(李志超,何貞攀,齊會(huì)峰)數(shù)學(xué)建模(進(jìn)貨策略)-矩陣工作室

1、物理院數(shù)學(xué)建模大賽進(jìn)貨策略的數(shù)學(xué)模型作者：李志超；齊會(huì)峰；何貞攀2013 年 7 月 14 H進(jìn)貨策略的數(shù)學(xué)模型摘要 本文針對商店進(jìn)貨策略的問題，采用正態(tài)分布，整數(shù)規(guī) 劃，最小二乘法，貯存模型的運(yùn)用等方法。在充分考慮該店的產(chǎn)品存 貯能力，將缺貨損失減半，且進(jìn)貨次數(shù)盡可能少，得到了最優(yōu)進(jìn)貨策 略。對于問題（1）,分析問題的附錄表1數(shù)據(jù)后，我們假設(shè)該商店有 兩種進(jìn)貨方式，即周期固定進(jìn)貨模式和儲(chǔ)存雖-定進(jìn)貨模式，針對該 產(chǎn)品銷售量呈現(xiàn)的隨機(jī)性，近似周期性特點(diǎn)，我們初步將該問題假設(shè) 為正態(tài)分布模型。得到該店的進(jìn)貨策略，根據(jù)銷售零點(diǎn)的特殊意義， 推斷出銷售周期16天。那么在825天內(nèi)共進(jìn)貨52次。對于問

2、題（2）,我們充分利用數(shù)據(jù)，首先畫出日銷售量隨時(shí)間變 化的柱形圖，同時(shí)做出三類商品的銷售總量一一天數(shù)的折線圖，對圖 像進(jìn)行最小二乘法線性擬合。我們做出了該商品的銷售量分布直方 圖，在同一張圖上畫出止態(tài)分布折線圖，我們發(fā)現(xiàn)它們基本吻合。然 后確定模型中的參數(shù)。我們得到三類產(chǎn)品在該區(qū)域的市場需求即A的 日均銷售量3.0611, B的日均銷售量為4. 6424, C的日均銷售量為 7. 5055 o對于問題（3）,我們利用在問題（1）得到的三類商品的上限儲(chǔ) 存數(shù)量即A的為45, B的為75, C的為120,設(shè)定其為初始狀態(tài)，建 立馬爾科夫鏈模型，同時(shí)在設(shè)定需求量符合正態(tài)分布，求得在一個(gè)進(jìn) 貨周期內(nèi)三

3、類商品的情況：缺貨時(shí)間A1. 09缺貨量A（件）2. 67缺貨吋間B1. 16缺貨量B（件）4. 13缺貨時(shí)間C1. 02缺貨量B （件）4. 98對于問題（4）,我們假設(shè)兩種方案：即第種方案是固定周期進(jìn) 貨，第二種方案是任意一種商品缺貨。我們通過逐一求解，把結(jié)果比 較分析，然后得出進(jìn)貨策略的最優(yōu)解是當(dāng)發(fā)現(xiàn)有任何-種產(chǎn)品有缺貨 時(shí)就馬上進(jìn)貨的進(jìn)貨策略.1.問題的重述我們在理解該問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意到題屮所提到“該物的三類產(chǎn)品” 這三類產(chǎn)品是否具有聯(lián)系性，是互補(bǔ)關(guān)系還是替代關(guān)系，還是沒有聯(lián) 系性。我們?yōu)榱藛栴}的簡化，假設(shè)該物三類產(chǎn)品相互獨(dú)立。在分析問 題中，我們應(yīng)當(dāng)理解經(jīng)銷商為謀求利益最大化需要對代

4、銷品做岀相對 合理的進(jìn)貨策略。某商店取得了某物在該區(qū)域的市場經(jīng)銷權(quán)，銷售該物的三類產(chǎn) 品，附表1給出了該店過去連續(xù)800多天的三類產(chǎn)品銷售記錄。根據(jù)附表1數(shù)據(jù)，解決如下問題：1. 該店三類產(chǎn)品的進(jìn)貨策略是什么？ 800多天內(nèi)共進(jìn)了多少次 貨？2. 該三類產(chǎn)品在該區(qū)域的市場需求如何？3. 分析現(xiàn)有進(jìn)貨策略下，該店的缺貨情況（包括缺貨時(shí)間及缺 貨量）。4. 如果現(xiàn)有進(jìn)貨策略已經(jīng)充分考慮了該店的產(chǎn)品存貯能力，如何改進(jìn)進(jìn)貨策略，將缺貨損失減半，且進(jìn)貨次數(shù)盡可能少?2 問題的分析為了問題的簡化，我們忽略三類產(chǎn)品的替代性或互補(bǔ)性，假設(shè)三 類商品是相互獨(dú)立的，為了達(dá)到利潤的最大化，我們需要考慮該商店 的產(chǎn)品

