劉鴻文版材料力學全套課件

1、 第十一章第十一章 交變應力交變應力第十一章第十一章 交變應力交變應力11-1 11-1 交變應力與疲勞極限交變應力與疲勞極限11-2 11-2 影響持久極限的因數(shù)影響持久極限的因數(shù)劉鴻文版材料力學全套1 1、構件有加速度時動應力計算、構件有加速度時動應力計算（1）直線運動構件的動應力）直線運動構件的動應力gaKd 1（2 2）水平面轉(zhuǎn)動構件的動應力）水平面轉(zhuǎn)動構件的動應力2 2、構件受沖擊時動應力計算、構件受沖擊時動應力計算（1 1）自由落體沖擊問題）自由落體沖擊問題)211 (stdhK（2）水平?jīng)_擊問題）水平?jīng)_擊問題stdgvK2gaKnd動響應動響應= =Kd 靜響應靜響應11-1 1

2、1-1 交變應力交變應力 疲勞極限疲勞極限劉鴻文版材料力學全套交變應力的基本參量交變應力的基本參量在交變荷載作用下應力隨時間變化的曲線，稱為在交變荷載作用下應力隨時間變化的曲線，稱為應力譜應力譜。隨著時間的變化，應力在一固定的最小值和最大值之間作周期性的交替變化，隨著時間的變化，應力在一固定的最小值和最大值之間作周期性的交替變化，應力每重復變化一次的過程稱為一個應力每重復變化一次的過程稱為一個應力循環(huán)應力循環(huán)。一個應力循環(huán)一個應力循環(huán)tOminmax劉鴻文版材料力學全套通常用以下參數(shù)描述循環(huán)應力的特征通常用以下參數(shù)描述循環(huán)應力的特征應力比應力比 r rmaxminr(2)(2)應力幅應力幅mi

3、nmax(3)(3)平均應力平均應力m)(21minmaxm一個非對稱循環(huán)應力可以看作是在一個平均應力一個非對稱循環(huán)應力可以看作是在一個平均應力 m 上疊加一個應力幅為上疊加一個應力幅為 的對稱循環(huán)應力組合構成。的對稱循環(huán)應力組合構成。 r = -1 ：對稱循環(huán)：對稱循環(huán) ；r 0 ：拉拉循環(huán)：拉拉循環(huán) 或壓壓循環(huán)?；驂簤貉h(huán)。劉鴻文版材料力學全套疲勞極限疲勞極限將若干根尺寸、材質(zhì)相同的標準試樣，在疲勞試驗機上依次進行將若干根尺寸、材質(zhì)相同的標準試樣，在疲勞試驗機上依次進行r r = -1= -1的常幅疲勞試驗。各試樣加載應力幅的常幅疲勞試驗。各試樣加載應力幅 均不同，因此疲勞破壞所經(jīng)歷均不同

4、，因此疲勞破壞所經(jīng)歷的應力循環(huán)次數(shù)的應力循環(huán)次數(shù)N N 各不相同。各不相同。以以 為縱坐標，以為縱坐標，以N N 為橫坐標（通常為對數(shù)坐標），便可繪出該材料的應為橫坐標（通常為對數(shù)坐標），便可繪出該材料的應力力壽命曲線即壽命曲線即S-N S-N 曲線如圖（以曲線如圖（以40Cr40Cr鋼為例）鋼為例）注注：由于在：由于在r r =-1=-1時，時， maxmax = = /2/2，故，故S-N S-N 曲線縱坐標也可以采用曲線縱坐標也可以采用 max max 。104105106107108550650750850Nmax/MPa劉鴻文版材料力學全套從圖可以得出三點結論：從圖可以得出三點結論：

5、(1)(1)對于疲勞，決定壽命的對于疲勞，決定壽命的 最重要因素是應力幅最重要因素是應力幅 。(2)(2)材料的疲勞壽命材料的疲勞壽命N N 隨應力幅隨應力幅 的增大而減小。的增大而減小。 (3) (3)存在這樣一個應力幅，低于該應力幅，疲勞破壞不會發(fā)生，該應力幅稱存在這樣一個應力幅，低于該應力幅，疲勞破壞不會發(fā)生，該應力幅稱為為疲勞極限疲勞極限，記為，記為 -1-1 。104105106107108550650750850Nmax/MPa劉鴻文版材料力學全套對低碳鋼，其對低碳鋼，其MPa500400b其彎曲疲勞極限其彎曲疲勞極限 MPa220170)(b1 - 拉壓疲勞極限拉壓疲勞極限 MP

