壽險精算 第四講 生存年金課件

1、壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金2.5 生存年金生存年金生存年金的概念生存年金是指在已知某人生存的條件下，按預(yù)先約定的金額以連續(xù)方式或以一定的周期進(jìn)行一系列給付的保險，且每次年金給付必須以年金受領(lǐng)人生存為條件。 生存年金可分為：定期生存年金和終身生存年金、即期生存年金和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算現(xiàn)值的計算方法 在生存年金中，n年期生存保險的期望現(xiàn)值（即躉繳純保費(fèi)）稱為精算現(xiàn)值。在生存年金中，保額為1單位的n 年期生存保險的精算現(xiàn)值E(Z) 用符號 表示，即：nxE1:nnxxnxnEAvp精算折現(xiàn)因子精算累積因子1:n

2、nxxnxnEAvp1nxsE壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金相關(guān)公式及意義相關(guān)公式及意義 (1)(1)11(2)(1)1(3)nxnxx nnxnnxnxx ntxnxtxn tx tnxn tx tlEillSiEvplEEEEEE年齡xx+tx+n現(xiàn)時值11S1nxEn tx tEtxE壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金生存年金生存年金精算現(xiàn)值計算方法精算現(xiàn)值計算方法計算方法主要有兩種：現(xiàn)時支付法、總額支付法現(xiàn)時支付法計算步驟：未來連續(xù)支付的現(xiàn)時值之和求出時刻t 給付年金的數(shù)額計算t 時給付額的精算現(xiàn)值對現(xiàn)值按可能的給

3、付時間進(jìn)行求和（或積分）總額支付法計算步驟：年金在死亡或到期而結(jié)束時的總值先求出在未來壽命期限內(nèi)所有可能年金給付額的現(xiàn)值，將現(xiàn)值與相應(yīng)的死亡概率或概率密度相乘把第二步得到的結(jié)果按所有可能的死亡時間進(jìn)行求和（或積分）兩種方法是等價的壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金2.5.2 離散型生存年金離散型生存年金離散生存年金定義： 在保障時期內(nèi)，以被保險人生存為條件，每隔一段時期支付一次年金的保險。 1.按年付生存年金按年付生存年金是以年為時間間隔，每年支付一次金融的生存年金。 設(shè)年齡為x 歲的生存者在每個年度初領(lǐng)取年金額為1個單位的終身生存年金（即期初付），其精算現(xiàn)值

4、 用現(xiàn)時支付法為： 上式右邊表明：該群體中生存到x+k歲的 ，每人獲得1元的金額。xa0001 (2.5.1)kkxkxkxx kkkkxaEvpvllx kl壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金生存年金計算方法生存年金計算方法 若用總額支付法，則期初付年金為1個單位的終身生存年金支付的現(xiàn)值于是，有交換求各順序，則式(2.5.3)可轉(zhuǎn)化為10KjKjYav|000|00( ) = = kjjxkxkxkjjkjjjkxjxjkjjaE Yvqvqvqvp11100Pr()xxkKkkkkaE aaKkaq壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年

5、金生存年金生存年金計算換算公式生存年金計算換算公式0Nxx kkD122122,0,1,2,1111) ()112) KKxKKxKxxKzvKAzE zaE YEdddAAvVar YVarVar zddd相關(guān)公式相關(guān)公式 (2.5.4)xxxNaD xxxDv l1 (2.5.7)xxdaA故有故有dvann1 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金期末付終身生存年金期末付終身生存年金1 kxkxkavp期初付生存年金與期末付生存年金的關(guān)系1xxaa111111 (1) xxxxxAaaddA

6、i Adi2221xxxxAAVar aVar ad壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金期初付定期生存年金期初付定期生存年金當(dāng)期支付方法總額支付方法111:0001nnnkkkxkxxkx nkkkxaEvpvll1110,0,1,1, KnnxxnxkknkaKnYaKnaE Yaqap壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金相關(guān)公式相關(guān)公式1:221:22,0,1,1,1111) 112) KKnx nKKx nKx nx nKvKnzvKnAzE zaE YEdddAAvVar YVarVar zddd壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-