5、儲(chǔ)存能力，儲(chǔ)存代價(jià)，以及缺貨造成的損失等關(guān)鍵問題。在問題(1)屮，我們在考慮進(jìn)貨策略時(shí)，必須要考慮市場需求、 儲(chǔ)存代價(jià)，缺貨影響等因?yàn)槿珍N售量具有隨機(jī)性，周期性特點(diǎn)，我 們猜想該類商品應(yīng)該呈現(xiàn)正態(tài)分布。常見的進(jìn)貨方式有兩種：一種是 固定周期進(jìn)貨，第二種是固定儲(chǔ)存量進(jìn)貨，通過對附農(nóng)數(shù)據(jù)的系列 分析我們初步假設(shè)為固定儲(chǔ)存量進(jìn)貨考慮到實(shí)際中具體問題的解應(yīng) 該是是正整數(shù)，即商品個(gè)數(shù)應(yīng)該是正整數(shù)，顯然小數(shù)解就不符合實(shí)際, 為了得到最優(yōu)整數(shù)解，我們也適當(dāng)?shù)牟捎谜麛?shù)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。在問題(2)中，市場需求需要我們從825天數(shù)據(jù)中分析，我們 做出H銷售量隨時(shí)間變化的柱形圖，如下圖我們可以看到這是i個(gè)固泄數(shù)值

6、范圍內(nèi)的隨機(jī)過程。求出該商品 的隨機(jī)概論分布的期望值E （p）0我們根據(jù)日銷售量隨時(shí)間變化的折 線圖可知：該地區(qū)在過去2年屮日銷售量變化在一定數(shù)值范圍內(nèi)，我 們就假設(shè)該商品處于供貨平衡狀態(tài)，即我們可以用平均日銷售量約等 于日均需求量。在問題（3）中，我們假設(shè)我們在問題（1）中得出進(jìn)貨策略的結(jié) 論：當(dāng)三類產(chǎn)品屮任意兩種以及兩種以上岀現(xiàn)缺貨時(shí)開始進(jìn)貨。我們 建立馬爾科夫鏈模型，設(shè)定在一個(gè)周期內(nèi)求缺貨時(shí)間和缺貨量，其中 定義：感（尺” > 幾）=£ £（心 >d 2 =非（Q = 01=0=£（心 G）1=0T = LR/825;厶Q = 825 f 0-皿

7、（氏"比（幺=丿）1-0 J1-H我們根據(jù)上式將個(gè)周期中缺貨狀況分析清楚，進(jìn)而得到該店的缺貨 狀況。在問題（4）中，我們假設(shè)兩種方案：（1）任意一種商品缺貨時(shí) 就馬上進(jìn)貨的進(jìn)貨方式（2）固定周期進(jìn)貨。為了比較三種方案的優(yōu) 缺點(diǎn)，我們需要將他們的缺貨吋間和缺貨量計(jì)算出來。我們根據(jù)計(jì)算 結(jié)果得出結(jié)論：如果想減少缺貨損失，應(yīng)選擇任意一類產(chǎn)品儲(chǔ)存量為 0是立即進(jìn)貨的策略，并且我們應(yīng)當(dāng)設(shè)定每類商品的儲(chǔ)存下限，最好 與最大H銷售量一致。當(dāng)然這回導(dǎo)致我們進(jìn)貨次數(shù)的增加。如果要減少進(jìn)貨次數(shù)，應(yīng)當(dāng)采用固定周期的進(jìn)貨策略。3. 模型的假設(shè)及符號的說明模型假設(shè):1) 該三類商品銷售量頻數(shù)成正態(tài)分布。2)

