多元統(tǒng)計分析模擬考題及答案

1、（對）1X =（X1,X2|,Xp）的協(xié)差陣一定是對稱的半正定陣（對）2標準化隨機向量的協(xié)差陣與原變量的相關系數陣相同。（ 對）3典型相關分析是識別并量化兩組變量間的關系，將兩組變量的相關關系 的研究轉化為一組變量的線性組合與另一組變量的線性組合間的相關關系的研究。（對）4多維標度法是以空間分布的形式在低維空間中再現(xiàn)研究對象間關系的數據 分析方法。（ 錯）5X =（XX2，Xp） Np（）, 口，X,S分別是樣本均值和樣本離 差陣，則X,S分別是，匕的無偏估計。n（ 對）6X =（Xi，X2 ,Xp） NpGM），X作為樣本均值的估計，是無偏的、有效的、一致的。（ 錯）7因子載荷經正交旋轉后，

2、各變量的共性方差和各因子的貢獻都 發(fā)生了變化（ 對）8因子載荷陣A=（aj）中的aij表示第i個變量在第j個公因子上 的相對重要性。（對）9判別分析中，若兩個總體的協(xié)差陣相等，則Fisher判別與距離判別等價。（對）10距離判別法要求兩總體分布的協(xié)差陣相等，F(xiàn)isher判別法對總體的分布無特定的要求。二、填空題1、多元統(tǒng)計中常用的統(tǒng)計量有：樣本均值向量、樣本協(xié)差陣、樣本離差陣、 樣本相關系數矩陣.2、設匕是總體X=（Xjl|,Xm）的協(xié)方差陣，的特征根 昭,1,川，m）與相應的單位正交化特征向量-：i =（為，厲2,川月沛），則第一主成分的表達式是yai1Xa12X+a1mXm 方差為幾1 &

3、#176;3設二是總體X二（X1,X2,X3, X4）的協(xié)方差陣，二的特征根和標準正交特征向量分別為：1 =2.920 U； =（0.1485, -0.5735, -0.5577, -0.5814）2 =1.024 U2 =（0.9544, -0.0984,0.2695,0.0824）-0.049 U3 =（0.2516,0.7733, -0.5589, -0.1624）4 =0.007U4 =(-0.0612,0.2519,0.5513, -0.7930),則其第二個主成分的表達式是y2 H0.9544X, -0.0984X2 0.2695X30.0824X4，方差為 1.0244.若X(：

4、.)Np(，1) , ( ： =1,2,，n )且相互獨立，則樣本均值向量X服從的分布是Np2, = ).n5.設Xj L Np('J,i =1,2，16 , X和A分別是正態(tài)總體的樣本均值和樣本離差陣，則 T2 =154(X)A4(X)服從T2(15,p)或F(p, n - p)-16 p106 設 XjN3C ),i =1,2,10，貝U W 八 (Xj - (Xj -)服從 W3(10f)i=17.設隨機向量= (X1,X2,X3)，且協(xié)差陣-49-2，則其相關矩陣16丿2_3381638168.設 X =(X1,X2)L,其中Cov(X1 X 2X X ) =20_9設X,Y是

5、來自均值向量為 ，協(xié)差陣為1的總體G的兩個樣品，則X, Y間的馬氏平方距離 d2(X,Y) = (X -Y)Z'(X -Y)10設X,Y是來自均值向量為 ，協(xié)差陣為3的總體G的兩個樣品，則 X與總體G的馬氏平方距離d2(X,G) =(X - JE4(X -)11設隨機向量X =(X1,X2,X3)的相關系數矩陣通過因子分析分解為12、_33*0.9340 、<0.934-0.4170.8359.128、10=-0.4170.8940.8940.447+0.02708350.447 、0.103;01)則Xi的共性方差 h2 = 0.934 2 =0.872,其統(tǒng)計意義是：描述了全

6、部公因子對變量X1的總方差所作的貢獻，稱為變量 X1的共同度，反映了公共因子對變量X1的影響程度。標準化變量 X1的方差為1，公因子fi對X的貢獻gj =0.934 2+0.417 2+0.835 2=1.74312.對應分析是將Q型因子分析和R型因子分析結合起來進行的統(tǒng)計分析方法13典型相關分析是研究兩組變量間相關關系的一種多元統(tǒng)計方法14.聚類分析中，Q型聚類是指對樣本進行聚類,R型聚類是指對 指標 進行聚類。15 Spss for windows 中 主成分 分析由 Data Reduction->FactorAnalysis過程實現(xiàn)。16 設Uk,Vk是第 k對典型變量則D(Uk

7、)=1, D(Vk)=1 (k=1,2l(,r)Cov(Ui,U j) =0,Cov(Vi,Vj)=0 (i=j)I，" = 0Cov(Ui,Vj) = 00(i = j,i =1,2,|l|,r)(U j)(j r)17.在多維標度分析中，當 D是歐幾里得距離陣時, X是D的一個構圖 三、簡答題（答案見平時習題）1簡述多元統(tǒng)計的主要內容與方法（10分）可對比一元統(tǒng)計列出多元統(tǒng)計的主要內容與方法（從隨機變量及其分布、數字特征、四大分布（正態(tài)分布密度（1分）、工2（n） 與威沙特分布Wp（nQ）（ 1分）、t分布與Hoteling T2分布（1分）、F分布 與威爾克斯分布上（p,nn2

