利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分ppt課件

1、一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分95 利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分柱面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系、柱面坐標(biāo)系中的體積元素柱面坐標(biāo)系中的三重積分球面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系、球面坐標(biāo)系中的體積元素球面坐標(biāo)系中的三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù) r、q 、z相對應(yīng)，其中P(r, q )為點(diǎn)M在xOy面上的投影的極坐標(biāo) 這里規(guī)定r、q 、z的變化范圍為：0

2、r，0 q 2 ， zxyzOrzP(r, q )M(x, y, z)x yq 三個(gè)數(shù) r、q 、z 叫做點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo) rr0一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分坐標(biāo)面rr0，q q 0，zz0的意義：xyzOq q 0zz0r0q 0z0 設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù) r、q 、z相對應(yīng)，其中P(r, q )為點(diǎn)M在xOy面上的投影的極坐標(biāo) 這里規(guī)定r、q 、z的變化范圍為：0 r，0 q 2 ， z 三個(gè)數(shù) r、q 、z 叫做點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo) 直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：柱面坐標(biāo)系中的體積元素： dv rdrdqdz.,sin,coszzryrxqq

3、柱面坐標(biāo)系中的三重積分： f (x，y，z)dxdydz f (r cos q ，r sin q ，z) rdrdqdzxyzOrzP(r, q )M(x, y, z)x yq x2y242 解 閉區(qū)域W可表示為：r 2z4，0r2，0q2于是zdxdydzdzzrdrdqq202042rzdzrdrdq20204)16(21drrrd2062618221rr 364zx2y2或 zr24xyzO 例例 1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分zdxdydz，其中是由曲面 zx2y2與平面 z4 所圍成的閉區(qū)域 例1 二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分這樣的三個(gè)數(shù)r、j 、q 叫做點(diǎn)

4、M的球面坐標(biāo) 設(shè)M(x，y，z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù)r 、j 、q 相對應(yīng)，其中r 為原點(diǎn)O 與點(diǎn)M 間的距離，j為有向線段 與z 軸正向所夾的角，OMq 為從正z 軸來看自x 軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段 的角OP這里r 、j 、q 的變化范圍為 0 r，0 j ，0q 2xyzOzPM(x, y, z)x yq rj坐標(biāo)面rr0，jj 0，q q 0的意義：xyzOrq j 點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：.cos,sinsin,cossinjqjqjrzryrx球面坐標(biāo)系中的體積元素： dvr2 sin j drdjdq f (x，y，z) dxdydzf(rsinj cosq ，rsi

5、nj sinq ，rcosj ) r2 sinj drdjdq 柱面坐標(biāo)系中的三重積分：xyzOzPM(x, y, z)x yq rj 例例2 2 求半徑為求半徑為a a 的球面與半頂角的球面與半頂角a a為的內(nèi)接錐面所圍成的為的內(nèi)接錐面所圍成的立立體的體積體的體積 xyzOa2a 例2 求半徑為a 的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積 解 該立體所占區(qū)域W可表示為：0r2a cos j ，0ja ，0q2于是所求立體的體積為Vdxdydz r2 sinj drdjdqajjjq200cos202sinadrrddajjj0cos202sin2adrrdajjj033sincos31

6、6daxyzOa2arj)cos1 (3443aa 例例3 3 求均勻半球體的重心求均勻半球體的重心 解 取半球體的對稱軸為 z 軸，原點(diǎn)取在球心上，又設(shè)球半徑為a axyzOq jr顯然，重心在z 軸上，故x y 0z dvdvzdvzdv dvadrrdd022020sinjqjdvzadrrrdd022020sincosjjqj42214a, 323a, 因此z83a重心為(0，0，83a重心為(0，0，83a) 解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸與軸l重合，又設(shè)球的半徑為a， 例4 求均勻球體對于過球心的一條軸l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則球體所占空間閉區(qū)域W可用不等式x2y2z2a 2來表示其中 M334a為球體的質(zhì)量I zdvyx