扭轉(zhuǎn)劉鴻文2011課件

1、 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 園軸扭轉(zhuǎn)橫截面上切應(yīng)力計算公式。園軸扭轉(zhuǎn)橫截面上切應(yīng)力計算公式。 園軸扭轉(zhuǎn)變形的計算。園軸扭轉(zhuǎn)變形的計算。 扭轉(zhuǎn)變形構(gòu)件的強(qiáng)度與剛度條件。扭轉(zhuǎn)變形構(gòu)件的強(qiáng)度與剛度條件。 難點(diǎn)難點(diǎn) 園軸扭轉(zhuǎn)變形的計算。園軸扭轉(zhuǎn)變形的計算。 扭轉(zhuǎn)變形構(gòu)件的強(qiáng)度與剛度條件。扭轉(zhuǎn)變形構(gòu)件的強(qiáng)度與剛度條件。 3-1 -1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 機(jī)器的傳動軸、水輪發(fā)電機(jī)的主軸、石油鉆機(jī)中的機(jī)器的傳動軸、水輪發(fā)電機(jī)的主軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿、橋梁及廠房等空間結(jié)構(gòu)中的某些構(gòu)件等，扭轉(zhuǎn)是鉆桿、橋梁及廠房等空間結(jié)構(gòu)中的某些構(gòu)件等，扭轉(zhuǎn)是其主要變形之一。其主要變形之一。扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)的

2、的變形特征變形特征：桿件的任意橫截面都發(fā)生繞桿件軸線：桿件的任意橫截面都發(fā)生繞桿件軸線 的相對轉(zhuǎn)動。的相對轉(zhuǎn)動。扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)的受力特征受力特征 ：在桿件的兩端作用兩個大小相等、：在桿件的兩端作用兩個大小相等、 轉(zhuǎn)向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶。轉(zhuǎn)向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶。MM 軸軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動軸、 石油鉆機(jī)中的鉆桿等。對稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽對稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽工工程程實(shí)實(shí)例例傳動軸傳動軸汽車傳動軸汽車傳動軸汽車轉(zhuǎn)向軸汽車轉(zhuǎn)向軸FFm工程實(shí)例工程實(shí)例水輪機(jī)主軸水輪機(jī)主軸機(jī)床中的軸機(jī)床中的軸tWP tsM M602 nM外加

3、力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系功率功率功功時間時間力偶矩力偶矩角位移角位移角速度角速度每分鐘每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)數(shù)min)/(2)(60rnKWPM)(550. 9mKNnP3-2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖mkN024.7nPM用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的扭矩，從而繪制出表示扭矩與截面位置關(guān)系的圖線，稱為扭矩圖扭矩圖。 右手螺旋法則右手螺旋法則：當(dāng)力偶矩矢的指向離開截面時扭矩為 正，反之為負(fù)。mxTmxT 例題例題3-1 傳動軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速 n = 300r/min ，主動輪輸入的功率為有 PA =

4、 36 kW 。若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為 PB =PC = 11 kW及PD = 14 kW。試畫出軸的扭矩圖。ABCDPAPBPCPDn解解:計算外力偶矩計算外力偶矩mN11469550nPmAeAN.m446N.m350eDeCeBmmmAABCDm1m2m3m4最大扭矩在最大扭矩在 CA段內(nèi)。段內(nèi)。mN700maxTT圖：單位：圖：單位：Nm+3507004463507001146不合理布置不合理布置習(xí)題習(xí)題1 圖示傳動軸上，經(jīng)由A輪輸入功率10KW，經(jīng)由B、C、D輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪的位

5、置更換放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII經(jīng)由經(jīng)由A、B、C、D輪傳輪傳遞的外力偶矩分別為遞的外力偶矩分別為解：解：)(3183. 030010549. 9549. 9mKNnPMAA)(7 .6330029549549. 9mNnPMBB),( 5 .95mNMC),(2 .159mNMD扭矩扭矩Mn-圖圖7 .63（-）2 .1592 .159（+）)(2 .159max,mNTn（在（在CA段和段和AD段）段） 習(xí)題習(xí)題 傳動軸如圖所示，主動輪傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率輸入功率PA=50kW，從動，從動輪輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=

