全等三角形的提高拓展經(jīng)典編輯題(教師版)

1、全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識點(diǎn)睛全等三角形的性質(zhì)： 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角 的角平分線相等，面積相等.尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊.(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊.(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角.(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角.(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角).要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵.全

2、等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(2)角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(3)邊邊邊定理(SSS：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(4)角角邊定理(AAS):兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(5)斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用： 運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會添加輔助線.拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、

3、分相等是幾何證明的基礎(chǔ).例題精講板塊一、截長補(bǔ)短【例1】 已知 ABC中， A 60°, BD、CE分別平分 ABC和.ACB, BD、CE交于點(diǎn)O ,試 判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【例2】 如圖，點(diǎn)M為正三角形 ABD的邊AB所在直線上的任意點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，作 DMN 60 ,射線 MN與/DBA外角 的平分線交于點(diǎn) N , DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)M為正方形 ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN DM且與/ABC外角的平分線交于點(diǎn) N, MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？BCD【例3】 已知：如圖， ABCD是正方形，/ FAD = /FAE.

4、求證：BE + DF=AE.【例4】 以 ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊 ABD、ACE ,連結(jié)CD、BE相交于點(diǎn)O .求 證：OA平分 DOE .【例5】 如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個(gè) 60的 MDN，點(diǎn)M、N分別在 AB、AC上，求 AMN的周長.【例6】 五邊形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE = CD, / ABC+/ AED = 180°, 求證：AD平分/CDE板塊二、全等與角度【例 7 如圖，在 ABC中， BAC 60 , AD是 BAC的平分線，且 AC AB BD ,求 ABC 的度數(shù)

5、.ABDC例8在等月ABC中，AB AC,頂角 A 20 ,在邊AB上取點(diǎn)D ,使AD BC , 求 BDC.AB C【例9】 如圖所示，在 ABC中，AC BC, C 20 ,又M在AC上，N在BC上，且滿足 BAN 50 , ABM 60 ,求 NMB.C1010在四邊形ABCD中, 的度數(shù).已知 AB AC , ABD60 , ADB 76 , BDC 28 ,求 DBC【例11】如圖所示，在四邊形 求 ACD的度數(shù).ABCD 中,DAC12,CAB 36 , ABD 48 , DBC 24 ,12 121在正 ABC內(nèi)取一點(diǎn)ABC外取一點(diǎn) E ,使 DBE DBC ,且【例13】BE

6、BA,求BED.如圖所示，在MAC 16 ,ABC 中， BAC求 BMC的度數(shù).BCA44 , M為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得 MCA 30 ,全等三角形證明經(jīng)典50題（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2, D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求 AD延長 AD至ij E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整數(shù)，則AD=51 _2 .已知：D是AB中點(diǎn)，/ ACB=90 ,求證：CD -ABCB23 .已知：BC=DE , /B=/E

7、, ZC=ZD, F 是 CD 中點(diǎn)，求證：/ 證明：連接BF和EF。因?yàn)?BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF。所以 三角形BCF全等于三角形 EDF（邊角邊）。所以 BF=EF, / CBF= / DEF。連接BE。在三角形 BEF中，BF=EF。所以 /EBF=/BEF。又因?yàn)?/ABC=/AED。所以 / ABE= / AEB。所以AB=AE 。在三角形ABF和三角形 AEF中，AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF。所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以 / BAF= / EAF ( /1 = /2)。

8、4 .已知：/ 1 = Z2, CD=DE , EF/AB ,求證：EF=AC 證明：過E點(diǎn)，作EG/AC ,交AD延長線于 G則/ DEG= / DCA , / DGE= / 2又 CD=DE/ADCEGDE (AAS)EG=AC EF/AB ./ DFE=Z 11 = /2 ./ DFE= Z DGEEF=EGEF=AC1=/25.已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ,求證：/ B=2 / C證明：在AC上截取 AE=AB ,連接 ED. AD 平分/ BAC/ EAD= / BAD又 AE=AB , AD=AD./AEDE ABD (SAS)，/AED=/B, DE=DB

9、AC=AB+BDAC=AE+CE.CE=DE ./ C=Z EDC / AED= / C+/ EDC=2 / C ./ B=2Z C12 .如圖，四邊形 ABCD 中，AB /DC, BE、CE分別平分/ ABC、/ BCD ,且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC 。證明：在BC上截取BF=BA,連接EF./ ABE= / FBE,BE=BE,貝UABE A FBE(SAS), Z EFB= Z A;AB 平行于 CD,則:/ A+/D=180°又/ EFB+ / EFC=180，則/ EFC= / D;又/ FCE=Z DCE,CE=CE,故/FCE A DCE(AAS),FC=