8、）（ 1分）、抽樣分布定理、參數估計和假設檢驗、 統(tǒng)計方法（2分）2.請闡述距離判別法、貝葉斯判別法和費希爾判別法的基本思想和方法，比較其異同 3請闡述系統(tǒng)聚類法、K均值聚類法、有序樣品聚類法的基本思想和方法，比較其異同 4請闡述主成分分析和因子分析的基本思想、方法步驟和應用，比較其異同5請闡述相應分析、多維標度法、典型相關分析和多變量的可視化分析的基本思想和應 用四、計算題XL N3(,2l3), 已 知1( 00丨330 5 £5-21、+=-b解：正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)，故只需求廣1-21、廣0.5-0.5、(31、DY =D(AX +d) = ADXA" =-1

9、0=v-1 0-1J1 1 >J衛(wèi).5-0.5JE(Y) =E(AXd) =AEX d所以yL N3(E(Y), D(Y)另解：'0空-X2 +0.5X3+1 Y =AX +d =123'、-0風-0.5X3 +2故yL N3(e(y),d(y)-X2 0.5X3 1)=2E(-0.5X1 -0.5X3 2) =1D(05XX2 0.5X3 1)=3D(-05X1 -0.5X3 2) =1COV(0.5X1 -X2 0.5X3 1,-0.5X1 -0.5X3 2-12.設三維隨機向量xL N3(J二)，已知廣2-31 132,求22jY =3X1 -2X2, X 的分布解

10、：正態(tài)分布的任意線性組合仍正態(tài)，故 丫的分布是一維正態(tài)分布，只需求E(Y)=3E(XJ-2E(X2)E(X3)=13D(Y) =32E(XJ 22E(X2) E(X32Cov(3X1,2X2) 2Cov(3X1, X32Cov(X3,2 X2 9 故YU N(13,9)3設有兩個二元總體和，從中分別抽取樣本計算得到判別規(guī)則。 樣品X=(6，0)'應屬于哪個總體？假設工 二，試用距離判別法建立判別函數和解：=、_ ；. ，=，卩=:Wp = a<x - p3 = (x - p)' 1 (|ii - |13)(x - p)1 = (6,0) - (4,0.5) = (2,0.

11、5)1 ( 7,6-2A3967- 2 15'e 丿x ' G即樣品X屬于總體4設已知有兩個正態(tài)總體(112，而其先驗概率分別為qi = q2 = 0.5,誤判的代價4L(2 |1) = e , L(1|2) =e，試用貝葉斯判別法確定樣本x = "3屬于哪個總體?6解：由 Bayes 判別知，W（x） =exp（x -）十（亠-2） f2（x）其中14丿W(x) =W 兒=WM2丿<d由丿故x/屬于G2總體65表1是根據某超市對不同品牌同類產品按暢銷（1）、平銷（2）和滯銷（3）的數據,利用SPSS得到的Bayes判別函數系數表，請據此建立貝葉斯判別函數，并說

12、明如何判 斷新樣品（x1,x2,x3 ）屬于哪類？Classification Function Coefficientsgroup123x1-11.689-10.707-2.194x212.29713.3614.960x316.76117.0866.447(Con sta nt-81.843-94.536-17.449Fisher's lin ear discrim inant fun cti ons表1 Bayes判別函數系數解：根據判別分析的結果建立Bayes判別函數：Bayes判別函數的系數見表 4.1。表中每一列表示樣本判入相應類的Bayes判別函數系數。由此可建立判別函數如

13、下：Group1:Y1 二-81.843 -11.689X1 12.297X2 16.761X3Group2：Y2 二-94.536 -10.707X1 13.361X2 17.086X3Group3： Y3 二-17.449-2.194X1 4.960X2 6.447X3將新樣品的自變量值代入上述三個Bayes判別函數，得到三個函數值。比較這三個函數值，哪個函數值比較大就可以判斷該樣品判入哪一類。6.對某數據資料進行因子分析，因子分析是從相關系數陣出發(fā)進行的，前兩個特征根和 對 應 的 標 準 正 交 特 征 向 量 為=2.920 U1 -(0.1485, -0.5735, -0.5577

14、, -0.5814)，2.920 U； =(0.1485, -0.5735, -0.5577, -0.5814)(1) 取公因子個數為2，求因子載荷陣(2) 用F1F2表示選取的公因子， ；2為特殊因子，寫出因子模型，說明因子載荷陣中元素aj的統(tǒng)計意義7在一項對楊樹的形狀研究中，測定了20株楊樹樹葉，每個葉片測定了四個變量X1,X2,X3,X4分別代表葉長，葉子 2/3處寬，1/3處寬，1/2處寬，這四個變量的相關系數矩陣的特征根和標準正交特征向量分別為：1 =2.920 U1 =(0.1485, -0.5735, -0.5577, -0.5814)2 =1.024 U2 =(0.9544,

15、-0.0984,0.2695,0.0824)，3 =0.049 U3 =(0.2516,0.7733, -0.5589, -0.1624)4 =0.007U4 =(-0.0612,0.2519,0.5513, -0.7930)若按一般性原則選取主成分個數，請寫出主成分表達式，并計算每個主成分的方差貢獻率解：選取主成分的一般原則是特征值大于1或累積貢獻率達到 80%以上。據題選取兩個主成分，其表達式和貢獻率分別是：力=0.1485X1 -0.5735X2 -0.5577X3 -0.5814X4,貢獻率為=2.920y2 =0.9544X1 -0.0984X2 0.2695X3 0.0824X4,

16、貢獻率為-1.0248下表是進行因子分析的結果,試根據表中信息寫出每個原始變量的因子表達式，并分 析是否需要對因子載荷旋轉。Comp onent MatrixComponent123X1.969-1.084E-02.205X2.911.321-.102X3.847-.120.323X4.941.281-2.693E-02X5.899.215-1.963E-02X6-.313.839.305X7-.6666.280E-02.679X8.575-.580.367Extractio n Method: Prin cipal Comp onent An alysis. a 3 comp onents extracted.解：由表F1F2F3X1.969-1.