1.2.1余弦定理

1、余弦定理時間：45分鐘 滿分：100分一、選擇題（每小題5分，共35分）1.在 ABC中，B = n,三邊長a, b, c成等差數(shù)列，且ac= 6,則b的值是（A.V2C.V5【答案】B.V3D.&【解析】由條件 2b= a + c,. 4b2 = a2 + c2+ 2ac= a2 + c2 + 12,F r a2 + c2- b21 a2+c2- b2又cosB =飛廠, 212a2 + c2 = 6 + b2,4b2 = 18+ b2,.b= /6.2.在 ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，設(shè)向量 m=(b-c, c-a), n= (b, c+a),若 m丄n,則角 A

2、 的大小為()nA.6nB.3nC.2D. 3【答案】T m± n,. m n= b(b c) + (c- a)(c + a)=b2- bc+ c2 a2= 0,b2+ c2- a21- cosA=2bc = 2,【解析】T 0<A< n, A= n3.在 ABC 中，已知 b= 4/3, c= 2（3, A= 120° 則 a 等于（）B. 6D. 215+ 辭A. 2問C. 2佰或6【答案】A【解析】由余弦定理得a2= b2 + c2 2bccosA= 48+ 12 2X4/31X 2羽 X （ 2）= 84,.a = 2/21.L94.在 ABC 中，若

3、AB=V5, AC = 5,且 cosC =,則 BC 為（）C. 4 或 5【答案】C【解析】設(shè) BC = X,則 5= x2 + 25 2 5 x 0,即 X2 9x+ 20= 0, 解得x= 4或x= 5.5. （2013 天津理）在ABC 中，/ ABC= AB=迄，BC= 3,則BAC=（）八VicA. 10B血B 5C 3/10C. 10D會【答案】C【解析】本題考查了余弦定理、正弦定理.sin/由余弦定理得 AC2= AB2 + BC2 2ABX BC（：0寸,二 AC2= 2+ 9 2XX 3X=5， AC=/5,由正弦定理，sAB=sBA，3X電.sinA_ BCsinB_=

4、更sinA= AC =遠(yuǎn)=10 .6. (2013陜西理)設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b,c,若 bcos C+ ccos B = asin A,則 ABC 的形狀為()A .銳角三角形B .直角三角形C.鈍角三角形D .不確定【答案】 B【解析】本題考查正弦定理.由正弦定理得sinBcosC + sinCcosB=sin2A，所以，sin(B+ C)= sin2A,. sinA= sin2A,而 sinA>0,. sinA=1, A= n，所以 ABC是直角三角形.【點(diǎn)評】 解三角形問題，要注意正、余弦定理的變形應(yīng)用，解題思想有兩個：一是角化邊，二是邊化角.7. （

5、2013安徽文）設(shè) ABC的內(nèi)角A, B,C所對邊的長分別為a,b, c若 b+ c= 2a,3sinA= 5sinB,則角 C=(A n代3B.2nC.f 5nD. 6【答案】【解析】本題考查了三角形的余弦定理、正弦定理.由 3sinA= 5sinB 得 3a= 5b, b + c= 2a.57a2+ b2 c2 a= 3b，c=3b，cosC=20(卽)2 + b2(3b)212.52 3b b23兀.二、填空題(每小題5分，共15分)8在 ABC 中，a= 1, b= 1, C= 120° 貝J c=.由余弦定理知 c2= a2+ b2 2abcosC= 1 + 1 + 1 =

6、 3.二 c【答案】【解析】=©9.在 ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a, b, c.若其面積S=i(b2 + c2 a2)，貝J A=【答案】【解析】TS= 4(b2 + c2 a2),又 S= 2bcsinA1 o o o 1二4(b2 + c2 a2) = 2bcs inA,結(jié)合余弦定理有cosA=氣b2 = sinAtanA= 1,又 0v Avn,10.在ABC中，三個角 A、B、C的對邊邊長分別為 a= 3、b=4、c=6,貝J bccosA + cacosB + abcosC 的值為.【答案】612【解析】bccosA+ cacoSB + abcosCC.=bcb

7、2<F -因?yàn)閎<c,所以B為銳角.所以B = 30°.以下同解法一.【點(diǎn)評】 在解三角形時，要注意“等邊對等角”，“大邊對大角”這兩個結(jié)論的應(yīng)用.12. （15分）（2013江西文）在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知 sinAsinB + sinBsinC+ cos2B= 1.(1)求證：a, b, c成等差數(shù)列;若c=2n求b的值【解析】思路分析：(1)由條件及正弦定理可證結(jié)論(1), (2)由(1) + ca百 + aFb2 + c2a2+a2+ c2 b2+a2+ b2 c2 a2 + b2+ c2 612= y.三、解答題(共50分

8、，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或11. （15 分）在 ABC 中，已知 b= 5, c= 5/3, A= 30° 求 a, B,【解析】解法一：由余弦定理，得a2= b2 + c2 2bccosA=25+ 75 2X 5X 5羽25所以a= 5.由余弦定理，得cosBa2 + C2 b2 25+ 75 257543。2ac= 2x5x5逅=50/3= 2 .因?yàn)?B （0 ° 180 ），所以 B =30°.由 A+B+ C= 180°得 C= 180° A B= 180° 30°-30°= 120

9、6;.綜上知，a = 5, B = 30°C= 120°.解法二：由解法一知1a = 5,由正弦定理，得sinB=詈=菩及余弦定理可求出a的值.解：（1）由已知得 sinAsinB+ sinBsinC=2sin Ct cE = c云I |C目|cosc = 2ab,又 CTt C弓=4,.ab= 8.又 a+ b = 6,由余弦定理知 c2 = a2+ b2 2abcosC = （a+ b）2 3ab=12, c= 2/3.B,因?yàn)?sinBM 0,所以 sinA+ sinC=2sinB.由正弦定理，有a + c= 2b，即a, b, c成等差數(shù)列.2 n由 C=3"，c= 2b a及余弦定理得（2b a）2= a2+ b2 + ab,a 3即有 5ab 3b2= 0,所以b= 5.【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換及正弦定理，是