理論力學(xué)典型錯(cuò)解

1、理論力學(xué)典型錯(cuò)解第二篇 運(yùn)動學(xué)題2-1 桿AC沿槽以勻速向上運(yùn)動，并帶動桿AB及滑塊B。若AB，且初瞬時(shí).求當(dāng)時(shí)，滑塊B沿滑槽滑動的速度。錯(cuò)誤解答之一：取坐標(biāo)系如圖2-1所示。由幾何關(guān)系有 （1）將上式的時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，有 （2）所以 因?yàn)?，而?dāng)時(shí)，所以有負(fù)號表示的方向與軸方向相反。 圖2-1 錯(cuò)誤解答之二：取坐標(biāo)系如圖-1所示，則由幾何關(guān)系有物塊B的運(yùn)動方程為 (3)鉸鏈A的運(yùn)動方程為 (4)將式（3）、（4）對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，有 (5) (6)由式（6），有 (7)式（7）代入式（5），得代入，得錯(cuò)因分析：1.錯(cuò)誤解答之一的錯(cuò)誤在于，所選取的坐標(biāo)系原點(diǎn)與滑塊B固結(jié)，故而該坐標(biāo)系是移動的。題目要求滑

2、塊B沿滑槽滑動的速度，也即相對于地球表面的速度，滑槽即地球表面，故應(yīng)選取與地球表面固結(jié)的參考坐標(biāo)系。式（1）中的只是AC桿上一點(diǎn)O坐標(biāo)系相對位置，既然不是與地面固結(jié)的參考系，它對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就不是滑塊B相對滑槽的速度，而是相對動坐標(biāo)系的相對速度。2. 錯(cuò)誤解答之二的錯(cuò)誤原因在于，在所選的坐標(biāo)系中，以式（3）作為滑塊B的運(yùn)動方程是錯(cuò)誤的。因?yàn)樵谧鴺?biāo)系中，B點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)取負(fù)值，即 (8)正確解答：將式（8）對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，有在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為代入上式，得代入，則有滑塊B的速度為其方向沿軸正向。題2-2 從水面上方高20m的岸上一點(diǎn)A，用長為40m的繩系住一船B。今在A處以的均速拉繩，使船靠

3、岸，求5s末船的速度是多少？在5s內(nèi)船移動了多少距離。 圖 圖2-2錯(cuò)誤解答：以船為研究對象。用繩拉船時(shí)，繩的速度為，故船的速度為圖2-2（b） (1)因 (2)故有 當(dāng)時(shí)，有在內(nèi)，不改變方向，時(shí)，故此時(shí)間內(nèi)船移動的距離為錯(cuò)因分析：確定船移動速度的式（1）是錯(cuò)誤的，因?yàn)?，雖然在A處以勻速拉繩，但系在船上的繩B端的速度方向隨時(shí)改變，已不再是常矢量了。式（1）中將其作為常矢量在水平方向投影，并以此方法求得的船的速度是錯(cuò)誤的。為了說明式（1）的錯(cuò)誤原因，設(shè)船在時(shí)間內(nèi)位移為，同時(shí)繩索減短，如圖2-2（c）所示，近似地認(rèn)為，則當(dāng)時(shí)對上式求極限，則有而，所以而不是式（1）的正確答案：取坐標(biāo)系如圖2-2所示

4、，則船的坐標(biāo)為上式對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得船的速度為當(dāng)時(shí)船的速度為負(fù)號表示速度方向與軸正方向相反。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，之內(nèi)船不改變速度方向，故在此時(shí)間內(nèi)船移動的距離為題2-3 在圖示機(jī)構(gòu)中，曲柄OA轉(zhuǎn)動的角速度為，角加速度為，且有。試求D點(diǎn)的速度、加速度和軌跡。錯(cuò)誤解答：因曲柄、均作定軸轉(zhuǎn)動，且彼此平行，故它們的角速度、角加速度均相同。又因三角板CDE繞轉(zhuǎn)動，故D點(diǎn)的速度和加速度分別為D點(diǎn)的軌跡為以為半徑、以為圓心的圓。錯(cuò)因分析：上解錯(cuò)誤之處在于沒有認(rèn)出桿AB、三角板CDE均作平動，而誤認(rèn)為三角板CDE繞軸轉(zhuǎn)動，誤認(rèn)為D點(diǎn)的軌跡為以r為半徑、以為圓心的圓。正確解答：因,故桿AB作平動，于是有又因做定軸轉(zhuǎn)動，且給

