第二章_大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組_圖文

1、數(shù)值天氣預(yù)報(bào)第二章大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組蘭州大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院數(shù)值天氣預(yù)報(bào)數(shù)值天氣預(yù)報(bào)：在給定的初始條件和邊界條件下，數(shù)值求解大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組，有已知的初始時(shí)刻的大氣狀態(tài)預(yù)報(bào)未來(lái)時(shí)刻的大氣狀態(tài)。構(gòu)建數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的方程組要根據(jù)大氣運(yùn)動(dòng)所遵循的基本物理規(guī)律給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并進(jìn)行必要的相應(yīng)簡(jiǎn)化。大氣運(yùn)動(dòng)遵循牛頓第二定律、質(zhì)量守恒定律、熱力學(xué)能量守恒定律、氣體實(shí)驗(yàn)定律和水汽守恒定律，它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別稱(chēng)為動(dòng)量方程、連續(xù)方程、熱力學(xué)方程、狀態(tài)方程和水汽方程等。此外在實(shí)際的數(shù)值預(yù)報(bào)和模擬中還可以針對(duì)實(shí)際的問(wèn)題，給出其他相應(yīng)的預(yù)報(bào)方程，比如污染物方程，各種水質(zhì)方程等。 前面給出的大氣動(dòng)量方程是以矢量的形

2、式給出的，在實(shí)際的數(shù)值預(yù)報(bào)過(guò)程中，需要把這種矢量形式的方程展開(kāi)成相應(yīng)的標(biāo)量形式的方程組。在實(shí)際的氣象學(xué)研究和數(shù)值模擬及預(yù)報(bào)中，物理量個(gè)別變化首先是以L(fǎng)argrange形式表示的，這樣的表示主要是針對(duì)氣體微團(tuán)來(lái)進(jìn)行的。然而在實(shí)際的應(yīng)用中并不方便，主要是由于通常我們對(duì)于大氣中各種物理量的觀(guān)測(cè)是固定在觀(guān)測(cè)點(diǎn)上的，并不是針對(duì)氣體微團(tuán)來(lái)進(jìn)行的，因此需要把各種預(yù)報(bào)方程在相應(yīng)的坐標(biāo)系中展開(kāi)。與通常采用笛卡爾坐標(biāo)系的方法不同，在大氣科學(xué)中，通常采用球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系以及局地直角坐標(biāo)系等曲面正交坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行理論研究和進(jìn)行數(shù)值天氣預(yù)報(bào)。球坐標(biāo)系中的基本方程組實(shí)際地球是一個(gè)橢球體，其半徑在赤道和極地相差22公里。這

3、個(gè)差值比地球半徑小得多，因而氣象上一般都把地球當(dāng)作球體，其平均半徑為6371公里。設(shè)表示經(jīng)度，為緯度，r 是以地心為原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)位置向量。由直接坐標(biāo)轉(zhuǎn)換或借助于普遍的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)都可以推導(dǎo)出球坐標(biāo)中標(biāo)量形式的運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)方程:球坐標(biāo)系中的大氣方程組球坐標(biāo)系：大氣是圍繞地球運(yùn)動(dòng)通常采用球坐標(biāo)作為坐標(biāo)系。( , , r 分別是在球面上點(diǎn)P 的經(jīng)度、緯度和地心指向P 點(diǎn)的長(zhǎng)度，相對(duì)應(yīng)的單位矢量分別為與緯圈相切指向東、與經(jīng)圈相切指向北以及和地表面相垂直指向天頂。需要注意的是：這三個(gè)單位矢量隨著在地球面上的位置不同而方向不同。利用球坐標(biāo)描述大氣運(yùn)動(dòng)最為適宜，但運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)方程比較復(fù)雜。因此出了研究全球