6、20kW，軸的轉(zhuǎn)，軸的轉(zhuǎn)速速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩，并畫出扭矩圖。，計算各輪上所受的外力偶矩，并畫出扭矩圖。 MAMBMCBCADMD解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩mN6379550mN5 .4779550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩圖如圖所示。作扭矩圖如圖所示。 3-3 純剪切純剪切 薄壁圓筒的壁厚 d遠(yuǎn)小于其平均半徑 r0 （即 ） 100rd薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時其任一橫截面 上的內(nèi)力是一作用在該橫截面上的力偶，該內(nèi)力偶稱作扭矩 T。由內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系可知，橫截面上的應(yīng)力只能是。薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)預(yù)先

7、在圓筒的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。圓周線保持不變；縱向線發(fā)生傾斜觀察到的現(xiàn)象設(shè)想薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)后，橫截面保持為形狀，大小均無改變的平面，相鄰兩橫截面繞圓筒軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力mmABCD圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)動的角位移，稱為動的角位移，稱為 ，用，用 表示。表示。圓筒表面上每個格子的直角的圓筒表面上每個格子的直角的改變量，稱為改變量，稱為 切應(yīng)變切應(yīng)變。用。用 表示表示 。由設(shè)想推知由設(shè)想推知圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切，圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切，且數(shù)值相等。近似的認(rèn)為沿壁厚方向且

8、數(shù)值相等。近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無變化。各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無變化。TtrrdArrdAAA)2(000于是由靜力關(guān)系，得到于是由靜力關(guān)系，得到，A0為以薄壁圓筒平均半徑為以薄壁圓筒平均半徑 r0 所作圓的面積所作圓的面積。rA200引入引入得到得到t t2 20 0lrdxtABCD t t2 20 0lr薄壁圓筒切應(yīng)力計算公式薄壁圓筒切應(yīng)變計算公式薄壁圓筒切應(yīng)力計算公式推倒過程薄壁圓筒切應(yīng)力計算公式推倒過程二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理單元體單元體：微小的正六面體：微小的正六面體o dydzdxxyz 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理：兩個：兩個 相互垂直平面上的剪應(yīng)力相互

9、垂直平面上的剪應(yīng)力和和數(shù)值數(shù)值相等，且都指向（或背離）該兩平面的交線。又稱為相等，且都指向（或背離）該兩平面的交線。又稱為切應(yīng)力雙生切應(yīng)力雙生定理定理。注意注意：上述定理具有普遍意義，在有正應(yīng)力的情況下同樣成立。：上述定理具有普遍意義，在有正應(yīng)力的情況下同樣成立。 純剪切狀態(tài)純剪切狀態(tài)：單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應(yīng)：單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的狀態(tài)。（其前后兩面上無任何應(yīng)力）力而無正應(yīng)力的狀態(tài)。（其前后兩面上無任何應(yīng)力） 在扭轉(zhuǎn)時，左右兩側(cè)面（桿的橫截在扭轉(zhuǎn)時，左右兩側(cè)面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，方向與面）上只有切應(yīng)力，方向與y軸平行，軸平行，前后無應(yīng)力。前

10、后無應(yīng)力。由平衡知：由平衡知：=該式稱為材料的 G 稱為材料的 。其單位是 Pa。G剪切胡克定律剪切胡克定律 只有在剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例只有在剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時才適用。即材料在線彈性范圍內(nèi)工作。極限時才適用。即材料在線彈性范圍內(nèi)工作。三、切應(yīng)變?nèi)?、切?yīng)變 剪切胡克定律剪切胡克定律三個材料常數(shù)的關(guān)系為三個材料常數(shù)的關(guān)系為12EGdxdydzxyzabd(a) 純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能假設(shè)單元體左側(cè)固定，因此變假設(shè)單元體左側(cè)固定，因此變形后右側(cè)將向下移動形后右側(cè)將向下移動 dx。因?yàn)橐驗(yàn)?很小，所以在變形過程很小，所以在變形過程中上，下兩面上的外力將不作中上

11、，下兩面上的外力將不作功。只有右側(cè)面的外力功。只有右側(cè)面的外力( dydz)對相應(yīng)的位移對相應(yīng)的位移 dx 作了功。作了功。 dx當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時，上述力與位移成正比，因時，上述力與位移成正比，因此，單元體上外力所作的功為此，單元體上外力所作的功為)(21)(21dxdydzdxdydzdW四、剪切應(yīng)變能四、剪切應(yīng)變能21dxdydzdWdVdWdVdVu 比能為比能為G將將代如上式得代如上式得GGu222221 uAlVudAdxudVV等直圓桿扭轉(zhuǎn)時應(yīng)變能的計算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時應(yīng)變能的計算GGu2222 PAPAPlAlGIlTdAITGldAdxGIT