6、a160120)(t1 -對于鋁合金等有色金屬，其對于鋁合金等有色金屬，其S-NS-N曲線沒有明顯的水平部分，一般規(guī)定曲線沒有明顯的水平部分，一般規(guī)定 時對應的時對應的 稱為稱為條件疲勞極限條件疲勞極限，用，用 表示。表示。76010105N01Nmax劉鴻文版材料力學全套11-4. 11-4. 影響持久極限的因數(shù)影響持久極限的因數(shù)1.1.構件外形的影響構件外形的影響構件外形的突然變化，例如構件上有槽、孔、缺口、軸肩等，將引起應力集中構件外形的突然變化，例如構件上有槽、孔、缺口、軸肩等，將引起應力集中11dKK11dKK或或有效應力集中因數(shù)有效應力集中因數(shù)理論應力集中因數(shù)理論應力集中因數(shù)max

7、nK劉鴻文版材料力學全套2.2.零件尺寸的影響零件尺寸的影響尺寸因數(shù)尺寸因數(shù)11)(dd)(1光滑零件的疲勞極限光滑零件的疲勞極限1試樣的疲勞極限試樣的疲勞極限3.3.表面加工質(zhì)量的影響表面加工質(zhì)量的影響表面質(zhì)量因數(shù)表面質(zhì)量因數(shù)11)(1磨削加工（試樣）磨削加工（試樣）1其他加工其他加工一般情況下，構件的最大應力發(fā)生于表層，疲勞裂紋也多于表層生成。表面一般情況下，構件的最大應力發(fā)生于表層，疲勞裂紋也多于表層生成。表面加工的刀痕、擦傷等將引起應力集中，降低持久極限。所以表面加工質(zhì)量對加工的刀痕、擦傷等將引起應力集中，降低持久極限。所以表面加工質(zhì)量對持久極限有明顯的影響。持久極限有明顯的影響?？幢?/p>

8、看表11.2 11.2 不同表面粗糙度的表面質(zhì)量因數(shù)不同表面粗糙度的表面質(zhì)量因數(shù)查看表查看表11.1 11.1 尺寸因數(shù)尺寸因數(shù) 劉鴻文版材料力學全套第十三章第十三章 能量法能量法13-1 概概 述述 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應變能，變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應變能，簡稱應變能。簡稱應變能。 物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應位移能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應位移上所做的功，即上所做的功，即=WV劉鴻文版材料力學全套13-2 桿件

9、變形能計算桿件變形能計算一、軸向拉伸和壓縮一、軸向拉伸和壓縮WV FFlllF 21EAlFF21EAlFEAlFN2222lNxxEAxFVd)(2)(2劉鴻文版材料力學全套二、扭轉(zhuǎn)二、扭轉(zhuǎn)WV mmeM21ppepeeIGlTIGlMIGlMM222122lpxxIGxTVd)(2)(2劉鴻文版材料力學全套三、彎曲三、彎曲WV 純彎曲：純彎曲：橫力彎曲：橫力彎曲：lxxIExMVd)(2)(2eM21IElMMee21IElMIElMe2222劉鴻文版材料力學全套13-3 變形能的普遍表達式變形能的普遍表達式1F2F3F1 2 3 332211212121FFFWV即即：線彈性體的變形能等

10、于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的：線彈性體的變形能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和?？偤汀Ⅷ櫸陌娌牧狭W全套)(xN)(xN)(xM)(xM)(xT)(xTLLPLNGIdxxTEIdxxMEAdxxFV2)(2)(2)(222所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由O增加至最終值。任一廣義位移增加至最終值。任一廣義位移 與與整個力系有關，但與其相應的廣義力整個力系有關，但與其相應的廣義力 呈線性關系。呈線性關系。i iF劉鴻文版材料力學全套 例：試求圖示懸臂梁的應變能，并利用功例：試求圖示懸臂梁的應變能，并利用功能原理求自由端能原理求自

