“PA+k_PB”型的最值

1、專題：加權(quán)線段和即PA+k PB”型的最值問題【知識儲備】線段最值問題常用原理：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊；兩點間線段最短；連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；【模型初探】（一）點p在直線上運動胡不歸”問題如圖1-1-1所示，已知sin/MBN=k，點P為角/ MBN其中一邊 BM 上的一個動點，點A 在射線BM、BN的同側(cè)，連接 AP,則當PA+kPB”的值最小時，P點的位置如何確定？ 分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定kPB”的大小，過點 P作PQXBN垂足為 Q,則kPB=PB-sin/MBN=PQ，本題求 PA+k PB”的最/、值轉(zhuǎn)化為

2、求PA+PQ ”的最/、值 （如圖1-1-2）,即A、P、Q三點共線時最?。ㄈ鐖D 1-1-3）,本題得解。圖LIT圖-1一2圖1-1-3思考：當k值大于1時，PA+k PB”線段求和問題該如何轉(zhuǎn)化呢？【數(shù)學(xué)故事】從前，有一個小伙子在外地學(xué)徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立 即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑 A-B （如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當他 氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著胡不歸？胡不歸？ 何以歸”。這個古老的傳說，引起了人們

3、的思索， 小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風靡千百年的胡不歸問題”B杳*4 啜/ * 、 Sib： f / 胡不歸”構(gòu)造某角正弦值等于小于1系數(shù) 起點構(gòu)造所需角（k=sin/CAE）過終點作所構(gòu)角邊的垂線 利用垂線段最短解決問題1 .（胡不歸問題）如圖，四邊形 ABCD是菱形，AB=4,且/ABC=60° , M為對角線BD （不含B點）上任意一點，則AM+ - BM的最小值為2變式思考：（1）本題如要求 2AM+BM ”的最小值你會求嗎?（2）本題如要求AM+BM+CM ”的最小值你會求嗎?【變式訓(xùn)練】（胡不歸問題）1.如圖，等腰 4ABC 中，AB

4、=AC=3 , BC=2, 動點P從點A出發(fā)，沿AD-DC運動，動點 在CD上運動的速度為 1個單位每秒，則當BC邊上P在ADAD =AO,點 D為射線 AO上一點，一 上運動速度3個單位每秒，動點P時，運動時間最短為2 .如圖，在菱形 ABCD中，AB=6,且/ABC=150°,點P是對角線 AC上的一個動點則PA+PB+PD 的最/、值為 博【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點 阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造BPOspco 推出OP OCOB OPPC*2.（阿氏圓問題）如圖，點 A、B在。O 上，且 OA=OB= 6,且 OALOB,點C是OA【模型初探】（二）點

5、P在圓上運動 阿氏圓”問題如圖所示 2-1-2, OO的半徑為r,點A、B都在。0外，P為。0上的動點， 已知r=k OB.連接PA、PB,則當PA+kPB”的值最小時，P點的位置如何確定？ 分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定kPB”的大小，（如圖2-1-2）在線段 OB上截取 OC使OC=k-r,則可說明ABPO與APCO相似，即k PB=PC。.本題求 PA+k PB”的最小值 2-1-3）,本題得解C、B,則所有滿足個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼PC=kPB （kw。的點 P的軌跡是 斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓”。的中點，點 D在OB上，且OD=4,動點P在。O上，則2PC +PD的最小值為

6、變式思考：（1）本題如要求“PC +- PD ”的最小值你會求嗎?2(2)本題如要求 PC + - PD2”的最小值你會求嗎?【變式訓(xùn)練】（阿氏圓問題）1 .（1）【問題提出】：如圖1,在RtAABC中，ZACB = 90°, CB = 4, CA=6, OC半徑為2, P為圓上一動點，連結(jié) AP, BP,求 AP+1BP的最小值.21（2）在問題提出的條件不變的情況下，-AP+BP的最小值為3(3)已知扇形 COD 中，/COD =90o, OC=6, OA=3, OB=5,點 P 是 CD 上一點 則2FA+PB的最小值為2 .如圖，在直角坐標系中，以原點 O為圓心作半徑為 4的圓交X軸正半軸于點 A,點M坐標為（6,3）,點N