對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材第二章《函數(shù)》的認(rèn)識(shí)

1、對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材第二章函數(shù)的認(rèn)識(shí)一、 函數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的基本概念之一，它不僅是學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)后繼內(nèi)容的基礎(chǔ)，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)，函數(shù)這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法也廣泛地滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程和其它學(xué)科之中。因此，對(duì)本章內(nèi)容力求學(xué)習(xí)得更好一些。函數(shù)這一章的內(nèi)容可分為三個(gè)單元。第一單元：函數(shù)，主要介紹函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系。這部分是學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的基礎(chǔ)。第二單元：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第三單元：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)本章最后一節(jié)安排了函數(shù)應(yīng)用舉例，為全章知識(shí)的綜合運(yùn)用，是近年高考的熱點(diǎn)。2.1 函數(shù)關(guān)于函數(shù)的定義 設(shè)在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量 x和y

2、，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量.函數(shù)的三大要素是：定義.域、值域、對(duì)應(yīng)法則。判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，必須三個(gè)要素完全一致。2.2 函數(shù)的表示方法： 解析法：兩個(gè)變量用一個(gè)等式表示，這個(gè)等式叫做解析式； 列表法； 圖象法。分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，只不過在不同子區(qū)間對(duì)應(yīng)法則不同而矣。甚至函數(shù)圖象處處不連續(xù)，也可看作分段函數(shù)。例 D(x)= 如何確定常見函數(shù)的定義域？( 1 )當(dāng)f(x)是整式時(shí)，定義域是實(shí)數(shù)集R；( 2 )當(dāng)f(x)是分式時(shí)，定義域是使分母不為0的x取值的集合(R的子集)；( 3 ) 當(dāng)f(x)是二次根式(偶次

3、根式)時(shí)，定義域是使被開方式取非負(fù)值的x取值的集合(R的子集)；( 4 ) 當(dāng)f(x)是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組成時(shí)，定義域是使各個(gè)式子都有意義的x取值的集合(R的子集)；( 5 ) 當(dāng)f(x)表示實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系時(shí)，應(yīng)考慮在這實(shí)際問題中x取值的意義。例1. 已知f(x+1)=求f(0)，f(x).解： 當(dāng)x=1時(shí)， x+1=0， f(0)= f(1+1)= (1)2 +6(1)+2 =3.法一：變量代換 令 x+1=t，則 x=t1， f(t)=( t1)2+6(t1)+2 =t2+4 t3f(x) = x2+4 x3. f(0) =3. 法二：配湊法f(x+1) =( x2+2x+1)+(4

4、x+4)+25 =(x+1)2+4(x+1)3 f(x) = x2+4 x3.例2 己知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1，求函數(shù)f(2x)和f(x+1)的定義域.解：02x10x， f(2x)的定義域?yàn)?，.0x+111x0， f(x+1)的定義域.為1，0.例3 求函數(shù)的值域.解：換元 設(shè)t=，則 t2 =12x. 2x=t2 +1. (t0). (t0)故值域?yàn)椋?求值域的方法：觀察、配方、換元、法等。 2.3 函數(shù)的單調(diào)性什么叫做函數(shù)的單調(diào)性？設(shè)給定區(qū)間B上的函數(shù)f(x)，對(duì)任x1，x2B (x1x2)，如果都有f(x1) f(x2)，那么稱函數(shù)f(x)在間B上是增函數(shù)，如果都有f(x1)

5、f(x2)，那么稱函數(shù)f(x)在間B上是減函數(shù).可以表述為：(x1x2)f(x1) f(x2)0為增函數(shù)，(x1x2)f(x1) f(x2)0為減函數(shù)，如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間B上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱f(x)在區(qū)間B上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，并把區(qū)間B叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的整體性之一 函數(shù)的單調(diào)性(不說函數(shù)的增減性) 在某某區(qū)間上是增(減)函數(shù)(不說“在某某區(qū)間內(nèi)是增(減)函數(shù)”).實(shí)際上，函數(shù)的單調(diào)性不涉及區(qū)間端點(diǎn)問題，“上”包含了“內(nèi)”，“內(nèi)”卻不包含“上”用“上”能較好地反映函數(shù)的整體性質(zhì). 在定義域內(nèi)是增(減)函數(shù)(不說“在定義域上是增(減)函數(shù))這僅僅是為了符