11、由端B的撓度。的撓度。Fxl解：解：xFxM)(lEIlFxIExMV6d2)(322BwFW21，得由WV EIFlwB33劉鴻文版材料力學全套例題：懸臂梁在自由端承受集中力例題：懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩M0作用。設作用。設EI為常數(shù)，試求為常數(shù)，試求梁的應變能。梁的應變能。LFMeAB解：解： 彎矩方程彎矩方程FxMxMe)( 變形能變形能EILFEIFLMEILMdxFxMEIdxEIxMVeeLeL622)(212)(222222劉鴻文版材料力學全套LFM0AB 當當F和和M0分別作用時分別作用時EILFVEILMVe623221VVV21 用普遍定理用普遍定

12、理EILMEIFLwwweMAFAA23)()(230EILMEIFLeMAFAAe2)()(2EILMEIFMEILFMFwWVeeAeA22621212232劉鴻文版材料力學全套13-4 互等定理互等定理ji位移發(fā)生點位移發(fā)生點荷載作用點荷載作用點12F1F2F11121F21222F11121劉鴻文版材料力學全套，外力所作的功：，后作用先作用21FF1212221112121FFFVe，外力所作的功：，后作用先作用12FF2121112222121FFFVeF21222F11121劉鴻文版材料力學全套功的互等定理功的互等定理:212121FF位移互等定理位移互等定理:，則得若21FF 2

13、112劉鴻文版材料力學全套 例：求圖示簡支梁例：求圖示簡支梁C截面的撓度。截面的撓度。劉鴻文版材料力學全套1CwB221BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC1621得：IElMwC1621由此得：F劉鴻文版材料力學全套 例：求圖示懸臂梁中點例：求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移處的鉛垂位移 。C劉鴻文版材料力學全套1CwB221BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC2221得：IEMlwC821由此得：F劉鴻文版材料力學全套13-5 卡氏定理卡氏定理332211212121FFFWViF1F2F3F1 2 3 i若只給若只給 以增量以增量 ，其余不變，在，其余不變，在 作用下，原各力

14、作用點將作用下，原各力作用點將產(chǎn)生位移產(chǎn)生位移iFiF,21i 變形能的增加量：變形能的增加量：iiiiFFFFV221121iF劉鴻文版材料力學全套略去二階小量，則：略去二階小量，則：iiFFFV2211如果把原有諸力看成第一組力，把如果把原有諸力看成第一組力，把 看作第二組力，根據(jù)互等看作第二組力，根據(jù)互等定理：定理：iFiiiiFFFF2211所以：所以：iiFViiFV0iFiiFV變形能對任一載荷變形能對任一載荷Fi 的偏導數(shù)，等于的偏導數(shù)，等于Fi作用點沿作用點沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理劉鴻文版材料力學全套推導過程使用了互等定理，所以只適用線彈性結構。推導過

15、程使用了互等定理，所以只適用線彈性結構。橫力彎曲：LiLiiidxFxMEIxMdxEIxMFFV)()()2)(2桁架桿件受拉壓：njjjjNEALFV122njijNjjjNiiFFEALFFV1軸受扭矩作用：LiPiidxFxTGIxTFV)()(劉鴻文版材料力學全套13-6 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分1F2FC劉鴻文版材料力學全套M x( )Mx0( )M xMx( )( )01F2FCClxIExMVd2)(2lxIExMVd2)(200lxIExMxMVd2)()(2011F2FC0F10F劉鴻文版材料力學全套C10F1F2F作功：0F0V作功：、21FFV上又作功：在

16、0F1101VVW共做功劉鴻文版材料力學全套11VW lxIExMxMVVd2)()(1200MxEIxMxEIxM x MxEIxlll202022( )( )( )( )ddd10M x MxEIxl( )( )d M x MxEIxl( )( )0d劉鴻文版材料力學全套 M x MxEIxl( )( )0d莫爾定理莫爾定理（莫爾積分）（莫爾積分）M x MxEIxl( )( )0dllplNNxIExMxMxIGxTxTxAExFxFd)()(d)()(d)()(000對于組合變形：注意：上式中 應看成廣義位移，把單位力看成與廣義位移對應的廣義力劉鴻文版材料力學全套例：試用莫爾定例：試用