10、CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.13 .已知：AB/ED , /EAB=/BDE, AF=CD , EF=BC ,求證：/ F=/C AB/ED,AE/BD 推出 AE=BD,又有 AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB, 所以：/C=/F14 .已知：AB=CD , /A=/D,求證：/ B=/C證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于 E,（當(dāng)AD<BC時(shí)，E點(diǎn)是射線BA,CD 的交點(diǎn)，當(dāng) AD>BC時(shí)，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)）。則： AED是等腰三角形。所以：AE=DE而 AB=CD所以：BE=CE （等量加等量，或等量減等量）所以： BEC是等腰

11、三角形 所以：角8=角C.15. P 是/ BAC 平分線 AD 上一點(diǎn)，AC>AB ,求證：PC-PB<AC-AB作B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B ；因?yàn)锳D是角BAC的平分線，B'在線段AC 上（在AC中間，因?yàn)锳B較短）因 為 PC<PB +B 'C,PCPP <B 'C,而 B'C=AC-AB'=AC-AB, 所 以 PC-PB<AC-AB16. 已知/ ABC=3 /C, / 1 = /2, BEXAE ,求證：AC-AB=2BE/ BAC=180- （/ ABC+ / C=180-4 / C/ 1 = / BAC/2=90

12、-2 / C/ ABE=90- / 1=2/C延長BE交AC于F因?yàn)椋? 1 =/2, BEXAE所以， ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE/ FBC= / ABC- / ABE=3 / C-2/ C=/ CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知，E 是 AB 中點(diǎn)，AF=BD , BD=5 , AC=7 ,求 DC作AG / BD交DE延長線于 GAGE全等BDEAG=BD=5AGFsCDFAF=AG=5所以 DC=CF=218. （5 分）如圖，在 ABC 中，BD=DC, /1 = /2,求證：ADXBC.延長AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/ D

13、BC= /角 DCB;/ 1 = /2;/ DBC+ / 1 =/角 DCB+ / 2;/ ABC= / ACB;所以：AB=AC;三角形ABD全等于三角形 ACD;/ BAD= / CAD;AD是等腰三角形的頂角平分線所以：AD垂直BC19. （5 分）如圖，OM 平分/ POQ, MA±OP,MB±OQ, A、B 為垂足,AB 交 OM 于點(diǎn) N,求證：/ OAB=/OBA因?yàn)锳OM與MOB都為直角三角形、共用 OM ,且/ MOA= / MOB所以MA=MB所以/ MAB= / MBA因?yàn)? OAM= Z OBM=90 度所以/ OAB=90- / MAB / OBA

14、=90- / MBA所以/ OAB= / OBA20. （5分）如圖，已知 AD/BC, / PAB的平分線與/ CBA的平分線相 交于E, CE的連線交 AP于D.求證：AD + BC=AB.證明：做BE的延長線，與AP相交于F點(diǎn)， PA/BC ./ PAB+ ZCBA=180 ,又,，AE, BE均為/ PAB和/ CBA的角平分線 . / EAB+ / EBA=90 . . / AEB=90 , EAB 為直角三角形在三角形 ABF中，AE XBF,且AE為/ FAB的角平分線 三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，/ EBC= / DFE,且

15、BE=EF , / DEF= / CEB, 三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21 .（6分）如圖，AABC中，AD是/ CAB的平分線，且AB=AC+CD, 求證：/ C=2/B證明：在 AB上找點(diǎn)E,使AE=AC AE=AC , / EAD= / CAD , AD=ADADEAADC o DE=CD , / AED= / C AB=AC+CD , DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/ B=Z EDB/C=/ B+ Z EDB=2 ZB22. （6分）如圖，E、F分別為線段 AC上的兩個(gè)動點(diǎn)，且DELAC于E, BFLAC于F,若AB=

16、CD,AF=CE, BD 交 AC 于點(diǎn) M.(1)求證：MB=MD , ME = MF(2)當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動到如圖的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由.分析：通過證明兩個(gè)直角三角形全等，即RtADECRtABFA以及垂線的性質(zhì)得出四邊形BEDF是平行四邊形.再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論.解答：解：(1)連接BE, DF. DEXAC 于 E, BFXAC 于 F,/ DEC= / BFA=90 , DE / BF , 在 RtADEC 和 RtA BFA 中， AF=CE , AB=CD , RtADEC RtA BFA, DE=BF . 四邊形B