6、合語言使用習(xí)慣. 在定義域內(nèi)或某某區(qū)間上是增(減)函數(shù)(不說“在定義域內(nèi)或某某區(qū)間上單調(diào)遞增(減)”)，實(shí)際上“單調(diào)遞增(減)”可以是不嚴(yán)格的增(減)，而且也不僅僅對(duì)于區(qū)間來定義，它是更廣泛的概念，中學(xué)不予介紹.類似地教科書中只引入“單調(diào)區(qū)間”，而不使用“單調(diào)遞增(減)區(qū)間”這些詞語.在教學(xué)中更不能省略成“單增”、“單減”. 增函數(shù)、減函數(shù)(不使用單調(diào)函數(shù))，實(shí)際上“單調(diào)函數(shù)”通常是指整個(gè)定義域內(nèi)只具有一種單調(diào)性的函數(shù)，不能在有的區(qū)間上增，有的區(qū)間上減.研究函數(shù)的單調(diào)性，必須在定義域內(nèi)的給定區(qū)間上，例如 f(x)=的定義域是(，0)(0，+)，它在 (，0)上是減函數(shù)，在(0，+)上也是減函數(shù)

7、，但不能說在定義域內(nèi)是減函數(shù).怎樣利用己知函數(shù)的單調(diào)性來判定較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性？若函數(shù)f(x)、 g(x)在區(qū)間上B具有單調(diào)性，那么在區(qū)間B上：(1) f(x)與 f(x)+c(c為常數(shù)) 具有相同的單調(diào)性；(2) f(x)與c f(x)當(dāng)c0時(shí)，具有相同的單調(diào)性；當(dāng)c0時(shí)，具有相反的單調(diào)性；(3) 當(dāng) f(x)恒不為零時(shí)，f(x)與具有相反的單調(diào)性；(4) 當(dāng)f(x)恒為非負(fù)時(shí)，f(x)與具有相同的單調(diào)性；(5) 當(dāng)f(x)、 g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，則f(x)+ g(x)也是增(減)函數(shù)；(6) 當(dāng)f(x)、 g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，則f(x)× g(x)當(dāng)f(x)、 g

8、(x)兩者都恒大于0時(shí)，也是增(減)函數(shù)，當(dāng)兩者都恒小于0時(shí)是減(增)函數(shù).至于按定義來證明函數(shù)的單調(diào)性，通常須五步：取值求差變形定號(hào)判斷(分解因式、配方等)2.4 反函數(shù)新教材關(guān)于反函數(shù)的定義是按照函數(shù)的定義來重新定義的。見教材P61頁。由定義可知：反函數(shù)x=f1(y)的定義域、值域分別為函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.這樣定義的反函數(shù)有一定的局限性，事實(shí)上函數(shù)y=f(x)和x=f1(y)表示的是同一種關(guān)系，兩者的圖象是一致的，這樣，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，如果不記住是從x到y(tǒng)還是從y到x，就分不清函數(shù)的圖象和它的反函數(shù)的圖象了.為此，我們按照用x表示自變量，用y表示函數(shù)的習(xí)慣，把函數(shù)式x=f1(

9、y)中的字母x，y對(duì)調(diào)一下，從而把函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)x=f1(y)改寫成y=f1(x).這樣函數(shù)的解析式和圖象都變了，叫做矯形反函數(shù).在教科書中，函數(shù)的反函數(shù)都是指它的矯形反函數(shù).一般地講，如果一個(gè)函數(shù)有反函數(shù)，那么原函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)是互為反函數(shù).求反函數(shù)時(shí)，應(yīng)先確定原函數(shù)的值域，這樣，反函數(shù)的定義域便確定了.求反函數(shù)的步騾是“一解、二換”.一解：即首先由給出的原函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)，反解出用y表示x的式子x=f1(y)；二換：即是將x=f1(y)中的x，y互換，得到y(tǒng)=f1(x).應(yīng)該注意：(1) 在y=f(x)與x=f1(y)中，字母x，y但所表示的量相同，但地位不同，