12、dAdxGV2)(22)(222222IGlmP22 V PPGImlGITl將將代入上式得代入上式得22lGIVP3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力從三個方面考慮：幾何、物理及靜力學(xué)方面從三個方面考慮：幾何、物理及靜力學(xué)方面預(yù)先在圓桿的表面畫上等間距預(yù)先在圓桿的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子一系列的正方格子 。試驗(yàn)結(jié)果：試驗(yàn)結(jié)果： 等直圓桿扭轉(zhuǎn)變形后，兩圓周等直圓桿扭轉(zhuǎn)變形后，兩圓周線繞桿件的軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個線繞桿件的軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度角度，兩圓周線的形狀和大小均未兩圓周線的形狀和大小均未改變改變; 在變形微小的情況下，縱向在變

13、形微小的情況下，縱向線則傾斜了一個角度線則傾斜了一個角度 。1、幾何方面、幾何方面 ：假設(shè)橫截面象剛性平面一樣地繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。假設(shè)橫截面象剛性平面一樣地繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。aabAO1O2TTdx(a)DDb 傾角傾角 是橫截面圓周上任一是橫截面圓周上任一點(diǎn)點(diǎn) A 處的切應(yīng)變，經(jīng)過半徑處的切應(yīng)變，經(jīng)過半徑 O2D 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) G 的的縱向線縱向線EG 也傾斜了一個角度也傾斜了一個角度 它也就它也就是橫截面半徑上任一點(diǎn)是橫截面半徑上任一點(diǎn) E 處處的的切應(yīng)變切應(yīng)變 。GEGdd是是 b-b 截面相對于截面相對于截面象剛性平面一截面象剛性平面一軸轉(zhuǎn)動的一個角度。軸轉(zhuǎn)動的一個角度。aa樣繞桿樣繞

14、桿dxdEGGGtan 此時式說明此時式說明 ： 同一同一半徑半徑 圓周上各點(diǎn)切應(yīng)圓周上各點(diǎn)切應(yīng)變變 均相同均相同 ，且其值與，且其值與 成正比。成正比。dxd(a)aabAO1O2TTdx(a)DbEGd此時式說明此時式說明 ： 同一半徑同一半徑 圓周上圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力各點(diǎn)切應(yīng)力 均相同均相同 ，且其值與，且其值與 成正比成正比 ， 垂直與半徑。垂直與半徑。由剪切胡克定律由剪切胡克定律G(b)dxdGG得得(c)整個橫截面上的內(nèi)力元素整個橫截面上的內(nèi)力元素dA的合力必等于零，并組成一個的合力必等于零，并組成一個力偶這就是橫截面上的扭矩。力偶這就是橫截面上的扭矩。dAdAro(b)T2、物理方

15、面、物理方面 3、靜力學(xué)方面、靜力學(xué)方面 TdAdxdGATdAdxdGA2TdAA dxdGGPAIdA 2IPGTdxd（35）PIT（36）dAdAro(b)TPIT（36）上式為等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面上式為等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力計算公式上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力計算公式PAIdA 2稱為橫截面的稱為橫截面的 極慣性矩極慣性矩式中：式中：T為橫截面上的扭矩；為橫截面上的扭矩； 為求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離：為求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離：dAdAro(b)TdAdAro(b)TrIWPt稱作稱作抗扭截面模量抗扭截面模量，單位為，單位為mm3或或m3。（1） 橫截面周邊各點(diǎn)處，切應(yīng)力橫截面

16、周邊各點(diǎn)處，切應(yīng)力將達(dá)到最大值。圓心處的將達(dá)到最大值。圓心處的切應(yīng)力為零。切應(yīng)力與切應(yīng)力為零。切應(yīng)力與 成正比。且垂直于半徑。指向成正比。且垂直于半徑。指向與與T的轉(zhuǎn)向一致。分布圖如圖的轉(zhuǎn)向一致。分布圖如圖 b 所示。所示。tPPWTrITITrmax（3-7）說明：說明：PITmax（2） 公式只適用于符合平面假設(shè)的等直圓桿在線彈性范公式只適用于符合平面假設(shè)的等直圓桿在線彈性范圍以內(nèi)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計算圍以內(nèi)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計算極慣性矩及抗扭截面模量的計算極慣性矩及抗扭截面模量的計算實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面 ：dod圖圖 3-10 (a)(2ddA 3242ddAIAP 16232234ddddIrIW