4、范圍的大氣運(yùn)動(dòng)采用球坐標(biāo)外，一般多采用局地直角坐標(biāo)系。 局地直角坐標(biāo)系對(duì)短期預(yù)報(bào)，在不太大的水平范圍(例如1、2千公里 內(nèi)，可以略去地球此率的影響。令a cos d =dx , ad =dy這相當(dāng)于采用了一個(gè)新的坐標(biāo)系，它的原點(diǎn)在觀(guān)測(cè)點(diǎn)，x 軸自該點(diǎn)指向正東，y 軸指向正北，z 軸指向天頂(垂直向上 。在這種定義下，顯然對(duì)不同的觀(guān)測(cè)點(diǎn)，坐標(biāo)軸的方向是不同的。這種坐標(biāo)稱(chēng)為局地直角坐標(biāo)系或簡(jiǎn)稱(chēng)局地直角坐標(biāo)系。局地直角坐標(biāo)中，運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)方程的形式為: 地圖投影在進(jìn)行天氣分析或數(shù)值天氣項(xiàng)報(bào)時(shí)，需要用天氣圖來(lái)填繪觀(guān)測(cè)到的或計(jì)算出來(lái)的氣象資料，推導(dǎo)大氣運(yùn)動(dòng)方程組時(shí)，水平方向上經(jīng)常采用直角坐標(biāo)(x，y,

5、 如果用差分方法求數(shù)值解，一般取正方形網(wǎng)格；這些都要求把地球這一球面上的氣象要素表示在一個(gè)平面上。因此我們要研究怎樣將球面投影在平面上、這種投影的性質(zhì)、投影圖上大氣運(yùn)動(dòng)方程組的形式以及如何計(jì)算地圖投影放大系數(shù)等。一、基本概念地圖投影就是假設(shè)將地球表面投影到一個(gè)簡(jiǎn)單的曲面上，如平面、圓錐面或圓柱面上，這種曲面稱(chēng)為投影面或映象面。將曲面沿某一經(jīng)線(xiàn)展成平面，稱(chēng)為映象平面。投影面上的圖形(即投映面在幾何形狀、長(zhǎng)度、面積等方面與實(shí)際球面上的相應(yīng)圖形不可能全都一致。距離保持不變的投影稱(chēng)為等距投影。兩條交線(xiàn)之間的夾角保持不變的投影叫做正形投影或保角投影。 普遍曲線(xiàn)正交坐標(biāo)系中的方程組地球自轉(zhuǎn)角速度在X ，Y

6、 和Z 方向的分量分別為：如下為曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的方程組：數(shù)值模式的初值條件和邊值條件前面給出的是數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的一般方程，對(duì)某個(gè)特定時(shí)間的預(yù)報(bào)而言還需要給出定解條件。（1）初值條件：初始時(shí)刻氣象要素的空間分布v =v 0+at 要確定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任意時(shí)可的速度，必須知道v 0 其中=(u,v,w,p,T,q 等模式需要預(yù)報(bào)的氣象要素。如何確定初始條件，將在第四章、 第八章中詳細(xì)介紹。 邊值條件：上下邊界、內(nèi)邊界、側(cè)邊界(3 水平（側(cè)）邊界條件：對(duì)于中尺度或者區(qū)域模式，由于模式是建立在一個(gè)大氣中有限的區(qū)域內(nèi)，因此，在模式的水平邊界處，需要有邊界條件。詳細(xì)內(nèi)容在第四章介紹。(4 內(nèi)邊界條件：大氣內(nèi)部經(jīng)常會(huì)

7、出現(xiàn)氣象要素的過(guò)渡帶或者不連續(xù)面，例如鋒面和逆溫層、海洋和大氣的界面等，在這種情況下有關(guān)氣象要素的梯度是不連續(xù)的，此時(shí)運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)方程都會(huì)失去意義，這時(shí)一般把這種不連續(xù)面看成大氣的內(nèi)邊界。前面我們給出了進(jìn)行數(shù)值預(yù)報(bào)的閉合方程組及其相應(yīng)的初、邊值條件。從理論上來(lái)說(shuō)，就可以采用數(shù)值的方法進(jìn)行求解。然而，在實(shí)際的大氣數(shù)值模擬（預(yù)報(bào)）制作過(guò)程中還需要考慮到很多實(shí)際的問(wèn)題，比如在Z 坐標(biāo)系中，如何獲得各個(gè)等高面的氣象資料？等高面和地形相交后出現(xiàn)的側(cè)邊界問(wèn)題如何處理？在局地直角坐標(biāo)系中，如何保證球面的距離與局地直角坐標(biāo)系中的距離更加接近，變形更少？在實(shí)際的數(shù)值求解中如何保證它穩(wěn)定有效的數(shù)值積分？等等問(wèn)題