10、在y=f(x)中，x是自變量，y是x的函數(shù)；在x=f1(y)中，y是自變量，x是y的函數(shù).(2) 在y=f(x)與y=f1(x)中，字母x都是自變量，y是x的函數(shù).即x，y地位相同，但這時(shí)x與y表示的量的意義卻互換了.(3) 在同一直角坐標(biāo)系中，y=f(x)與x=f1(y)是同一圖象，而y=f(x)與y=f1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.注意利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖象可直觀地，生動(dòng)地反映函數(shù)的某些性質(zhì)，因此研究函數(shù)性質(zhì)應(yīng)密切結(jié)合函數(shù)圖象的特征，對(duì)應(yīng)研究函數(shù)的性質(zhì).所以要注意觀察函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，總結(jié)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，同時(shí)在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，頭腦中要有相應(yīng)函數(shù)圖象來印證.因此，記住某些

11、函數(shù)圖象的草圖，養(yǎng)成分析問題的習(xí)慣，形成數(shù)形結(jié)合研究問題的意識(shí).例1. 若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=g(x)， f(a)=b，ab0，則g(b)=( ).(A) a (B) a1 (C) b (D) b1解：由f(a)=b，得g(b)=gf(a)， f(x)與g(x)互為反函數(shù)， gf(a)= a. g(b)=a. 故選(A).例2 己知 f()=，求f1 () .解：由f()=，得f(x)=.即 y= 解得 x= ， 故 f1 (x)=. 即 f1 () =.例3 求函數(shù) 的反函數(shù).解：由) 解得 x2=y+1， x0， x= 又由 y=2x1(x0解得 x=. 的反函數(shù)為f1 (x)=

12、 例4己知(1，2)既在的圖象上，又在其反函數(shù)的圖象上，求a，b的值.解： 點(diǎn)(1，2)既在的圖象上， 即 a+b=4， 又 點(diǎn)(1，2) 在的反函數(shù)的圖象上， 點(diǎn)(2，1) 在的圖象上. ，即 2a+b=1. 由、聯(lián)立，解得 故 a，b的值分別為3、7.二、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)2.5 指 數(shù)隨著指數(shù)范圍擴(kuò)充，冪的運(yùn)算性質(zhì)可以合并和簡(jiǎn)化正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：(1) am·an=am+ n (m、n N * )；(2) (a m)n=a mn (m、n N * )；(3) (ab)n=anbn (n N * )；(4) am÷an=am- n (a0 m、n N *， m0)；(

13、5) ()n = (b0 ，且n N *)；當(dāng)指數(shù)的范圍擴(kuò)大到整數(shù)集Z之后，冪的運(yùn)算性質(zhì)可以合并：(1) am·an=am+ n (m、n Z)；(2) (a m)n=a mn (m、n Z)；(3) (ab)n=anbn (n Z).注意：零指數(shù)、負(fù)整指數(shù)冪底數(shù)不能等于0.當(dāng)指數(shù)的范圍擴(kuò)大到有理數(shù)集Q以至實(shí)數(shù)集R，仉然符合上述三條運(yùn)算性質(zhì)：(1) ar·as=ar+ s (a0，r、s Q)；(2) (a r)s=a rs (a0，r、s Q)；(3) (ab)r=arbr (a0，b0，r Q).怎樣證明？設(shè)r=，s=，(其中m、n互質(zhì)，p、q互質(zhì)，且n1，q1)(1)