17、PPt (3-8)（3-9） APdAI2(b)Ddo空心圓截面空心圓截面 ：其中其中DdddAIAAP 322)()(43441162322 DDdDDIrIWPPt)()(4-1323244DD d d- -4 4（3-10）（3-11）等直圓桿扭轉(zhuǎn)時，桿內(nèi)各點(diǎn)均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。其強(qiáng)度條件應(yīng)該是橫截面上的最大工作切應(yīng)力 max 不超過材料的許用切應(yīng)力 ，即等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的最大工作切應(yīng)力 max 發(fā)生在最大扭矩所在橫截面（又叫危險截面危險截面）的周邊上的任一點(diǎn)處，其強(qiáng)度條件應(yīng)該以這些點(diǎn)（又叫危險點(diǎn)危險點(diǎn)）處的切應(yīng)力依據(jù)，即max 根據(jù)上述條件，可以解決三個方面的問題 （1）強(qiáng)度校核強(qiáng)度校

18、核 （2）截面設(shè)計截面設(shè)計 （3）確定許可荷載maxtWT傳動軸傳動軸AB例題32 由無縫鋼管制成的汽車傳動軸AB，外徑D90mm，壁厚d2.5mm，材料為45鋼。使用時的最大扭矩為T1.5kNm。如材料的=60MPa，試校核AB軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。解：計算抗扭截面模量3943m1029400116944. 0DWDdtMPa51maxtWT校核軸的強(qiáng)度所以AB軸滿足強(qiáng)度條件。傳動軸傳動軸AB例題33 如把上例中的傳動軸改為實(shí)心軸，要求它與原來的空心軸強(qiáng)度相同，試確定其直徑，并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。解：當(dāng)兩軸的最大切應(yīng)力同為時，兩軸的許可扭矩分別為 43231111616DTDWTtm0531.

19、 0mm1 .53944. 01mm9014331DD式中，D1為實(shí)心軸的直徑，若兩軸的強(qiáng)度相等，則T1應(yīng)與T2相等，于是有24-211m1022.24DA實(shí)心軸橫截面面積為24-222m10.8764dDA空心軸橫截面面積為31. 012AA在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比：rIWPt稱作稱作抗扭截面模量抗扭截面模量，單位為，單位為mm3或或m3。tPWTITmaxmaxPIT實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面 ：324dIP163drIWPt空心圓截面空心圓截面 ：44132dIP43116drIWPtmaxmaxtWTABC(a)mAmBmC習(xí)題習(xí)題 如圖所示階梯圓軸，

20、AB段的直徑d1 =120 mm ，BC段的直徑d2 = 100 mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩為mA = 22 kNm，mB = 36 kNm ，mC =14 kNm 。已知材料的許用切應(yīng)力 = 80MPa，試校核該軸的強(qiáng)度。解：作軸的扭矩圖（圖解：作軸的扭矩圖（圖b)雖然 T1 T2 ，但是d1 d2 ，因此要分別核該兩段軸的強(qiáng)度MPa84.6416)12. 0(1022163331111max1dTWTMPa3 .7116)1 . 0(1014163332222max2dTWT因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。+2214(b)單位：單位：KNm因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圓筒。分別按薄壁圓筒和空心圓軸設(shè)計

21、因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圓筒。分別按薄壁圓筒和空心圓軸設(shè)計薄壁圓筒設(shè)計薄壁圓筒設(shè)計Ddd d設(shè)平均半徑 R0=(d+)/2d d 202 RT d dd dTd22 d dd dd dTdd22223PamNmm63232331080105210100101002 d dd dd dmm7 . 3d d空心圓軸設(shè)計空心圓軸設(shè)計 PWTmax4416dDDWP d d2 dD 4416dDDT01081 . 010516108064346PamDmNDPa mmD7 .1072dDd d21007 .107mmmmmm85. 3當(dāng)R0/10時，即可認(rèn)為是薄壁圓筒習(xí)題習(xí)題 一內(nèi)徑d=10

22、0mm的空心圓軸如圖示，已知圓軸受扭矩T=5kNm，許用切應(yīng)力=80MPa，試確定空心圓軸的壁厚。習(xí)題習(xí)題 一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強(qiáng)度計算）。解：解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑分別為設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別為外徑分別為d1 、 D1 ，最大許可扭矩為最大許可扭矩為1)1 (16)1 (16434311DTDT828. 222/3311DDTT)5 . 01 (42)5 . 01 (422221DD21DD3-5 圓軸扭