17、莫爾定理計算圖理計算圖(a)所所示示懸臂梁自由端懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。FABABABlxxx11劉鴻文版材料力學全套xxMFxxMbB)(,)()(,) 1 (0所示如圖截面作用一單位力在解：vM x MxEIxBl( )( )0dlxIEFx02d EIFl331)(,)()(,)2(0 xMFxxMcB所示如圖截面作用一單位力偶在BlM x MxEIx( )( )0dlxIEFx0dEIFl22劉鴻文版材料力學全套13-7計算莫爾積分的圖乘法計算莫爾積分的圖乘法 在應用莫爾定理求位移時，需計算下列形在應用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：式的積分：lxIExMxM

18、d)()(lxxMxMd )()(對于等直桿，對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，可以提到積分號外，故只需計算積分故只需計算積分劉鴻文版材料力學全套直桿的直桿的M0(x)圖必定是直線或折線。圖必定是直線或折線。tg)( xxMllxxMxxxMxMd)(tgd)()(tg xCCM劉鴻文版材料力學全套IEMxIExMxMCld)()(劉鴻文版材料力學全套頂點頂點頂點頂點23lh13lh二次拋物線二次拋物線劉鴻文版材料力學全套 例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示懸臂梁自由端示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。LFIEMxIExMxMwClBd)()(32212lFlIE

19、IEFl33FlF解（1）求自由端的撓度劉鴻文版材料力學全套FlFm=1(2) 求自由端的轉(zhuǎn)角求自由端的轉(zhuǎn)角1212FlIEB順時針I(yè)EFl22劉鴻文版材料力學全套例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示簡支梁的最大撓度和最大示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。qlql28/l/4M325823222maxlqllIEw 53844qlEI解解（1）簡支梁的最大撓度簡支梁的最大撓度劉鴻文版材料力學全套2183212maxqllIEqlEI324ql28/（2）求最大轉(zhuǎn)角）求最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個支座處最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個支座處劉鴻文版材料力學全套 例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示簡支梁示

20、簡支梁C截面的撓截面的撓度和度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。CL12TU34劉鴻文版材料力學全套解：解：2812MlIEwC IElm162l / 4劉鴻文版材料力學全套AEIml1213mlEI6順時針劉鴻文版材料力學全套BEIml1223mlEI3逆時針劉鴻文版材料力學全套 例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示懸臂梁自由端示懸臂梁自由端B的的撓度和轉(zhuǎn)角。撓度和轉(zhuǎn)角。CL12TU35劉鴻文版材料力學全套解：解：432312lqllIEwB qlEI48ql22劉鴻文版材料力學全套BEIlql13212qlEI36順時針ql22劉鴻文版材料力學全套 例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點例：試用圖

21、乘法求圖示懸臂梁中點C處的處的鉛垂位移。鉛垂位移。CL12TU36劉鴻文版材料力學全套解：解：mlIEwC812 mlEI28劉鴻文版材料力學全套 例：圖示梁，抗彎剛度為例：圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載，承受均布載荷荷q及集中力及集中力X作用。用圖乘法求：作用。用圖乘法求： (1)集中力作用端撓度為零時的集中力作用端撓度為零時的X值；值； (2)集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時的集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時的X值。值。CL12TU37F劉鴻文版材料力學全套解：解：(1)212322322132aqlaFaaFalIEC 0ql28/)(83alaqlFF劉鴻文版材料力學全套(2)211212322132

22、qlFaFalIEC 0ql28/)32(43alaqlF劉鴻文版材料力學全套 例：圖示梁的抗彎剛度為例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求，試求D點的點的鉛垂位移。鉛垂位移。CL12TU38劉鴻文版材料力學全套解：解：32232aPaIECPaEI3劉鴻文版材料力學全套 例：圖示開口剛架，例：圖示開口剛架，EI=const。求。求A、B兩兩截面的相對角位移截面的相對角位移 AB 和沿和沿P力作用線方向的力作用線方向的相對線位移相對線位移 AB 。CL12TU39劉鴻文版材料力學全套解：解：ABPaEI21813212123233PaEIAB 0劉鴻文版材料力學全套 例：用圖乘法求圖示階梯狀梁例：用

23、圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉(zhuǎn)截面的轉(zhuǎn)角及角及E截面的撓度。截面的撓度。CL12TU40劉鴻文版材料力學全套解：解：APaEIPaEI22125612162212PaEI2劉鴻文版材料力學全套12322312133IEPaIEPaE13123PaEI劉鴻文版材料力學全套 例：圖示剛架，例：圖示剛架，EI=const。求。求A截面的水截面的水平位移平位移 AH 和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角A 。CL12TU41劉鴻文版材料力學全套解：解：qa2qa / 2qaqa22AHqaEIqaEI 441423135838劉鴻文版材料力學全套第十四章第十四章 超靜定結構超靜定結構劉鴻文版材料力學全套第十四章第十四章 超靜