14、 ar·as=a·= =amq·anq=amq+nq. ar·as= 又 a rs = a+=a 由、得 ar·as=ar+ s .(2) (a r)s= =rs .(3) (ab)r=(ab) arbr.例1 計(jì)算：.解： 原式= =101+5 例2 化簡(jiǎn)：.解：例3 化簡(jiǎn)：解： 原式= =例4 計(jì)算 解：原式= =.例5 計(jì)算 解：原式=例6 己知 解：由 得 x2+x-2=47. 原式=2.6 指數(shù)函數(shù)在指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax中，為什么規(guī)定a0且a1？(1)如果a=0，那么當(dāng)x0時(shí)，ax0. 當(dāng)x0時(shí)，ax無意義.(2)如果a0，那么對(duì)

15、于x的某些數(shù)值，可使. ax無意義.例如當(dāng)a=4，.且x=時(shí)，無意義.(3)如果a=1，那么對(duì)于任何xR，ax1.對(duì)它沒有研究的必要.在規(guī)定了a0且a1以后，那么對(duì)于任何xR，ax都有意義且ax0，因此，指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是(0，+).要注意指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax中ax的系數(shù)是1.有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻不是.例如 y=ax+k (a0且a1，kZ).有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻是.例如 y=a-x (a0且a1).它可化為 y=(a-10且a-11)當(dāng)xR，函數(shù)y=2x， y=2x+1，y=2x+1，y=2x，y=2-x圖象之間有什么關(guān)系？(1) 將函數(shù)y=2x的圖象

16、沿y軸向上平移1個(gè)單位長度，就得到 y=2x+1的圖象；(2) 將函數(shù)y=2x的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位長度，就得到 y=2x+1的圖象；(3) 將函數(shù)y=2x的圖象關(guān)于x軸作“對(duì)稱變換”(即畫出它關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形)就得到 y=2x的圖象；(4) 將函數(shù)y=2x的圖象關(guān)于y軸作“對(duì)稱變換”(即畫出它關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形)就得到 y=2-x的圖象；等價(jià)化歸在求解函數(shù)定義域、值域和判斷函數(shù)的單調(diào)性中的作用：等價(jià)化歸很講究技巧，要通過經(jīng)常認(rèn)真的訓(xùn)練才能獲得.例1 己知x，y R，且2x+3y2-x+3-y，求證：x+y0.這個(gè)不等式兩邊都含有x，y兩個(gè)變量，而學(xué)生目前只學(xué)習(xí)一元函數(shù)，為此先把它化歸

17、成等價(jià)形式2x3-x 2-y3y，使它兩邊都只含一個(gè)變量，于是可構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)： f(x)= 2x3-x 由于指數(shù)函數(shù)2x是增函數(shù)，3-x=(是減函數(shù)，3-x是增函數(shù)，因此，f(x)= 2x3-x是增函數(shù)因 2x3-x 2-y3y=2-y3-(-y)，可知 f(x) f(y) ，即 xy. x+y0 .把條件不等式化歸成與它等價(jià)的不等式，也是“化歸”思想的運(yùn)用.而構(gòu)造輔助函數(shù)在完成證明的過程起了重要的作用.例2 求函數(shù)的定義域和值域.解 故 函數(shù)的定義域?yàn)?，3. 當(dāng)x1，3，u. 0，2.又 y=3x為增函數(shù)，故函數(shù)值域?yàn)?，9.例3 求函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間.解：設(shè) 而 為減函數(shù)， 函數(shù)的

18、值域?yàn)?，9.U的單調(diào)增區(qū)間為1，單調(diào)減區(qū)間為(，1).故的單調(diào)增區(qū)間為(，1)，單調(diào)減區(qū)間是 1，.例4己知f(x)= 求f(x)的定義城、值域，并判定f(x)的單調(diào)性.解：(1) 函數(shù)定義域?yàn)?，).(2)又 y= ，函數(shù)的值域?yàn)?1，1).(3)設(shè)x1x2， x1、x2(，).則 f(x1) f(x2) = ， .， f(x1) f(x2).故函數(shù)f(x)=為增函數(shù).例5 若求x的取值范圍.解：當(dāng)，即 當(dāng) 即即當(dāng)a0時(shí)，x2或x1. 當(dāng)1a0時(shí)，1x2.注意：對(duì)指數(shù)的底含字母參量的問題，一定要對(duì)底的取值分情況討論.我們應(yīng)按教學(xué)大綱的要求，把數(shù)學(xué)思想滲透到整個(gè)教學(xué)過程中.所謂數(shù)學(xué)思想，是指