8、必須在構(gòu)建數(shù)值模式的時(shí)候進(jìn)行很好的處理。大氣模式的垂直坐標(biāo)變換一方面，由于模式需要上下邊界；另一方面，不同的模式物理過(guò)程需要在不同垂直坐標(biāo)下描述。因此，不同坐標(biāo)系之間經(jīng)常需要相互轉(zhuǎn)換。其中，一個(gè)主要的轉(zhuǎn)換是垂直坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。垂直坐標(biāo)變換主要是對(duì)局地直角坐標(biāo)系的方程組進(jìn)行相應(yīng)的展開(kāi)處理。由于局地直角坐標(biāo)系中的方程是利用幾何高度Z 作為垂直坐標(biāo)的，因此，對(duì)于各種氣象場(chǎng)的分析只能在等高面上來(lái)進(jìn)行，因此它的適用性并不高。一般的數(shù)學(xué)變換是純粹的幾何變換，并不涉及物理內(nèi)容。由于在大氣科學(xué)中選取氣象要素作為垂直坐標(biāo)，因此這種變換不僅應(yīng)該滿(mǎn)足數(shù)學(xué)上的一些要求，也應(yīng)該滿(mǎn)足物理上的要求。 坐標(biāo)系中的方程組靜力方程

9、水平運(yùn)動(dòng)方程利用靜力方程，氣壓梯度力可以改寫(xiě)成：上式表明坐標(biāo)系中的水平氣壓梯度力是由兩項(xiàng)組成的，在地形陡峭的地區(qū)， 兩項(xiàng)的近似計(jì)算為：這兩項(xiàng)的數(shù)值都很大，但其符號(hào)相反，因此在地形陡峭的地區(qū)，坐標(biāo)系中的水平氣壓梯度力是兩個(gè)大值的小差，難于精確計(jì)算。這說(shuō)明，采用坐標(biāo)系中使得模式的下邊界變得非常簡(jiǎn)單，但它并沒(méi)有解決處理地形問(wèn)題存在的困難，而是把P 坐標(biāo)系中下邊界難于處理的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為水平氣壓梯度力的精確計(jì)算問(wèn)題。在實(shí)際的數(shù)值預(yù)報(bào)中，可以采用靜力扣除法或者先在等壓面上計(jì)算氣壓梯度力，然后在把它插值到等面上去等方法來(lái)處理。 坐標(biāo)系中的方程組連續(xù)方程這個(gè)連續(xù)方程不再是一個(gè)診斷方程，它與P 坐標(biāo)系的連續(xù)方程相

10、比變得更為復(fù)雜。但在實(shí)際的數(shù)值模式設(shè)計(jì)中，它卻是一個(gè)非常有用的方程，不僅可以預(yù)報(bào)地面的氣壓傾向，也可以用來(lái)診斷各個(gè)等面上的垂直速度。垂直速度方程 熱力學(xué)方程狀態(tài)方程在實(shí)際的數(shù)值模擬實(shí)踐中，還需要把預(yù)報(bào)方程改寫(xiě)成相應(yīng)通量形式的方程，這種通量形式的方程易于構(gòu)造守恒的差分格式，也便于討論大氣中的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。坐標(biāo)系中通量形式的方程通過(guò)利用連續(xù)方程和動(dòng)量方程、熱量方程、水汽方程，很容易得到。坐標(biāo)系的下邊界條件非常簡(jiǎn)單，也便于討論地形對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)的影響。但是，前面提到，坐標(biāo)系中的水平運(yùn)動(dòng)方程變得相對(duì)比較復(fù)雜，在地形陡峭的地區(qū)，氣壓梯度力很難精確計(jì)算。隨著數(shù)值天氣預(yù)報(bào)理論研究的進(jìn)展和技術(shù)的進(jìn)步，這個(gè)問(wèn)題逐步