24、定結構超靜定結構14-1 14-1 超靜定結構概念超靜定結構概念14-2 14-2 用用力法解超靜定結構力法解超靜定結構14-3 14-3 對稱及反對稱性質(zhì)的利用對稱及反對稱性質(zhì)的利用14-1 14-1 超靜定（靜不定）結構概述超靜定（靜不定）結構概述在超靜定系統(tǒng)中，按其多余約束的情況，可以分為在超靜定系統(tǒng)中，按其多余約束的情況，可以分為：外力超靜定：外力超靜定：內(nèi)力超靜定：內(nèi)力超靜定：支座反力不能全由平衡方程求出；支座反力不能全由平衡方程求出；外力超靜定外力超靜定系統(tǒng)和系統(tǒng)和內(nèi)力超靜定內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。系統(tǒng)。 支座反力可由平衡方程求出，但桿件支座反力可由平衡方程求出，但桿件的內(nèi)力卻不能全由平衡

25、方程求出的內(nèi)力卻不能全由平衡方程求出. .劉鴻文版材料力學全套例如例如 解除多余約束，解除多余約束，代之以多余約束反力然后代之以多余約束反力然后根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程進行求解。進行求解。我們稱我們稱與多余約束對應的約束力為多余約束力。與多余約束對應的約束力為多余約束力。 解除多余約束后得到的靜定結構，解除多余約束后得到的靜定結構，稱為原稱為原超靜定系統(tǒng)的超靜定系統(tǒng)的基本靜定系統(tǒng)基本靜定系統(tǒng)或或相當系統(tǒng)相當系統(tǒng)。（本章主要學習用（本章主要學習用力法解超靜定結構力法解超靜定結構）求解超靜定系統(tǒng)的基本方法是：求解超靜定系統(tǒng)的基本方法是：14-

26、2 14-2 用力法解超靜定結構用力法解超靜定結構 在求解超靜定結構時，在求解超靜定結構時，我們把這種以我們把這種以“力力”為為未知量未知量，求解超靜定的方法，求解超靜定的方法稱為稱為“力法力法”。一般先解除多余約束，一般先解除多余約束，代之以多余約束力，代之以多余約束力，得到基本靜定系，得到基本靜定系，再根據(jù)再根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件得到關于多余約束力的補充方程。得到關于多余約束力的補充方程。劉鴻文版材料力學全套該體系中多出一個外部約束，為一次超靜定梁該體系中多出一個外部約束，為一次超靜定梁解除多余支座解除多余支座B，并以多余約束，并以多余約束X1代替代替若以若以 表示表示B端沿豎直方向

27、的位移，則：端沿豎直方向的位移，則：1是在是在F單獨作用下引起的位移單獨作用下引起的位移F1是在是在X1單獨作用下引起的位移單獨作用下引起的位移11X11110 (*)FX 例如：例如：劉鴻文版材料力學全套 對于線彈性結構，位移與力成正比，對于線彈性結構，位移與力成正比，X1是單位力是單位力“1”的的X1倍，故倍，故 也是也是 的的X1倍，即有倍，即有11X1111111XX01111FX若：若：EIl3311)3(621alEIFaF于是可求得于是可求得)3 (2321allFaX所以（所以（*）式可變?yōu)椋海┦娇勺優(yōu)椋?例例14.114.1：試求圖示平面剛架的支座反力。已知各桿：試求圖示平面

28、剛架的支座反力。已知各桿 EI=EI=常數(shù)。常數(shù)。EIaaaaaEI34322132211EIqaaqaEIP22143183011111qaXXP得由 83, 0 qaYXBB 逆時針8,811, 02qaMqaYXAAA 解：解： 例例14.214.2：兩端固定的梁，跨中受集中力作用，設梁的抗彎剛度：兩端固定的梁，跨中受集中力作用，設梁的抗彎剛度 為為EIEI，不計軸力影響，求梁中點的撓度。，不計軸力影響，求梁中點的撓度。EIllEI1111EIPlPlEIP818122101111PX由81PlX 得 233824816192CPllPlPlwEIEIEI 解：解：例例14.314.3：