19、現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng) 而 產(chǎn)生的結(jié)果，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)教學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想，它含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的.“數(shù)學(xué)思想”比一般說的“數(shù)學(xué)概念”是具有更高的抽象概括水平，“數(shù)學(xué)概念”比“數(shù)學(xué)思想”更具體、更豐富，而“數(shù)學(xué)思想”比“數(shù)學(xué)概念”更本質(zhì)、更深刻.數(shù)學(xué)思想是與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法的精神實(shí)質(zhì)與理論基礎(chǔ).“數(shù)學(xué)方法”則是實(shí)施有關(guān)數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段與操作程式，中學(xué)數(shù)學(xué)中用到的各種數(shù)學(xué)方法都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)

20、思想屬于科學(xué)思想，但科學(xué)思想未必就是數(shù)學(xué)思想，有的“哲學(xué)思想”(例如“一分為二”的思想和轉(zhuǎn)化思想)和邏輯思想(例如歸納思想)，由于其在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用而被“數(shù)學(xué)化”了，也可稱之為數(shù)學(xué)思想.基本數(shù)學(xué)思想包括：符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷?、集合思想、?duì)應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)與方程的思想、整體思想、極限思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想等.當(dāng)我們按照空間形式和數(shù)量關(guān)系將研究的對(duì)象進(jìn)行分類時(shí)，把分類思想也看作基本數(shù)學(xué)思想.基本數(shù)學(xué)思想有兩大基石符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷牒图纤枷耄钟袃纱笾е鶎?duì)應(yīng)思想和公理化與結(jié)構(gòu)思想，基本數(shù)學(xué)思想及其衍生的其他數(shù)學(xué)思想，形成了一個(gè)結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò).數(shù)學(xué)中滲透著基本數(shù)

21、學(xué)思想，它們是基礎(chǔ)知識(shí)的靈魂，如果能使它們落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)上，就能在發(fā)展他們的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能，這對(duì)于他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展能力、開發(fā)智力都是至關(guān)重要的.三、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)2.7 對(duì)數(shù) “對(duì)數(shù)”幾年前由初中移到高中，大多數(shù)老師都很熟悉，為什么說求對(duì)數(shù)運(yùn)算與求指數(shù)冪運(yùn)算具有互逆關(guān)系？2的4次冪等于16，記作24=16.16是2的4次冪，2是底數(shù)，4是指數(shù).相反的問題：2的多少次冪等于16？為了表示16是2的多少次冪，我們采用了式子log216=4，這里4叫做以2為底16的對(duì)數(shù).2仍然是底數(shù)，16叫做真數(shù).一般地，如果a(a0且a1)b的次冪等于N(即ab=N) 數(shù)

22、b就叫以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b.其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).在實(shí)數(shù)集R內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù).在式子ab=N中，因?yàn)閍是不等于1的正數(shù)，所以對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)b，N總是正數(shù)，也就是說，0與負(fù)數(shù)都沒有對(duì)數(shù).本章對(duì)數(shù)式中的字母，如果不加特殊說明，底數(shù)都是不等于1的正數(shù)，真數(shù)都是正數(shù).指數(shù)式ab=N中，底數(shù)、指數(shù)、冪與對(duì)數(shù)式logaN=b中的底數(shù)、對(duì)數(shù)、真數(shù)的關(guān)系，可以表示如下： 指數(shù) 對(duì)數(shù) 冪 真數(shù)ab=N logaN=b.底數(shù)如果把a(bǔ)b=N 中的寫成logaN，就有a logaN=N，這是對(duì)數(shù)恒等式.例如 24=16，log216=4， 2 log216=16.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