23、轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形作桿的剛度計算 解扭轉(zhuǎn)超靜定問題研究等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形的目的dxGITdlPl等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角來度量的公式是 計算等直圓桿相對扭轉(zhuǎn)角等直圓桿相對扭轉(zhuǎn)角的依據(jù)。PGITdxd其中d代表相距為 dx 的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角。因此，長為 l 的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角可按下式計算對于同一材料制成的等直桿常量(G，IP) 當(dāng)只在兩端受一對外力偶作用時，從上式可得PGITlPnGIlMPGITdxdGIP 稱為稱為抗扭剛度抗扭剛度。PGITl單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角：在工程中，對于扭轉(zhuǎn)桿的剛度通常用：在工程中，對于扭轉(zhuǎn)桿的剛度通常用相

24、對扭轉(zhuǎn)角沿桿長度的變化率來度量。相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長度的變化率來度量。IP 稱為稱為極慣性矩極慣性矩；單位：；單位：m4。T 稱為稱為扭矩扭矩；單位：；單位：Nml 為桿長；單位：為桿長；單位：m。 稱為稱為 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角；單位：；單位：rad，弧度。，弧度。 單位扭轉(zhuǎn)角；單位：單位扭轉(zhuǎn)角；單位：rad/m180PGIT 單位扭轉(zhuǎn)角；單位：單位扭轉(zhuǎn)角；單位：O/m等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的剛度條件是等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的剛度條件是 稱作稱作許可許可單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角。m)rad(maxmaxPGIT )m(1800maxmaxPGIT 根據(jù)機(jī)器要求、軸的工作條件確定。 可查手冊。精密機(jī)器軸： = （ 0

25、.15 0.30 ）/m一般傳動軸： = （ 0.30 .0 ）/m精度不高的軸： = （ .0 . ）/m max例題 34 圖為某組合機(jī)床主軸箱內(nèi)第4軸的示意圖。軸上有、三個齒輪，動力由5軸經(jīng)齒輪輸送到4軸，再由齒輪和帶動1、2和3軸。1和2軸同時鉆孔，共消耗功率0.756kW；3軸擴(kuò)孔，消耗功率2.98kW。若4軸轉(zhuǎn)速為183.5r/min，材料為45鋼，G80GPa。取40MPa， ，試設(shè)計直徑。4 43 31 12 25 5 mGTD0295. 01803242maxmN3 .39IIMmN1555 .18398. 29549IVMmN3 .194IIIMmN155maxT tWTm

26、axmax m0272. 0163maxTD maxmax180PGIT解：計算齒輪上外力偶矩為最大扭矩為由強(qiáng)度條件得為由剛度條件得為了同時滿足強(qiáng)度和剛度要求，選定軸得直徑D30mm。 m/5 . 1m1m2m3lABlACBC12A習(xí)題習(xí)題 圖示傳動軸系鋼制實(shí)心圓截面軸。已知：m1 =1592 Nm， m2 = 955 N m ，m3 = 637 Nm。截面 A與截面B、C之間的距離分別為lAB = 300mm和lAC = 500mm。軸的直徑d =70mm，鋼的剪變模量為G =80GPa。試求：截面C對截面B的對扭轉(zhuǎn)角。 ABPABABGIlT1與與m2轉(zhuǎn)向同轉(zhuǎn)向同AC解解 ：繪制扭矩圖。

27、：繪制扭矩圖。假設(shè)假設(shè)A截面不動，截面不動，先分別計算截面先分別計算截面B、C對截面對截面A的相對扭的相對扭轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 AB 和和 AC 。+-955637T 圖（單位：圖（單位：Nm）rad1052. 107. 03210803 . 0955349radGIlTPACAC34921069. 107. 03210805 . 0637與與m3轉(zhuǎn)向同轉(zhuǎn)向同再計算截面 C 對截面 B 的相對扭轉(zhuǎn)角 BCradABACBC41071 .轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)向與 m3 相同相同習(xí)題習(xí)題 如圖所示階梯軸。外力偶矩M10.8KNm， M22.3KNm， M31.5KNm，AB段的直徑d14cm，BC段的直徑d27cm。已