29、求圖示剛架的支反力。：求圖示剛架的支反力。EIaaaEI3232223211EIqaaaqaEIP242832142101111PX由161qaX 得 169,16 qaYqaXBB 167qaYA解：解：,16qaXA上面我們講的是只有一個多余約束的情況！上面我們講的是只有一個多余約束的情況！ 那么當多余約束不止一個時，力法方程是什么樣的呢？那么當多余約束不止一個時，力法方程是什么樣的呢？ 0321011111321PXXX013132121111PXXX0 23232221212PXXX033332321313PXXX由疊加原理：由疊加原理：同理同理 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件 ： 表示表示

30、 作用點沿著作用點沿著 方向的位移方向的位移 iiXiX00022112222212111212111nFnnnnnFnnFnnXXXXXXXXX力法正則方程：力法正則方程：矩陣形式：矩陣形式：02121212222111211nFFFnnnnnnnXXX表示沿著表示沿著 方向方向 單獨作用時所產(chǎn)生的位移單獨作用時所產(chǎn)生的位移 iX1iX ii表示沿著表示沿著 方向方向 單獨作用時所產(chǎn)生的位移單獨作用時所產(chǎn)生的位移 1jX ijiX表示沿著表示沿著 方向載荷方向載荷F單獨作用時所產(chǎn)生的位移單獨作用時所產(chǎn)生的位移 iFiXdiFiFlM MxE IdijijlM MxE I則則 ：diiiilM

31、 MxE I1iX引起的彎矩為引起的彎矩為 引起的彎矩為引起的彎矩為 載荷載荷F引起的彎矩為引起的彎矩為 iMjMFM1jX 設：設：對稱性質(zhì)的利用：對稱性質(zhì)的利用：對稱結構：對稱結構：若將結構繞對稱軸對折后，若將結構繞對稱軸對折后， 結構在對稱軸兩邊的部分將完全重合。結構在對稱軸兩邊的部分將完全重合。14-3 14-3 對稱及反對稱性質(zhì)的利用對稱及反對稱性質(zhì)的利用對稱載荷：對稱載荷：將對稱結構繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的載荷完將對稱結構繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的載荷完全重合（即對折后載荷的作用點和作用方向重合，且作用力的全重合（即對折后載荷的作用點和作用方向重合，且作用力的大小也相等）。大

32、小也相等）。反對稱載荷：反對稱載荷：將對稱結構繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的載荷將對稱結構繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的載荷作用點重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。作用點重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。劉鴻文版材料力學全套 當對稱結構上受對稱載荷作用時，當對稱結構上受對稱載荷作用時，032232112于是正則方程可化為于是正則方程可化為022233331311313111XXXXXFF在對稱面上反對稱在對稱面上反對稱內(nèi)力內(nèi)力等于零等于零。 對稱結構在對稱載荷作用下的情況：對稱結構在對稱載荷作用下的情況：用圖乘法可證明用圖乘法可證明可得可得：對稱結構在反對稱載荷作用下的情況：對稱結構在

33、反對稱載荷作用下的情況：同樣用圖乘法可證明同樣用圖乘法可證明當對稱結構上受反對稱載荷作用時，當對稱結構上受反對稱載荷作用時，在對稱面上對稱內(nèi)力等于零。在對稱面上對稱內(nèi)力等于零。032232112可得可得：于是正則方程可化為于是正則方程可化為FXXXXX222233313131311100劉鴻文版材料力學全套 例例14.4:14.4:平面剛架受力如圖，各桿平面剛架受力如圖，各桿 EI=EI=常數(shù)。試求常數(shù)。試求C C處的約束力及處的約束力及A A、B B處的支座反力。處的支座反力。EIaaaEI332213211EIqaqaaEIP168214221 :由力法正則方程得：0 1111PX，163

34、qaXC，0CY0CM1631qaX ,163)()(qaXXBA 2 qaYYBA16)()(2qaMMBA逆時針順時針解：解：劉鴻文版材料力學全套例例14.514.5：等截面平面框架的受力情況如圖所示。試求最大彎矩及：等截面平面框架的受力情況如圖所示。試求最大彎矩及其作用位置。其作用位置。PPQ2245cos解：載荷關于對角線解：載荷關于對角線ACAC和和BDBD反對稱反對稱由平衡條件可得：由平衡條件可得：)( 2maxmax作用點處發(fā)生在外載荷 PMPaM劉鴻文版材料力學全套附錄附錄I I 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)劉鴻文版材料力學全套I-1 I-1 靜矩和形心靜矩和形心I-2