8、在自然條件下，我們?nèi)惿唐啡珍N售量保持隨機(jī)性，周期 性。3) 該產(chǎn)品的日存儲(chǔ)量符合馬爾科夫鏈模型，既狀態(tài)無后效性 具有特點(diǎn)。4) 該商店儲(chǔ)存三類商品均有上限5) 商店在進(jìn)貨時(shí)，視進(jìn)貨為瞬間完成.符號的說明，如下表：Sx (n)第n天該商品x的銷售量Cx (n)第n天該商品x的儲(chǔ)存量Qx (n)第n天該商品x的需求量Fx (n)商品x的儲(chǔ)存量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系矩陣Zx商品x的儲(chǔ)存上限u概率分布模型中的日均銷售量o2概率分布的方差E (p)概率分布的期望值4. 模型的建立與求解問題（2）模型建立與求解鑒于進(jìn)貨策略與市場需求呈現(xiàn)密切相關(guān)聯(lián)系，我們先對問題（2）建立模型并求解。用mat lab繪制日銷售量

9、隨時(shí)間變化的圖像，如下圖 在這個(gè)圖中，可以直觀看到，三類商品在2年內(nèi)的日銷售量均在一定 數(shù)值內(nèi)隨機(jī)變化。即將此模型定義為供求平衡狀態(tài)。則可以得到如下 等式：我們對其屮一段截取分析，如下圖平均需求量平均銷售量設(shè)定這一隨機(jī)概率分布的期望值E(p),E(p)為日均銷售量的平均值,Q-n天總銷售量；n為銷售天數(shù)(n二1、2、3 ), G為常量。則定義 n天總銷售量的線性模型：二E(p)*n+ Cx其中 E(p) = n*/7M = n*P(2=n) o分別計(jì)算A, B, C我們得到市場需求為：廠 ±000 = 2.764.00Y) £ QbW = 4.64/? - 41.09A&#

10、163;( = 7.50/1-18.05問題（1）模型建立與求解:我們對于兩種進(jìn)貨方式（一是周期固定，二是儲(chǔ)存固定進(jìn)貨） 充分考慮，為了簡化模型，假設(shè)進(jìn)貨方式為儲(chǔ)存固定進(jìn)貨。首先觀察 附錄表1數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)銷售零點(diǎn)的特殊含義，即銷售零點(diǎn) 它有兩個(gè)含義：一是當(dāng)日銷售量為零，二是如果銷售零點(diǎn)連續(xù)出現(xiàn)則 表示該商品缺貨。利用excel表格對附表數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，找到商品的銷售零點(diǎn),C11一 ©h 1ABCDE1銷售量2銷售日期A銷售量B銷售量C銷售量併肖售零點(diǎn)天數(shù)間隔紅色標(biāo)記C3643501465140126519102016192320171933701819415012693206

11、203310353350111354 151I o431239714011339826017144153 _30321544721028164756201174762503218508220139196474107206540702121675330122676120123677250然后我們按我們假定的進(jìn)貨口期Z間差分，觀察數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)，這些 差分之間可以分為兩類，一類以7為近似公約數(shù)，而另一類以16為 近似公約數(shù)，因此我們判斷進(jìn)貨策略應(yīng)該不滿足周期固定。同時(shí)有數(shù)據(jù)可觀察到，兩個(gè)相差不多的時(shí)間段里銷售量近似相等，所 以我們據(jù)此判斷該商店的進(jìn)貨策略應(yīng)該是滿足儲(chǔ)存量固定進(jìn)貨，但進(jìn) 貨周期會(huì)在某個(gè)

12、值T上下波動(dòng)，通過對數(shù)據(jù)的分析，我們初步假設(shè)T 約等于7或者16.然后我們進(jìn)一步計(jì)算在C的兩個(gè)銷售零點(diǎn)間A,B,C 三類產(chǎn)品的銷售總量，得到下面的表格為三類產(chǎn)品的頻數(shù)直方圖與正 太密度函數(shù)的擬合圖像。AB頻數(shù)遼方圖與正態(tài)分布密度函數(shù)（擬合）0.080.160.140.120.060.040.020C頻數(shù)直方圖與正態(tài)分布密度函數(shù)（擬合）C我們觀察圖像發(fā)現(xiàn)，各個(gè)商品的擬合程度較好，可以將它假設(shè)該模型 為正太分布模型。觀察數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)圖表中C中的120 （時(shí)間段長為17） ,240 （時(shí) 間段長為34）這幾個(gè)數(shù)值近似成比例岀現(xiàn)，而且它們對應(yīng)的時(shí)間段 也成近似成比例，如下圖是商品C銷售總量隨時(shí)間段長的

13、變化曲線。AB I-CDEF I1対應(yīng)日期時(shí)間段長D A的銷售總量B的銷售總量C的銷售總量266-1941293575719463195-3201263405909574321-35434881502405355-3984411622534263994151745651207416-44732851502318448-47629901462169477-508328115023910509-647139391653105611&48-654723485912655-6772362961811314根據(jù)上面這些，我們在T近似等于7和16中進(jìn)一步猜想T應(yīng)該更近似于16,也就是說實(shí)際進(jìn)貨周期