17、EDF是平行四邊形.MB=MD , ME=MF ;(2)連接 BE, DF. DEXAC 于 E, BFXAC 于 F,/ DEC= / BFA=90 , DE / BF , 在 RtADEC 和 RtA BFA 中， AF=CE , AB=CD , RtADEC RtA BFA, DE=BF . 四邊形BEDF是平行四邊形.MB=MD , ME=MF .23. (7分)已知：如圖， DC/AB,且DC=AE, E為AB的中點(diǎn), (1)求證： AEDA EBC.(2)觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除 EBC外，請?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)與 AED的面積相等的三角形.(直接寫出結(jié)果，不要求證明)：(1)DC

18、 / AE,且DC=AE ,所以四邊形 AECD是平行四邊形。于是知 AD=EC ,且/ EAD= / BEC。 由 AE=BE ,所以 AEDEBC。(2) AEC> AACD > AECD 都面積相等。24. (7 分)如圖， ABC 中，/ BAC=90 度，AB=AC, BD 是/ ABC 的平分線，BD的延長線垂直于過 C點(diǎn)的直線于 E,直線CE交BA的 延長線于F.求證：BD=2CE.證明：延長BA、CE,兩線相交于點(diǎn) F BEIGE/ BEF= / BEC=90在 BEF和 BEC中/ FBE= / CBE, BE=BE, / BEF= / BEC . BEFA BE

19、C(ASA)EF=EC . CF=2CE / ABD+ / ADB=90，/ACF+ / CDE=90又. / ADB= ZCDE/ ABD= / ACF在ABD和AACF中/ ABD= / ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90ABDAACF(ASA)BD=CFBD=2CEC25、(10 分)如圖：DF=CE AD=BC / D=/C。求證： AED BFG26、（10 分）如圖：AE BC交于點(diǎn) M F 點(diǎn)在 AMLh, BE/ CF, BE=CF 求證：AM是 ABC的中線。證明： BE | CF/ E=Z CFM , / EBM= / FCM BE=CF . BEMA

20、CFMBM=CMAM 是 ABC的中線.27、（10分）如圖：在 ABC中，BA=BC D是AC的中點(diǎn)。求證：BD! AG 三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們?nèi)?，所以?ADB和角 CDB相等，它們的和是 180度，所以都是90度，BD垂直ACBF=CF28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延長線上的一點(diǎn)。求證:證明：在 ABD與 ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDAACD/ ADB= / ADC / BDF= / FDC在 BDF與 FDC中BD=DC/ BDF= / FDCDF=DFFBDA FCD，BF=FC29、（12 分）如圖：AB=CD AE=D

21、F CE=FB 求證：AF=DE因?yàn)锳B=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE二三角形CDF因?yàn)榻荄CB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE30.公園里有一條“Z"字形道路 ABCD,如圖所示，其中AB / CD,在AB,CD, BC三段路旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE=CF, M在BC的中 點(diǎn)，試說明三只石凳 E, F, M恰好在一條直線上. 證： AB平行CD （已知）B=/C （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. M在BC的中點(diǎn)（已知）EM=FM （中點(diǎn)定義）在 BME和4CMF中BE=CF （已知）ZB=ZC

22、 （已證）EM=FM （已證） .BME 全等與 CMF （SAS），/EMB=/FMC （全等三角形的對應(yīng)角相等）/ EMF= / EMB+ / BMF= / FMC+ / BMF= / BMC=180 （等式的性質(zhì)）E, M , F在同一直線上31 .已知：點(diǎn) A、F、E、C在同一條直線上，AF = CE, BE / DF , BE = DF .求證： ABE 0 CDF.證明： AF=CE . AF+EF=CE+EFAE=CF BE/DF/ BEA= / DFC又 BE=DF /ABE/CDF （SAS）32 .已知：如圖所示， AB = AD , BC=DC, E、F分別是 DC、BC

23、的中點(diǎn)，求證： AE=AF。連結(jié)BD ,得到等腰三角形 ABD和等腰三角形 BDC ,由等腰兩底 角相等得：角 ABC二角ADC 在結(jié)合已知條彳證得： ADEA ABF 得 AE=AF33 .如圖，在四邊形 ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，/ 1 = 72, / 3=/4,求證：/5=/6.因?yàn)榻?=角2/3=/4所以角ADC二角ABC.又因?yàn)锳C是公共邊，所以 AAS=三角形ADC全等于三角形 ABC.所以BC等于DC ,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC 所以/ 5=7 634 .已知 AB/DE, BC/EF, D, C在AF 上，且AD=CF,求證：AABCADEF.