7、02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金延期初付生存年金延期初付生存年金險種延期m年初付終身生存年金延期m年初付n年定期生存年金精算現(xiàn)值:1()xxmx mmxx mxx maaaEaAAd:1()xm nx m nx mmxx m nx mx m naaaEaAAd壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金期初付生存年金及其精算現(xiàn)值期初付生存年金及其精算現(xiàn)值終身生存年金定期生存年金延期n年的終身生存年金延期m年的n年定期生存年金0kxkxkavp11:00nnkkxnxx nkkavpE|:knxkxxnxx nxnk navpaaE a1|:k n mkm nx

8、kxmxx m nx mx m nk mavpaaE a 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金等額生存年金計算換算公式等額生存年金計算換算公式等額生存年金計算換算公式等額生存年金計算換算公式 險種初付末付終身生存年金定期生存年金延期終身生存年金延期定期生存年金xxxDNa1xnxxnxDNNa: xnxxnxDNNa11:xxxDNa xmxxmDNa xmxxmDNa1xnmxmxnxmDNNa: xnmxmxnxmDNNa11:壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存

9、年金2. 每年分每年分m次支付的生存年金次支付的生存年金(1)期初付終身生存年金基本公式：類似于上一節(jié)的公式，有)()(1mnmndva 01kmmxkxkmavpm ()()()()1()()1 (1) (3.2.23)K SmmxmK SmxmvaE aEdAd()112,0,1,1,mmmmmKSYaSKn111）（idvimimm11)(dmdmm11)(ln(1) i壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金關(guān)系式關(guān)系式故:再由得到:在尾齡服從死亡均勻分布條件下,有 ()()()()()1() (2.5.25)mmmxxxxmmxxxxmmdaAdaAd a

10、aAAdd ()()1 (2.5.24)mmmxxdaA1 (2.5.7)xxdaA ()mxxmiAAinmmnaiia)()(壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金010|)(11kmjxkkmxqvAmmjmj01011kmjkxxkkmjmmjmjqpvkxxkxkpppmjmjmjmmjmjmmjkxkxxkkxxkqppqp11kxxkqpmmj1|010|11)(11kmjkxxkkmxqvpvAmmjmj壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金在UDD （即年齡內(nèi)死亡均勻分布）假設(shè)下，有111|1()( )jjjm mm

11、mmtxxjjx kx kx kx kx kmmmx kmqtqqqqqqq壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金010|11)(11kmjkxxkkmxqvpvAmmjmj01011)1(1kmjkxxkkqmvpvmj01011)1(1kmjkxxkkmvqpvmjxmAii)(12110111mmmmmvvv)( mii壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金死亡均勻分布條件下的計算公式死亡均勻分布條件下的計算公式由式(2.5.25),得到近似公式（實際操作公式）()( )( )mxxam am()()( )mmidmid()()

12、()( )mmmiimid()1 (2.5.27)2mxxmaam壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金近似公式的推導(dǎo)近似公式的推導(dǎo)先根據(jù)恒等式引出線性插值近似計算式：故0|0 xxaa1|1xxaa|kxxmkaam121()0|1() 1121 ()()()12(1) =21 =2mmmmmxxxxxxxxxxxaaaaammaaaammmmmammam壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金其他公式其他公式對于期末付終身生存年金有：延期期初付終身生存年金（UDD假

13、定）定期期初付生存年金 （UDD假定）()()1/ (2.5.28)mmxxaam()( )( ) 1/ (2.5.29)mxxam amm()1 (2.5.30)2mxxmaam()() ( )( )12mmxhxx hhxx hhxhxhaEaEm ammaEm()()()()()|: = ( )( )(1E ) 1 (1E ) 2mmmmmxnxxnxx nx nnxx nnxx naaaaEam ammam壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金2.5.4 變額生存年金變額生存年金1. 按年

14、遞增的期初付終身生存年金時間012N-1年金額123N11|100()(1)()w xw xtxtxkxktkIatvpIaq ()()xxxIaIaa年末付年末付0)1()(kxkkxpvkaI 0) 1(kxxkxkxlvlvk0) 1(1kkxxDkDxxDS壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金2.遞增的遞增的n年定期生存年金年定期生存年金年初付年初付年末付年末付:1()nttxx ntIat vp平價關(guān)系平價關(guān)系:()()nxx nx nx nIaIaanE 11|:100()(1)()