14、在16天上下波動(dòng)，與T對應(yīng)的銷售量分別為分別是A:45, B:75, C:120,再聯(lián)系到我們之前的假設(shè)儲(chǔ)存量固定模型，可以進(jìn)一步判斷A, B和C的貯存上限即Zf45,Zf75,Zc=120.又有附農(nóng)數(shù)據(jù)可知，銷售記錄中存在很多次某產(chǎn)品銷售量長時(shí) 間為0的情況，所以我們據(jù)此判斷A, B和C的貯存情況應(yīng)該不是相 互獨(dú)立的，而且上表中45,120以及150,240成對出現(xiàn)，我們假想進(jìn) 貨條件應(yīng)滿足A, B和C產(chǎn)品中至少有兩種產(chǎn)品缺貨.問題(3)模型建立與求解對于商店的產(chǎn)品儲(chǔ)存變化我們建立如下的差分方程模型：對于產(chǎn)品A:SA (n) = CA(n-l)- CA(n)不需要進(jìn)貨SA (n) =ZA需要

15、進(jìn)貨對于產(chǎn)品B:SB (n) =CB (n-l)-CB(n)不需要進(jìn)貨SB(n)二Zb需要進(jìn)貨對于產(chǎn)品C:Sc(n)=Cc(n-l)-Cc(n)不需要進(jìn)貨Sc (n)二 Zc需要進(jìn)貨我們對上式變形得到：Cx (n) =Cx (n-1) - Sx (n)由上式可以推斷出，該商店進(jìn)貨條件依賴于當(dāng)天的儲(chǔ)存量和上限，根據(jù)馬爾科夫鏈模型：如果已知狀態(tài)An,那么代入馬科鏈?zhǔn)郊矗篈m 二P*An（X -（x_甲 、 其中 P= （Xn + 1 I Xn）= （x）= 1/VIFcr j e 2a' dy 嚴(yán)丿那么我們根據(jù)上式知道商店的進(jìn)貨條件依賴于轉(zhuǎn)移概率以及當(dāng)天的儲(chǔ)存量。也即商品的第二天儲(chǔ)存量S（

16、K）與當(dāng)天的儲(chǔ)存量和轉(zhuǎn)移概率直接相關(guān)。我們假設(shè)商店的初始儲(chǔ)存量為三商品的儲(chǔ)存上限：Za二45, Z尸75,ZSc二120.設(shè)定馬爾科夫鏈?zhǔn)?；即Poo PozP 二 Pzo-Pzz >設(shè)定應(yīng)該在一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算缺貨情況，聯(lián)系問題（2）屮建立的需求量的正態(tài)分布的概率分布模型：結(jié)合上式可以將缺貨情況計(jì)算出來，下農(nóng)是該結(jié)果缺貨時(shí)間A1. 09缺貨量A（件）2. 67缺貨時(shí)間B1. 16缺貨量B （件）4. 13缺貨時(shí)間C1. 02缺貨IftB （件）4. 98問題（4）的模型建立和求解現(xiàn)在的進(jìn)貨策略是任意兩類商品缺貨立即進(jìn)貨，在此基礎(chǔ)上提出 另外進(jìn)貨模型：第一種是任意一種缺貨立即進(jìn)貨，第二種周期固

17、定進(jìn) 貨。定義評價(jià)進(jìn)貨策略的原則為缺貨情況和進(jìn)貨次數(shù)，即缺貨時(shí)間和 缺貨量和進(jìn)貨次數(shù)。定義如下：min Ti廠V mink=ljfliin Lx= 2&)-5(k)yU3廠 0(Qx(K)>Dx(K)其中Y(K)二y1 (Qx (K) <DX (K)5. 模型的檢驗(yàn)：問題(1)模型的檢驗(yàn)：我們經(jīng)過把每一個(gè)問題的模型代入附表 數(shù)據(jù)中一個(gè)一個(gè)檢驗(yàn)，商品A, B和C的貯存量和附表數(shù)據(jù)高度一致, 只有極個(gè)別數(shù)據(jù)例外，在允許誤差的情況下，我們判斷該模型適合用 于解決這類問題。問題(2)模型的檢驗(yàn)：我們通過對商品銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪 制銷量頻數(shù)圖，通過mat lab作圖發(fā)現(xiàn)，它與止態(tài)分