5、知，故有因故三角板CDE作平動，于是D點(diǎn)的速度和加速度分別為因?yàn)閯傮w上各點(diǎn)軌跡相同，故D點(diǎn)的軌跡與C點(diǎn)的軌跡相同，同為半徑為的圓，但圓心位置各不相同，C點(diǎn)軌跡以為圓心，而D點(diǎn)軌跡則是為半徑，圓心在D點(diǎn)正下方距D點(diǎn)處。題2-4 桿AB在鉛垂方向以勻速沿滑槽向下運(yùn)動，并由B端的小輪帶動半徑為R的圓弧桿OC繞O軸轉(zhuǎn)動，如圖2-4所示。設(shè)運(yùn)動開始時(shí)，試求此后任意瞬時(shí)t，圓弧桿OC的角速度和C點(diǎn)的速度。錯(cuò)誤解答取坐標(biāo)軸如圖2-4所示。因?yàn)闂UAB的速度向下，故知圓弧桿OC繞O軸反時(shí)針轉(zhuǎn)動，其角速度為。B點(diǎn)的坐標(biāo)為上式對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，有其中為圓弧桿OC的角速度，故有所以而C點(diǎn)的速度則為 由幾何關(guān)系，有于是，C

6、點(diǎn)的速度為錯(cuò)因分析：上解中認(rèn)為是錯(cuò)誤的。因?yàn)轭}設(shè)的正轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針，而當(dāng)桿AB向下運(yùn)動時(shí)，圓弧桿的角速度為反時(shí)針轉(zhuǎn)向，故應(yīng)為正確解答：將上解中，以代人，即得正確結(jié)果的方向與轉(zhuǎn)向一致。題2-5 在圖示機(jī)構(gòu)中，齒輪1固結(jié)在桿AC上，。齒輪1和半徑為的齒輪2相嚙合，齒輪2可繞軸轉(zhuǎn)動，且和曲柄沒有聯(lián)系。若，試確定時(shí)，輪2的角速度和角加速度。錯(cuò)誤解答：因?yàn)?，所以兩桿角速度、角加速度相同，即又因?yàn)?，所以A、B兩點(diǎn)的速度及加速度相同，即 因作定軸轉(zhuǎn)動，所以，D點(diǎn)的速度和加速度分別為 （1）于是，有 （2） （3）輪2的角速度、角加速度分別為 （4） （5）當(dāng)時(shí)，則有 （6） （7）錯(cuò)因分析： 上解中沒有認(rèn)出桿

7、AC和輪1均作平動。因?yàn)锳C與輪1固結(jié)一起，且有,，故桿和輪1固結(jié)的剛體ABC作平動。同時(shí)，上解中由式(1)、(2)、(3)所計(jì)算的D點(diǎn)的速度及切向加速度，是曲柄上在處的速度及切向加速度，并非齒輪1、2嚙合點(diǎn)D的速度和切向加速度。但在計(jì)算輪2的角速度和角加速度時(shí)，卻把曲柄上在處的D點(diǎn)，當(dāng)成齒輪1、2的嚙合點(diǎn)，顯然是錯(cuò)誤的。 正確解答： 因?yàn)闂UAC與輪l固結(jié)一起，且有,，故桿AC與輪1固結(jié)一起的剛體ABC作平動。平動剛體在同一時(shí)刻各點(diǎn)的速度及加速度均相同，故齒輪1、2嚙合點(diǎn)D的速度、切向加速度與A、B兩點(diǎn)的相同，即求得了輪2的切向速度和切向加速度，便可求得輪2的角速度和角加速度，即當(dāng)時(shí)，有的轉(zhuǎn)向