28、知材料的剪切彈性模量G80GPa，試計算AB和AC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0m1M2M3M1d2dABC32411dIP 41 .25 cm32422dIP4236cm111PABGILT rad0318. 0222PBCGILT rad0079. 0BCABAC radrad0079. 00318. 0rad0239. 0解：由例題解：由例題 3-1 得得1615162111611634343 DDDWt)()(1615323213244444 DDdDIP)()(Tmax=9.56kN m現(xiàn)計算現(xiàn)計算 Wt 和和P例題 3-6 在例題 3-1 中的傳動軸 是由 45 號鋼制成

29、的空心圓截面軸，其內(nèi)外徑之比為 = 1/2。鋼的許用切應(yīng)力 = 40MP，切變模量為 G = 80GPa ，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角 = 0.3 /m 。試按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇軸的直徑。+4.789.566.37mmTD10910401516956016)1 (163634max滿足滿足 所必需的外徑所必需的外徑180)1 (3218044maxmaxmaxDGTGITP)1 (1643maxmaxDTWTt解得解得滿足滿足 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 所必需的外徑由所必需的外徑由mmGTD5 .1253 . 01180161532108095601180)1 (324944max空心圓軸外徑不應(yīng)小于空心

30、圓軸外徑不應(yīng)小于 125.5 mm ，內(nèi)徑不應(yīng)小于，內(nèi)徑不應(yīng)小于62.75 mm 。在此題中，控制截面尺寸的是剛度條件在此題中，控制截面尺寸的是剛度條件。解得解得習(xí)題習(xí)題 長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：繪制扭矩圖設(shè)計桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD代入數(shù)值得：D 0.0226m。40NmxT2mm20Nm/m 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT180maxmaxP

31、GIT 89. 1)1 (108018040324429D右端面轉(zhuǎn)角為：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP習(xí)題習(xí)題 空心傳動軸，輪1為主動輪，力偶矩M19KNm，輪2、輪3、輪4為從動輪,力偶矩分別為M24KNm，M33.5KNm，M41.5KNm。已知空心軸內(nèi)外徑之比d/D1/2，試設(shè)計此軸的外徑D，并求出全軸兩端的相對扭轉(zhuǎn)角24。G80GPa，60MPa。5kN1.5kN4kN5005001M2M3M4M50043116 DWP maxTWP max43116TD 34max116TDmmD78mmd39PGILT2121 rad007

32、34. 0PGILT1313 rad00917. 0PGILT3434 rad00275. 034132124 rad00458. 0解：解：dxdydzxyzabd圖圖3-13(a)3-6 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能 純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能假設(shè)單元體左側(cè)固定，因此變假設(shè)單元體左側(cè)固定，因此變形后右側(cè)將向下移動形后右側(cè)將向下移動 dx。因?yàn)橐驗(yàn)?很小，所以在變形過程很小，所以在變形過程中上，下兩面上的外力將不作中上，下兩面上的外力將不作功。只有右側(cè)面的外力功。只有右側(cè)面的外力( dydz)對相應(yīng)的位移對相應(yīng)的位移 dx 作了功。作了功。 dx當(dāng)材料在線彈

33、性范圍內(nèi)內(nèi)工作當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時，上述力與位移成正比，因時，上述力與位移成正比，因此，單元體上外力所作的功為此，單元體上外力所作的功為)(21)(21dxdydzdxdydzdW21dxdydzdWdVdWdVdV 比能為比能為G將將代如上式得代如上式得GG222221AlVdAdxdVV等直圓桿扭轉(zhuǎn)時應(yīng)變能的計算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時應(yīng)變能的計算GG2222PAPAPlAlGIlTdAITGldAdxGITdAdxGV2)(22)(222222IGlmP22 V PPGImlGITl將將代入上式得代入上式得22lGIVP3-7 等直非圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形等直非圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形等直非

34、圓桿，如圖所示矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生 翹曲 而不再是平面。等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面雖發(fā)生翹曲翹曲，但當(dāng)?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時，其相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同。橫截面上仍然只有剪應(yīng)力而沒有正應(yīng)力。這一情況稱為純扭轉(zhuǎn)純扭轉(zhuǎn)?；蜃杂膳まD(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)。與圓截面桿比較與圓截面桿比較 、 兩系數(shù)可由表兩系數(shù)可由表 查得。查得。b為為矩形截面的短邊尺寸矩形截面的短邊尺寸。 本節(jié)只討論橫截面為矩形的本節(jié)只討論橫截面為矩形的等直非圓桿純扭轉(zhuǎn)時的情形等直非圓桿純扭轉(zhuǎn)時的情形角點(diǎn)切應(yīng)力等于零角點(diǎn)切應(yīng)力等于零 邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力沿切線方向邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力沿切線方向最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 發(fā)生在長邊

