三角形四心向量形式的結(jié)論及證明附練習(xí)答案

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過(guò)課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、 垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下：一. 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1）O是的重心；若O是的重心，則故；為的重心.2）O是的垂心；若O是（非直角三角形）的垂心，則故3）O是的外心（或）若O是的外心則故4）O是內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記的單位向量為，則剛才o是內(nèi)心的充要條件可以寫(xiě)成：O是內(nèi)心的充要條件也可以是若O是的內(nèi)心，則故；的內(nèi)心；向量所在直線過(guò)的內(nèi)心（是的角平分線所在直線）：二. 范例（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1O是平面上

2、的一定點(diǎn)，A.B.C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）（A）外心（E）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為，又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP 平分，那么在中，AP平分，則知選B點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印彖當(dāng)然是“新穎、陌生3首先是什么？沒(méi)見(jiàn)過(guò)！想想，一個(gè)非零向量除以它的模不就 是單位向量？此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角 平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問(wèn)題也沒(méi)有。（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平

3、面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)H是厶ABC的垂心.由同強(qiáng)，故H是 ABC的垂心.（反之亦然（證略）例3（湖南）P是 ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是AABC的（D ）A.夕匸心E內(nèi)心C重心D.垂心解析:由.即則所以P為的垂心.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí)將 三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識(shí)乃妙結(jié)合。變式：若H為AAEC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)H是 ABC的垂心證明：同理，故H是厶ABC的垂心（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0點(diǎn)G是厶ABC

4、的重心.證明作圖如右，圖中連結(jié)EE和CE,則CE=GE, BE=GCBGCE為平行四邊形D是EC的中點(diǎn)，AD為EC邊上的中線.將代入=0,得=0,故G是 ABC的重心.（反之亦然（證略）例5. P是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)G是厶ABC的重心.證明6是厶ABC的重心=0=0,即由此可得.（反之亦然（證略）例6若為內(nèi)一點(diǎn)，則是的（）A .內(nèi)心B .外心 C .垂心 D .重心解析：由得，如圖以O(shè)E、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，貝IJ,由平行四邊形性質(zhì)知I,同理可證其它兩邊上的 這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D。點(diǎn)評(píng)：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中

5、線的內(nèi) 分點(diǎn)，所分這比為。本題在解題的過(guò)程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性 質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式：已知分別為的邊的中點(diǎn).貝I.證明：變式引申：如圖4,平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點(diǎn)，則.證明：，點(diǎn)評(píng)：（1）證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則.（2）若與重合，則上式變0.（四）.將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若為內(nèi)一點(diǎn)”則是的（）A.內(nèi)心 E外心 C.垂心 D.重心解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故是的外心，選E。點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。（五）將平面向量與

6、三角形四心結(jié)合考查例8已知向量”滿足條件+=0, |=|=|=1，求證 AP1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下人 復(fù)習(xí)參考題五E組第6題） 證明由已知+=兩邊平方得同理=,從而AP1P2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形AP1P2P3的中心，則顯然有卄=0且|HH|.即O是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，卄=0且|=|冃|點(diǎn)O是正 P1P2P3的中心.例9.在厶ABC中,己知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=l:2o【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A（0,0） B （xl,0）x C（x2,y2）, D、E

7、、F分別為AB、EC. AC的中點(diǎn)，則有：由題設(shè)可設(shè),即，故Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG： GH=1： 2【注】：本例如果用平面幾何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都相當(dāng)麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形式, 將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對(duì)稱(chēng)、共線、共點(diǎn)、垂直 等問(wèn)題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10.若O、H分別是 ABC的外心和垂心.求證證明若厶ABC的垂心為H,外心為O,如圖.連EO并延長(zhǎng)交外接圓于D,連結(jié)AD, CD.，又垂心為H,AAH/7CD, CHAD,四邊形AHCD為平行四邊形，故.著名的歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心

8、”一外心、重心.垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為夕垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心 距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題.例11 設(shè)O. G、H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.求證證明按重心定理G是厶ABC的重心按垂心定理由此可得.三、與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用例1： （2003年全國(guó)高考題）是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡一定通過(guò)厶ABC的（）（A）外心（E）內(nèi)心（C）重心（D）垂心事實(shí)上如圖設(shè)都是單位向量

9、易知四邊形AETF是菱形故選答案B例2： （2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）為 AEC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果，則O必為址（3的（）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實(shí)上OE丄CA故選答案D例3：已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)O是三角形ABC的（）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實(shí)上由條件可推出故選答案D例4：設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、E、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)厶ABC的（）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實(shí)上 故選答案D例5： 2005年全國(guó)（I）卷第15題“的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點(diǎn)為，

10、則實(shí)數(shù)=先解決該題：作直經(jīng)，連，有，故，故是平行四邊形，進(jìn)而，又 故，所以評(píng)注：外心的向量表示可以完善為：若為的外心，為垂心，貝IJ。其逆命題也成立。例6.已知向量,，滿足條件卄=0, |=|=|=1,求證：AP1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五E組第6題）證明：由已知+=-,兩邊平方得=,同理=,|=|=|=,從而A P1P2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形AP1P2P3的中心，則顯然有卄=0且|HH|,即O是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn), 卄=0且|=H點(diǎn)O是正 P1P2P3的中心四、練習(xí)1. 已知A、E、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足=（卄

11、2），則點(diǎn)P 一定為三角形 ABC 的（B）A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)分析：取AB邊的中點(diǎn)貝嘰由=（卄2）可得3,，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過(guò)重心。2. 在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：2+2=2+2=24-2,則0為厶AEC的（D ）A.外心E.內(nèi)心 C.重心 D.垂心3. 已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、E、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：，則P為AABC的（C）A.外心B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心4已知O是平面上一定點(diǎn)，A、E、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足: ,則P的軌跡一定通過(guò) ABC的（C）B.內(nèi)心 C.

12、重心 D.垂心5.己知 ABC,A.外心6.己知 ABC,A.外心A外心P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：，則P點(diǎn)為三角形的（D）B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心D.垂心P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的（E） B.內(nèi)心 C.重心則P點(diǎn)一定通過(guò) ABC的（E ） D.垂心7.在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足A.外心B.內(nèi)心 C.重心8非零向量與滿足什）=0且=，則 ABC為（D）D等邊三角形A 三邊均不相等的三角形 B 直角三角形C等腰非等邊三角形解析：非零向量與滿足（） =0,即角A的平分線垂直于EC, AAB=AC,又=,ZA=,所以 ABC為等邊三角形.9. A ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,則實(shí)數(shù)m=l10. 點(diǎn)O