8、為順時(shí)針。題2-6 半徑為R的半圓形凸輪D，已知其運(yùn)動的速度為、加速度為，方向如圖2-6（a）所示。凸輪推動桿AB沿鉛直方向運(yùn)動。試求當(dāng)時(shí)，桿AB移動的速度和加速度以及A相對凸輪的速度。錯(cuò)誤解答：（1）求速度錯(cuò)誤答案：（1）求速度取桿AB上的A點(diǎn)為動點(diǎn)，凸輪D為動系，地面為定系。動點(diǎn)的絕對速度、相對速度、牽連速度如圖2-6(a)所示。由幾何關(guān)系，有所以，桿AB移動的速度為由速度的投影，有所以，桿AB相對于凸輪D的速度為（2）求加速度動點(diǎn)A的加速度矢量圖如圖2-6（b）所示：取投影軸，則加速度在軸上的投影分別為由式（2），有由式（1），有錯(cuò)因分析：1.上解中，圖2-6（a）的速度矢量圖畫錯(cuò)，不符

9、合速度合成定理的關(guān)系，是合矢量，應(yīng)為速度四邊形的對角線。2.因?yàn)閯狱c(diǎn)的相對軌跡為凸輪D的輪廓線，即半徑為R的圓曲線，故相對加速度應(yīng)有切向分量、法向分量兩個(gè)分量。圖2-6（b）中漏畫了相對加速度的法向分量。3.速度、加速度的投影，應(yīng)按照合矢量投影定理進(jìn)行，上解中式（1）、（2）在切向、法向方向的投影，是按，計(jì)算的，這顯然是不符合加速度合成定理，不符合合矢量投影定理。正確答案：取桿AB上的A點(diǎn)為動點(diǎn)，動系為凸輪D，定系為地面。動點(diǎn)的絕對運(yùn)動軌跡為鉛垂線，相對運(yùn)動軌跡為凸輪的輪廓線，即半徑為R的圓曲線、牽連運(yùn)動為平動。（1）求速度動點(diǎn)A的速度矢量圖如圖2-6（c）所示。根據(jù)速度合成定理，有 （1）取

10、投影軸如圖2-6（c）所示。將式（1）分別在軸上投影，則有 （2） （3）于是，桿AB移動的速度也即動點(diǎn)A的絕對速度為桿AB相對于凸輪的相對速度為（2）求加速度加速度矢量圖如圖2-6（d）所示。由動系作平動時(shí)的加速度合成定理，有 （4）取投影軸如圖2-6（d）所示。將式（4）分別在軸方向投影，有上式中，由式（6），有所以 由式（5），有于是桿AB移動的加速度也即動點(diǎn)A的絕對加速度為AB相對于凸輪的加速度為題2-7 在圖示的平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)中，頂桿AB可沿鉛直槽上、下運(yùn)動，半徑為R的凸輪以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動。工作時(shí)頂桿與凸輪保持接觸。偏心距OC=e，試求當(dāng)OC水平時(shí)，頂桿AB的速度和加速度。錯(cuò)誤

11、解答：1.求速度：取凸輪與頂桿的接觸點(diǎn)D為動點(diǎn)，頂桿AB為動系，地面為定系，則動點(diǎn)D的絕對運(yùn)動軌跡為以O(shè)為圓心、以O(shè)D為半徑的圓周，相對運(yùn)動軌跡為水平直線，牽連運(yùn)動為平動。動點(diǎn)D的速度矢量圖如圖2-7（b）所示。其中絕對速度的大小為由幾何關(guān)系，有于是，頂桿AB移動的速度為2.求加速度動點(diǎn)D的加速度矢量圖如圖2-7（c）所示。由幾何關(guān)系，有于是，頂桿AB移動的加速度為錯(cuò)因分析:1.若取凸輪與頂桿AB的接觸點(diǎn)D為動點(diǎn)，頂桿AB為動系，則相對運(yùn)動軌跡不是一條水平直線，因?yàn)?，如果頂桿AB不動，僅凸輪運(yùn)動，則動點(diǎn)D相對于頂桿AB作圓周運(yùn)動。又若凸輪不動，僅頂桿運(yùn)動，則動點(diǎn)D相對于頂桿AB為鉛直線運(yùn)動。當(dāng)