35、 I-2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑附錄附錄I I平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)劉鴻文版材料力學全套I1 靜矩和形心靜矩和形心dAyyzzOSy AzAd,Sz AyAd1.1.靜矩靜矩劉鴻文版材料力學全套形心坐標：形心坐標：AAzzAAyyAAd,dCyyzzO劉鴻文版材料力學全套靜矩和形心坐標之間的關系：靜矩和形心坐標之間的關系：ASzASyyzCyyzzOAzSAySyz,劉鴻文版材料力學全套 例：計算由拋物線、例：計算由拋物線、y軸和軸和z軸所圍成的平面圖軸所圍成的平面圖形對形對y軸和軸和z軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標。軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標。zhyb122yzO

36、劉鴻文版材料力學全套zhyb122ydybhSzAyA2d解：解：Sy AzAd12102222bhybydyhybyb0221dyzO4152bhb h24劉鴻文版材料力學全套AAAd形心坐標為:833242bbhbhASyz52321542hbhbhASzy0221bhybyd23bh劉鴻文版材料力學全套 例：確定圖示圖形形心例：確定圖示圖形形心C的位置。的位置。劉鴻文版材料力學全套解：解：ASyzmm7 .397001200510706012010ASzy1012057010451200700197 . mm劉鴻文版材料力學全套例：求圖示陰影部分的面積對例：求圖示陰影部分的面積對y軸的靜

37、矩。軸的靜矩。劉鴻文版材料力學全套Sbhaahay242解：解：b ha2422劉鴻文版材料力學全套I-2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑一、慣性矩一、慣性矩IyAIzAzAyA22dd,AdyyzzO劉鴻文版材料力學全套 工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與某一長度平方的乘積，即某一長度平方的乘積，即分別稱為平面圖形對分別稱為平面圖形對y軸和軸和z軸的慣性半徑軸的慣性半徑iiyz、IA iyy2或iIAyyIA iiIAzzzz2或劉鴻文版材料力學全套IApA2d222yzIIIpyz二、極慣性矩二、極慣性矩dAyyzzO劉鴻文版材料力學全套例：求圖

38、示矩形對對稱軸例：求圖示矩形對對稱軸y、z的慣性矩。的慣性矩。劉鴻文版材料力學全套解：解：IzAyA2dzdzz b zhh222/d bh312劉鴻文版材料力學全套例：求圖示圓平面對例：求圖示圓平面對y、z軸的慣性矩。軸的慣性矩。Idp432IIyzIIIyzp劉鴻文版材料力學全套慣性積慣性積Iyz AyzAddAyzzOy劉鴻文版材料力學全套 如果所選的正交坐標軸中，有一個坐標軸如果所選的正交坐標軸中，有一個坐標軸是對稱軸，則平面圖形對該對坐標軸的慣性積是對稱軸，則平面圖形對該對坐標軸的慣性積必等于零。必等于零。Iyz 0zydAdA劉鴻文版材料力學全套幾個主要定義幾個主要定義:(1)主慣

39、性軸主慣性軸 當平面圖形對某一對正交坐當平面圖形對某一對正交坐標軸標軸y0、z0的慣性積的慣性積 Iy0z0=0時，則坐標軸時，則坐標軸 y0、z0稱為主慣性軸。稱為主慣性軸。因此，具有一個或兩個對稱軸的正交坐標因此，具有一個或兩個對稱軸的正交坐標軸一定是平面圖形的主慣性軸。軸一定是平面圖形的主慣性軸。(2)主慣性矩主慣性矩 平面圖形對任一主慣性軸的平面圖形對任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。慣性矩稱為主慣性矩。劉鴻文版材料力學全套(3)形心主慣性軸形心主慣性軸 過形心的主慣性軸稱為過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸。形心主慣性軸。 可以證明可以證明:任意平面圖形必定存在一對相任意平面圖形必定存在一對相互垂直的形心主慣性軸?；ゴ怪钡男涡闹鲬T性軸。(4)形心主慣性矩