15、()nnttxkxnxx nkntkIatvpIaqIap10:) 1()(nkxkknxpvkaI 10) 1(1nkkxxDkD)(110nknxkxxnNNDxnxnxxDnNSS壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金。 nkxkknxpvkIa1:)(10111011) 1() 1(nkxxkxkxnkxkklvlvkpvk101) 1(1nkkxxDkDxnxnxxDnNSS111壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金3.遞減的定期生存年金遞減的定期生存年金年初付年初付年末付年末付1:01()()nnttxx nx tttD

16、ant v pa:11()(1)nnttxx nx tttDantv pa 平價關(guān)系平價關(guān)系:()()x nx nx nDaDana10:)()(nkxkknxpvknaD xnxxxDSSnN11壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金nkxkknxpvknDa1:) 1()(xnxxxDSSnN221壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金2.5.3 連續(xù)型生存年金連續(xù)型生存年金連續(xù)生存年金的定義在保障時期那，以被保險人存活為條件，連續(xù)支付年金的保險連續(xù)生存年金的種類終身連續(xù)生存年金/定期連續(xù)生存年金連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計方法總額

17、支付技巧：考慮年金在死亡或到期而結(jié)束時的總值現(xiàn)時支付技巧：考慮未來連續(xù)支付的現(xiàn)時值之和對于(x) ,其未來壽命 T=T(x) 的密度函數(shù)為：( )Ttxx tftp壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金連續(xù)型生存年金的關(guān)系式連續(xù)型生存年金的關(guān)系式其支付年金的現(xiàn)值為： 總額支付法： 現(xiàn)時支付法：0() (2.5.38)TtxtxaE vvp dt00()( ) (2.5.37)xTtxx tTTTaE aa f t dtapdt0|011|lntTTTtTTvveYav dtv壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金兩種方法等價性.dtt

18、faYExt)()(0dttfaxt)(0)(0 xttpda)()(00txtxttadppa)1(0txtvdpdtvvptxt0lndtpvxtt0壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金相關(guān)公式相關(guān)公式dtpvdttfaaEatxxttTTTx001)()(1）（xxxttTxAaAzEvEaEa1)1 (1)1()1()(2）（)(1)()(1)1()1()(32222xxTtttTAAaVarzVarzVarvVaraVar）（壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金例子例子例2.5.3 設(shè)死力是常值 ，利力 。在此假設(shè)條件下

19、，求： （1） 終身生存年金的精算現(xiàn)值 ； （2） 終身生存年金現(xiàn)值 的標(biāo)準(zhǔn)差； （3） 超過 的概率。解：(1) (2) 11 0.06 100.4 xxAaxa0.04000exp()exp()1 =exp () 10 txtxavp dttt dtt dt0.06TaTaxa2221()()25xxTVar aAA20exp( 2)exp() 0.25xAtt dt壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金 例例:證明：證明： 證：21xxaa )(limmxmxaa)21(limmmaxm 21xa 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金

20、生存年金例例2.5.3續(xù)續(xù)故：（3）()5TVar a15.271515.271Pr()Pr(10)ln0.4Pr(0.4)Pr()lnPr(15.2715)exp()exp()|0.5429TTxTvaavTvTt dtt壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估計定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估計 綜合支付法 現(xiàn)時支付法dtpvaxtntnx0：0 ,0 ,( )Tnntxx tnxxntnaTnYaTnaE Yapdtap：壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金相關(guān)公式相關(guān)公式nxxnxtnxAaAzEYEa：）（1)1 (1)1()(1)(1)()(1)1()(22:222nxnxTttAAaVarzVarzVarYVar）（壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金例例4.4（例（例4.3續(xù)）續(xù)） 在De Moivre假定下， 計算：30年定期生存年金精算現(xiàn)值 及方差。30,05. 0,100 x30:30a壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-02躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)-生存年金生存年金01.1305. 035. 01135.