24、因?yàn)镈,C在AF上且 AD=CF所以AC=DF又因?yàn)?AB平行DE, BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA二角F （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）然后SSA （角角邊）三角形全等35.已知：如圖，AB=AC, BD AC, CE AB,垂足分另為 證明：因?yàn)?AB=AC ,D、E, BD、CE相交于點(diǎn)F,求證：BE=CD .所以 / EBC= / DCB因?yàn)?BDXAC, CEXAB所以 / BEC= / CDBBC=CB （公共邊）則有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD36、如圖，在 ABC中，AD為/ BAC的平分線,求證：DE=DF.AAS 證AD EA ADF37.已知：如圖，

25、AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC =AE .若 AB = 5，求 AD 的長?角C二角E=90度角8=角EAD=90度-角BACBC=AE ABCDAEAD=AB=538.如圖：AB=AC , ME LAB, MF ± AC ,垂足分別為E、F, ME=MF 。BC求證：MB=MC證明 AB=ACABC是等腰三角形B=ZC又 ME=MF , BEM和 CEM是直角三角形 . BEM 全等TA CEMMB=MC40.在 ABC 中，ACB 90 , AC BC ,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C ,且 AD MN 于 D , BE MN 于E .(1)

26、當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ADC色 CEB ; DE AD BE ;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立,請給出證明；若不 成立，說明理由.(1)證明：ACB=90 , / ACD+ / BCE=90 ,而 AD，MN 于 D, BEX MN 于 E,/ ADC= / CEB=90 , / BCE+ / CBE=90 , ./ ACD= / CBE.在 RtAADC 和 RtA CEB 中，/ ADC= / CEB / ACD= / CBE AC=CB , RtAADC RtACEB (AAS ),AD=CE , DC=BE , .DE=D

27、C+CE=BE+AD ;(2)不成立，證明：在 ADC 和 CEB 中，/ADC= / CEB=90 / ACD= Z CBE AC=CB , ADCACEB (AAS),AD=CE , DC=BE , . DE=CE-CD=AD-BE ;41 .如圖所示，已知 AE± AB AF± AC, AE=AB AF=AC 求證：(1) EC=BF (2) EC± BF(1)證明；因?yàn)锳E垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因?yàn)锳F垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC二角BAF因?yàn)?AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FA

28、B全等所以EC=BF角ECA=角F(2) (2)延長FB與EC的延長線交于點(diǎn) G 因?yàn)榻荅CA二角F(已證)所以角G=角CAF因?yàn)榻荂AF=90度所以EC垂直BF(1) AM=AN ; (2) AM ±AN 。42.如圖：BEX AC, CFXAB , BM=AC , CN=AB 。求證:證明：(1) BEXAC , CF± AB / ABM+ / BAC=90 , / ACN+ / BAC=90/ ABM= / ACN BM=AC , CN=ABABM NACAM=AN(2). ABM NAC/ BAM= / N / N+ / BAN=90 / BAM+ / BAN=90

29、即/ MAN=90AM ± AN43 .如圖，已知/ A= / D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC / EF 連接BF、CE,證明ABF全等于 DEC (SAS),然后通過四邊形BCEF對邊相等的證得平行四邊形BCEF從而求得BC平行于EF44 .如圖，已知 AC / BD, EA、EB分別平分/ CAB和/ DBA , 過點(diǎn)E,則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由在AB上取點(diǎn)N ,使得AN=AC/ CAE= / EAN ,AE為公共邊，所以三角形 CAE全等三角形 EAN所以/ ANE= / ACE又AC平行BD所以/ ACE+ / BDE=180而/ ANE+ / ENB=180所以/ ENB= / BDE/ NBE= / EBNBE為公共邊，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD 45、（10分） 如圖，已知：AD是BC上的中線，且DF=DE .求證：BE/CF. 證明： AD是中線BD=CD DF=DE , / BDE= / CDF . BDEA CDF ./ BED= / CFDBE | CF46、（10 分）