18、布曲線擬合程度 非常高，所以選擇正態(tài)分布模型是很合理的。問題(3)模型的檢驗(yàn)：在日貯存量狀態(tài)獨(dú)立的前提條件下我們 建立了馬爾可夫鏈的模型。通過前面問題對概率分布的求解，可以很 容易解得缺貨時(shí)間和缺貨量，在對附表數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列處理，兩者進(jìn) 行比較發(fā)現(xiàn)，在不可避免的誤差范圍內(nèi)，數(shù)據(jù)的吻合度還是比較高的。問題(4)模型的檢驗(yàn)：通過先提出假設(shè)進(jìn)貨策略，然后運(yùn)用前 述問題的方法根據(jù)附衣數(shù)據(jù)逐一求解，列出衣格很直觀就能找到符合 缺貨損失減半，進(jìn)貨次數(shù)盡量減少的進(jìn)貨策略。前面問題所建模型均 為合理模型，所以在這些模型的前提下所選擇的進(jìn)貨策略也是最優(yōu)的6. 模型的評價(jià)與改進(jìn)：模型的優(yōu)點(diǎn)：問題(2)模型的建立我

19、們采用了計(jì)算機(jī)軟件擬合的方法對數(shù)據(jù) 進(jìn)行處理，繪制了銷量頻數(shù)圖，并且用猜想模型止態(tài)分布模型進(jìn)行擬 合，發(fā)現(xiàn)兩者高度吻合，所以采用了這個(gè)模型，這樣一來就有效的減 少了很多運(yùn)算中的誤差。問題(3)模型的建立，我們通過觀察數(shù)據(jù)的特征及其性質(zhì)，選 擇了馬爾可夫模型，通過模型的檢驗(yàn)證明這個(gè)選擇是很不錯(cuò)的，擬合 程度非常好，而且這個(gè)模型易于用mat lab求解，所以所產(chǎn)生的誤差 也是很小的。問題(4)模型的求解是在原有進(jìn)貨策略下進(jìn)行的，通過對可能 進(jìn)貨策略的假想并逐一求解它們的缺貨時(shí)間和缺貨量，列出表格相互 比較對照，得岀最優(yōu)進(jìn)貨策略。模型的缺點(diǎn)：在假設(shè)中我們假設(shè)進(jìn)貨都是瞬間完成的，未考慮進(jìn)貨時(shí)間。而且

20、模型的建立有的是通過計(jì)算機(jī)模擬擬合的，所以難免會(huì)存在誤差。模型的改進(jìn)：時(shí)間允許的情況下可以多用兒個(gè)模型進(jìn)行擬合，求岀最優(yōu)的擬合 模型。而且有些問題的考慮可以在詳細(xì)些。參考文獻(xiàn)：1 蘇淳.概率論.北京：科學(xué)出版社，2004 .2 姜啟源.數(shù)學(xué)模型(第三版).北京：高等教育出版社， 2003. 8.3 陳恩水，王峰.數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn).北京：科學(xué)出版社，20084 周品，趙新芬.MATLAB數(shù)學(xué)建模與仿真M.北京：國防工 業(yè)出版社，2009.附錄：附錄1：商品A、B、C正態(tài)分布的擬合程序。a=cumsum(A);b=cumsum(B);c=cumsum(C);p二polyfit (D, a, 1) ;

21、%D 為自然數(shù)序列subplot (3,1, 1)hold onplot (D, a);plot (D,polyval(p, D),' H );hold offq二polyfit (D, b, 1);subplot (3,1, 2)hold onplot(D,b);plot (D,polyval(q,D),' r)；hold offr二polyfit (D, c, 1);subplot (3,1,3)hold onplot(D,c);plot (D,polyval(r,D),' r)；hold off附錄2：商品A、B、C的銷售量頻數(shù)分布直方圖程序subplot (2,

22、2,1)nr4 二 unique(A);hist(A,nr a);subplot (2,2,2)nrb 二 unique (B);hist (B, nrb);subplot(2,2, 3)nrc 二 unique (C);hist (C, nrc);附錄3：商品A、B、C頻數(shù)直方圖與正態(tài)分布密度函數(shù)(擬合)曲線mu, sigma二normfit(A);y, x二hist (A, 25);bar(x, y,' FaceColor"， b','EdgeColor,， w');box offxlim (mu3*sigma, mu+3*sigma)a2=axes;ezplot ( (x) normpdf (x, mu, sigma)，mu-3*sigma, mu+3