23、：如果，a0，a1，M0，N0，那么(1) loga(MN)=logaM+logaN(2) logalogaMlogaN(3) logaMn=nlogaM (nR)怎樣用文字語言來描述？(1) 兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)，等于同一底數(shù)的這兩個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)的和；(2) 兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)，等于同一底數(shù)的這兩個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)的級(jí)；(3) 一個(gè)正數(shù)的任意實(shí)數(shù)冪的對(duì)數(shù)，等于這個(gè)冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù).怎樣使學(xué)生理解證明對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)loga(MN)=logaM+logaN的思路？先要弄清條件與結(jié)論，即己知logaM、logaN，求loga(MN).還要明確a0，a1，且M0，N0.因?yàn)榍髮?duì)數(shù)是求冪指數(shù)的逆運(yùn)算，為了利用

24、冪的運(yùn)算性質(zhì)，所以設(shè)logaM=p，logaN=q然后轉(zhuǎn)化成指數(shù)式M=ap，N=aq，于是MN= ap aq= ap+q.重新轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式loga(MN)=p+q.把所設(shè)代換便可得證：loga(MN)= logaM+logaN.另法：MN= a logaM a logaN. =a logaM+logaN.，由定義 loga(MN)= logaM+logaN.關(guān)于對(duì)數(shù)換底公式，未出現(xiàn)于教材正文，但習(xí)題2.8中出現(xiàn)，可通過實(shí)例來研究：當(dāng)一個(gè)對(duì)數(shù)式的底改變時(shí)，整個(gè)對(duì)數(shù)式會(huì)發(fā)生什么變化？例如 求log35，設(shè)log35=x，改寫成指數(shù)式，得 3x=5.在等式兩邊同時(shí)取以a(a0且a1)為底的對(duì)數(shù)，得l

25、oga 3x=loga5， 即 xloga 3=loga5. x=在這個(gè)等式中，左邊對(duì)數(shù)式的底數(shù)為3，如果將3變?yōu)閍，那么這個(gè)對(duì)數(shù)式變?yōu)榈仁接疫叺氖阶?一般地，我們有下面的換底公式： 以下給出兩種證明方法：證法一：設(shè)logbN=x，化為指數(shù)式，得bx=N.在這個(gè)指數(shù)式兩邊同時(shí)取以a為底的對(duì)數(shù)，得 即. . 即 logbN= .證法二：要證 只須證 由運(yùn)算性質(zhì)(3)，只須證. 但， 故logaN=logaN成立.對(duì)數(shù)換底公式的意義是把一個(gè)對(duì)數(shù)式的底數(shù)，換成另外的數(shù)(大于0且不等于1).這在對(duì)數(shù)式的恒等變形或計(jì)算求值中有重要作用.對(duì)數(shù)換底公式按大綱的要求，不需記憶，只供學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)參考.2.7 對(duì)數(shù)

26、函數(shù)關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)可與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系、比較，使學(xué)生更易掌握，對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，要利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究對(duì)數(shù)函數(shù)，應(yīng)該讓學(xué)生注意到：(1) 兩種函數(shù)都要求底數(shù)大于0且不等于1.(2) 定義域與值域?qū)?shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0，+)，結(jié)合圖象，對(duì)數(shù)函數(shù)在y軸左側(cè)沒有圖象，即負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，零也沒有對(duì)數(shù)，也就是真數(shù)必須大于0.這個(gè)知識(shí)可以用來求含有對(duì)數(shù)的函數(shù)的定義域(比前面求定義域的準(zhǔn)則擴(kuò)充了).(3) 通過將對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的圖象進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a1或0a1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是一致的.(即在區(qū)間(0，+)上，同時(shí)為增函數(shù)或同時(shí)為減函數(shù))(4)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，這與性質(zhì)loga1=0a0=1.(5)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，那么它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.(5) 通過對(duì)底數(shù)a的取值進(jìn)們分類討論，研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，包括函數(shù)值大小的比較也是一個(gè)課題.例1 求值：；.解：. 原式=. 例2 求值： 解：原式= = = =例3 設(shè)解：由己知 即 解之