35、中點(diǎn)發(fā)生在長邊中點(diǎn)Tmax 1 tWTmax 3bWttGIT 4bIt max1 若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，則相鄰兩橫截面的翹曲程度不同則相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，這將這將在橫截面上引起附加的正應(yīng)力。這一情在橫截面上引起附加的正應(yīng)力。這一情況稱為況稱為約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)。矩形截面的應(yīng)力分布見圖。矩形截面的應(yīng)力分布見圖。習(xí)題習(xí)題 已知鉆探機(jī)桿的外徑D =60mm，內(nèi)徑d =50mm，功率P =7.35kW，轉(zhuǎn)速n =180r/min，鉆桿入土深度L=40m，G =80GPa，=40MPa。設(shè)土壤對鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的，試求：（1）單位長度上土壤

36、對鉆桿的阻力矩M；（2）作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)行強(qiáng)度校核；（3）求A、B兩截面相對扭轉(zhuǎn)角。MAlBABnPT31055. 9Nm390單位長度阻力矩LTM mNm40390mNm75. 9PWTmax 16605016010390433 MPa7 .17 lPABGIdxxT0 MxxTxLTdxGIlxTlPAB0 2lGITP21050601080403903212449 rad148.0)(xTxT-習(xí)題習(xí)題 一內(nèi)徑為d、外徑為D=2d的空心圓管與一直徑為d的實(shí)心圓桿結(jié)合成一組合圓軸，共同承受轉(zhuǎn)矩Me。圓管與圓桿的材料不同，其切變模量分別為G1和G2，且G1=G2/2，假設(shè)兩桿扭轉(zhuǎn)變形時無

37、相對轉(zhuǎn)動，且均處于線彈性范圍。試問兩桿橫截面上的最大切應(yīng)力之比1/2為多大？并畫出沿半徑方向的切應(yīng)力變化規(guī)律。dD 1 2eM21因兩桿扭轉(zhuǎn)變形時無相對轉(zhuǎn)動21 222111PPIGLTIGLT221121PPIGIGTT22112122PPIdTIDT dDITITPP1221221GG1習(xí)題習(xí)題：圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的許用剪應(yīng)力=40MPa，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角 =0. 8/m，剪切彈性模量G=80GPa。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：畫扭矩圖解：畫扭矩圖.)( MPad213016108

38、WT233t22.)( MPad23616103WT133t1114 . 018000222mGITP69. 018000111mGITP習(xí)題習(xí)題 某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率P1 = 500 馬力， 輸出功率分別 P2 = 200馬力及 P3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？解：圖示狀態(tài)下,扭矩如 圖，由強(qiáng)度條件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024KN.m 4.21KN.mm)(kN024. 7

39、nPm16 31TdWt mm801070143702416163631.Td 32 4 GTdIp由剛度條件得：mm4 .741108014. 3180421032 3249242 GTdmm841108014. 3180702432 3249241 GTd mm75 mm8521 d,d綜上：全軸選同一直徑時 mm851 dd 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才 為 75mm。Tx 4.21KN.m2.814KN.m習(xí)題習(xí)題 已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑

40、之比 = 0.5。二軸長度相同。求: 實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。解：首先由軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸7 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaxxPMMWd31616 716 20 045m=45mm40 10.dd20.5D2=23 mmmax234221640MPa1xxPMMWD324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.D確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAAD2d2

41、d1P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：計算各軸的功率與轉(zhuǎn)速M(fèi)x1=T1=1114 N.mMx2=T2=557 N.mMx3=T3=185.7 N.m 16.54MPaPa1070111416E9-31P1maxWMx .69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWMx .98MPa12Pa1053718516C9-33P3max.WMxd1D1d2d3C軸軸D2H軸軸ABE軸軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題1 1、根據(jù)變形、根據(jù)變形相容條件相容條件建立變形幾何方程建立變形幾何

