a(a -b) (a -b) 2a -2b2二 a(a -b) (3a -3b)2= 3a(a _b)注意：結(jié)果多項(xiàng)因式要化簡，同時(shí)要分解徹底。2. B3. x(x - y) - y(y - x) = 12(x -y)(x y) =12x、y是正整數(shù).12分解成 112，26，3 4又；x-y與x y奇偶性相同，且x_y =2x y =6J_x = 4y =2說明：求不定方程的整數(shù)解，經(jīng)常運(yùn)用因式分解來解決。4.證明：；