《3.1空間向量及其運算-3.1.5空間向量的數(shù)量積》導(dǎo)學(xué)案

1、空間向量的數(shù)量積導(dǎo)學(xué)案2教學(xué)過程一、問題情境1 平面向量數(shù)量積的坐標表示及一些應(yīng)用對于平面內(nèi)兩個非零向量a=(xi, yi)，b=(X2，y2)，貝U a b=xiX2+yiy2.(2)長度、夾角、垂直的坐標表示垂直的充要條件:a丄b? a b=0,即Xix2+y iy2= 0.(注意與向量共線的坐標表示的區(qū)別嚴2.類比平面向量數(shù)量積的坐標表示，思考對于空間兩個非零向量，它們的數(shù)量積的坐標表示又是怎樣的呢？二、數(shù)學(xué)建構(gòu)對于單位正交基底i, j, k,有i i=j j=k k= i, i j=i k=j k=0.設(shè)空間兩個非零向量 a= (xi,yi, zi), b=(x2, y2, Z2)，請

2、同學(xué)們根據(jù)向量數(shù)量積的運算律推導(dǎo)a b的坐標表示.解 若i, j, k是空間的一個單位正交基底，則a= (xi, yi, Zi)=xii+y ij+z ik,b=(X2, y2, Z2) =x2i+y 2j+z 2k,所以 a b= (xii+y ij+z ik) (x2i+y 2j+z2k) =x ix2i 2+y iy2j2+zi Z2k2+x iy2i j+x iZ2i k+yiX2j i+y iZ2j k+z ix2k i+z iy2k j=x ix2+yiy2+ziz2.從而得兩個空間向量數(shù)量積的坐標表示公式:a b=x ix2+y iy2+z iz2.即兩個向量數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐

3、標的乘積的和三、數(shù)學(xué)運用探學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的數(shù)量積定義和性質(zhì)問題：在幾何中，夾角與長度是兩個最基本的幾何量，能否用向量的知識解決空間兩條直線的夾角和空間線段的長度問題？新知：片呻T 彳T 屮i) 兩個向量的夾角的定義：已知兩非零向量a,b，在空間一點0，作OA=a,OB =b ,則.AOB叫做向量a與b的夾角，記作 .試試：4 +范圍：_： a,b <a, b =0 時,a 與 b; a, b =冗時,a 與 b:a,b b,a 成立嗎？ ：:a,b = _，則稱a與b互相垂直，記作 .2）向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則叫做a, S的數(shù)量積，記作a b，即a b =規(guī)定:零

4、向量與任意向量的數(shù)量積等于零.反思：兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？0a = （選0還是0）你能說出a b的幾何意義嗎？3）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）設(shè)單位向量 e，則 a e =i a| cos ： a,e.（2）a _b a b =_.（3）a; =.4）空間向量數(shù)量積運算律：（1）（ a） b - （ ba （ b）.（2）a b a （交換律）.（3）a （b c） = a b a c （分配律 反思：（a b） c = a （b c）嗎？舉例說明.若a b二2 c，則b =c嗎？舉例說明.彳4” 4* 彳若a b = 0 ,貝V a = 0或b = 0嗎？為什么？探典型例題例1用向

5、量方法證明：在平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那 么它也和這條斜線垂直變式1用向量方法證明：已知：m, n是平面二內(nèi)的兩條相交直線，直線I與平面的交點為 B，且 I _m,l _ n .求證：I丨.例 2 如圖，在空間四邊形 ABCD 中，AB=2 , BC =3, BD=2、.3 , CD =3，/ ABD =30, ABC =60，求AB與CD的夾角的余弦值變式：如圖，在正三棱柱nAB2BB!,則AB!與C*所成的角為（）A. 60B. 90 ° C. 105D. 75例3如圖，在平行四邊形 ABCD-A 1B1 C1 D1中,AB =4, AD =3 ,A

6、A =5,. BAD =90 BAA =ZDAA' =60。，求 AC 的長.p尸探動手試試練 i.已知向量"a,b滿足 a =1, b=2, i+b =3，則 a_b =.練2.已知 2 , b =匚,a bj2，則a與b的夾角大小為 2三、總結(jié)提升 探學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量的數(shù)量積的定義和幾何意義2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律的運用探知識拓展向量給出了一種解決立體幾何中證明垂直問題，求兩條直線的夾角和線段長度的新方法學(xué)習(xí)評價探自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差探 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：1. 下列命題中: 若ab

7、= 0 ,貝U a , b中至少一個為斗 呻 T 耳 片片呻 沖 若 a -0且 a «b =a «c，貝U b = c (a «b)C =a *(b C)(3?+2齢(3?一2尅9?24 b2正確有個數(shù)為（A. 0個 B. 1個 C. 2個D. 3個2. 已知u和e2是兩個單位向量，夾角為 ，則下面向量中與2e2垂直的是（ ）3D. e2-+ H-+A. ei e2B. & q C. ei3已知.ABC中，.A,. B,. C所對的邊為Ta,b,c，且 a =3,b =1，/C =30 ,貝U BC CA =4.已知a =4， b =2，且a和b不共線,當 ab與a b的夾角是銳角時，的取值范課后作業(yè):AD