42、方程2 2、寫出、寫出扭轉(zhuǎn)角計算公式（扭轉(zhuǎn)角計算公式（物理關(guān)系物理關(guān)系），代入），代入變形幾何方程變形幾何方程從而得從而得補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程3 3、補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立，即可求解、補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立，即可求解求解步驟：求解步驟：CmabABl12例題例題6-5兩端固定的圓截面兩端固定的圓截面桿桿AB，在截面，在截面 C 處受一個扭處受一個扭轉(zhuǎn)力偶矩轉(zhuǎn)力偶矩m 的作用，如圖所的作用，如圖所示。已知桿的抗扭剛度示。已知桿的抗扭剛度 GIP，試求桿兩端的支反力偶矩。試求桿兩端的支反力偶矩。CmabABl12ACB12mmAmB解解：去掉約束，代之以支反力偶矩去掉約束，代之以支反力偶矩00

43、 mmmmBAx所以，這是所以，這是一次超靜定問題一次超靜定問題，須建立一個須建立一個補(bǔ)充方程。補(bǔ)充方程。桿的桿的變形相容條件變形相容條件是，是，C 截面相對于截面相對于兩固定端兩固定端 A 和和 B 的相對扭轉(zhuǎn)角相等。的相對扭轉(zhuǎn)角相等。BCAC 變形幾何方程變形幾何方程由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程PBPBCGIbmGIbT 2PAPACGIamGIaT 1bammAB 代入幾何方程的補(bǔ)充方程代入幾何方程的補(bǔ)充方程ACBC bammAB 聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)充方程即可解得支充方程即可解得支反力偶反力偶00mmmmBAx解得解得lmamlmbmBA/ CmabABl1

44、2ACB12mmAmBBCAC 習(xí)題習(xí)題圖示一長為圖示一長為 l 的組合桿，由不同材料的實(shí)心圓截面桿和空的組合桿，由不同材料的實(shí)心圓截面桿和空心圓截面桿組成心圓截面桿組成,內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作，其抗扭剛度內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作，其抗扭剛度 GIPa ，GIPb 。當(dāng)此組合桿的兩端各自固定在剛性板上，并在剛性。當(dāng)此組合桿的兩端各自固定在剛性板上，并在剛性板處受一對矩為板處受一對矩為 m 的扭轉(zhuǎn)力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩的扭轉(zhuǎn)偶矩。mmlAB解：列平衡方程解：列平衡方程0 mxmmmba 這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題變

45、形相容條件是，內(nèi)，外變形相容條件是，內(nèi)，外桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同。桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同。變形幾何方程是變形幾何方程是ba mba mmlABmbma物理關(guān)系是物理關(guān)系是IGlmPaaaa IGlmPbbbb 代如變形幾何方程，得代如變形幾何方程，得補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程mIGIGmbPbbPaaa 聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)充方聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)充方程，解得：程，解得：mIGIGIGmPbbPaaPaaa mIGIGIGmPbbPaaPbbb 習(xí)題習(xí)題 一兩端固定的圓截面桿一兩端固定的圓截面桿AB受力偶矩作用如圖。要受力偶矩作用如圖。要求求：1）作扭矩圖；）作扭矩圖；2）若）若M=10KN.m,材料的材料的 =60M

46、Pa，試選擇此等直圓截面桿直徑。試選擇此等直圓截面桿直徑。MABClMDll解：1、設(shè)A處的支座反力為MAMAMBABMM2、變形相容條件為0ABPAACGIlMPACDGIlMM PADBGIlM3MMA2、作扭矩圖 tWTmaxmax3、按強(qiáng)度條件確定直徑3M3M32M mm71.82m08271. 0163maxTd習(xí)題習(xí)題 AB和CD兩桿的尺寸相同。AB為鋼桿，CD為鋁桿，兩種材料的切變模量之比為3：1。（GAB：GCD3：1）。若不計BE和ED兩桿的變形，試問F力的影響以怎樣的比例分配于AB和CD兩桿？aaPDCBAPFPPFIGlaFPaDIGlFaaPCDPAB41,43,)(ECEABFPCDFAB21222121點(diǎn)向下位移為：桿點(diǎn)向下位移為：桿。分配為，則分配為設(shè)習(xí)題習(xí)題 圖示圓截面桿AC的直徑d1100mm，A端固定，在B截面處受力偶矩me7kNm作用，C截面上、下兩點(diǎn)處與直徑均為d2=20mm的兩根圓桿EF、GH鉸接。已知各桿材料相同，彈性常數(shù)間有如下關(guān)系：G=0.4E，試求AC桿中的最大切應(yīng)力和AC桿的最大單位長度轉(zhuǎn)角。d2GHFE2m2m1m1mmeCBAd1PPeCGIlddNGIlddNm)()(NEFHG2121。受軸力為和設(shè)幾何關(guān)