11、得到改善。盡管坐標(biāo)系存在一些問(wèn)題，但它仍然是數(shù)值天氣預(yù)報(bào)常用的一種坐標(biāo)系，為其他追隨地形坐標(biāo)系的建立，提供了非常重要的指導(dǎo)作用。氣候模式方程組數(shù)值模式在短期天氣預(yù)報(bào)中取得了顯著的進(jìn)展。開(kāi)始嘗試建立適合于長(zhǎng)期數(shù)值積分的模式用于氣候預(yù)測(cè)和試驗(yàn)。由于氣候系統(tǒng)具有向外源適應(yīng)的特征，一些在天氣尺度模式（中尺度模式）中顯得不重要，時(shí)間尺度較長(zhǎng)的物理過(guò)程則必須在氣候模式中描述。因此，氣候模式需要對(duì)氣候系統(tǒng)各個(gè)子系統(tǒng)中的物理過(guò)程進(jìn)行描述的同時(shí)，也要考慮它們之間復(fù)雜的相互作用，因此氣候模式較短期和中期天氣預(yù)報(bào)模式而言，需要考慮更多的因子。目前的氣候模式主要包含了大氣、海洋這兩個(gè)流體系統(tǒng)，并考慮了陸面等過(guò)程。早期

12、的氣候模式稱(chēng)為大氣環(huán)流模式GCM，其中大氣模式稱(chēng)為AGCM（Atmospheric General Circulation Model，美國(guó)的Community Atmosphere Model-CAM），海洋模式稱(chēng)為OGCM（Oceanic General Circulation Model），陸面模式為L(zhǎng)SM（Land Surface Model）等，全部考慮在內(nèi)的模式稱(chēng)為耦合模式CGCM（Coupled General Circulation Model ）。第一個(gè)大氣環(huán)流模式是Phillips（1956）構(gòu)造的，模式采用了準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程組來(lái)作為基本的方程組，并利用該模式進(jìn)行大氣環(huán)流方面的模

13、擬研究。此后大氣環(huán)流模式得到了快速的發(fā)展，在模式中不斷引進(jìn)有關(guān)邊界層、平流層、比較細(xì)致的大氣氣溶膠輻射效應(yīng)以及水汽相變等有關(guān)的物理過(guò)程。大氣環(huán)流模式的基本方程組中有關(guān)的模式離散化方法、守恒格式的設(shè)計(jì)、物理過(guò)程參數(shù)化等的基本思路和中尺度模式一致在A(yíng)GCM 中，Phillips 提出的坐標(biāo)系，非常有利于描述復(fù)雜大地形對(duì)氣候系統(tǒng)的影響。AGCM 的模式方程組如下：目前世界各國(guó)的GCM 采用的垂直 坐標(biāo)形式較多。GCM 模式需要考慮 的物理過(guò)程非常復(fù)雜，尤其是目前發(fā) 展的氣候系統(tǒng)模式CSM（Climate System Models）。但在實(shí)際的研 究過(guò)程中，根據(jù)研究的對(duì)象，也可采 用一些簡(jiǎn)化的氣候模式進(jìn)行有關(guān)的數(shù) 值試驗(yàn)。簡(jiǎn)化的氣候模式 主要包括能量平衡模式、輻射對(duì)流模 式、統(tǒng)計(jì)動(dòng)力模式等。 小結(jié) 1 大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組包含兩個(gè)水平運(yùn)動(dòng)方程、靜 力平衡方程、狀態(tài)方積、連續(xù)方程、熱力學(xué)方程和 水汽方程。它們?cè)诓煌钠阶鴺?biāo)和垂直坐標(biāo)里可以 展開(kāi)成不同的標(biāo)量形式。 2 數(shù)值天氣預(yù)報(bào)中常用的水平坐標(biāo)有球坐標(biāo)和局地 直角坐標(biāo)。后者是由前者簡(jiǎn)化而來(lái)的。