12、兩者都運(yùn)動時(shí)，就不再是簡單的直線或圓了，而是兩種運(yùn)動的合成，其合成結(jié)果將是某一平面曲線，該曲線在D點(diǎn)處與頂桿AB的水平底面相切，因此，相對速度應(yīng)沿水平方向，故圖2-7(b)所示的速度矢量圖是正確的。2.由于相對運(yùn)動軌跡是其切點(diǎn)在D點(diǎn)的某一平面曲線，故相對加速度應(yīng)有切向分量法向分量。圖2-7(c)中漏掉了。又由于該平面曲線的方程未知,故無法求得該曲線在D點(diǎn)的曲率半徑，也就無法得知。于是，在加速度合成定理中均為未知，上式只有兩個(gè)投影式，只能求解2個(gè)未知數(shù)，故不能求解?？梢?，上述動點(diǎn)、動系的取法是無法求得全部解答的。正確解答：取凸輪中心C為動點(diǎn)，頂桿AB為動系，地面為定系。動點(diǎn)C的相對運(yùn)動軌跡為過C

13、點(diǎn)的水平直線，絕對運(yùn)動軌跡為以O(shè)為圓心，以e為半徑的圓，牽連運(yùn)動為平動。1 求速度動點(diǎn)C的速度矢量圖如圖2-7（d）所示，即將上式在軸投影，有 于是,頂桿AB移動的速度為 2.求加速度動點(diǎn)C的加速度矢量圖如圖2-7(e)所示,即 將上式分別沿x,y軸投影,有所以 所以 于是，頂桿移動的加速度為題2-8 長為r的曲柄OA以勻角速度繞O軸反時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動, 從而推動滑桿BCD沿鉛直方向上升，如圖2-8(a)所示。試求當(dāng)曲柄與水平線夾角時(shí)，滑BCD的速度和加速度。錯(cuò)誤解答：取滑桿BCD上與曲柄OA端點(diǎn)A重合點(diǎn)為動點(diǎn)，OA為動系，地面為定系。動點(diǎn)的絕對運(yùn)動是隨同滑桿的鉛垂向上的直線運(yùn)動，相對運(yùn)動是水平直

14、線運(yùn)動，牽連運(yùn)動是曲柄OA的定軸轉(zhuǎn)動。動點(diǎn)的速度矢量圖、加速度矢量圖分別如圖2-8(a)、(b)所示。由速度矢量圖，有 （1） （2）由加速度矢量圖，有上式中，科氏加速度，牽連法向加速度，將之值代入式（3），得因滑桿BCD作平動，故滑桿的速度為，加速度為，其方向如圖8-3（a）、（b）所示。錯(cuò)因分析：1當(dāng)以滑桿BCD上與曲柄OA端點(diǎn)A重合點(diǎn)為動點(diǎn)、曲柄OA為動系時(shí)，其相對運(yùn)動軌跡并非水平直線。所謂相對運(yùn)動，是指站在動系上觀察到的動點(diǎn)的運(yùn)動。顯然，當(dāng)曲柄OA轉(zhuǎn)動時(shí)，站在OA上觀察點(diǎn)的運(yùn)動，其運(yùn)動軌跡不可能只是一條水平直線。因?yàn)?，倘若曲柄OA不轉(zhuǎn)動，僅滑桿BCD運(yùn)動，則顯然點(diǎn)相對于曲柄OA作鉛直線

15、運(yùn)動，倘若滑桿BCD不動，僅曲柄OA轉(zhuǎn)動，則顯然點(diǎn)相對于曲柄OA作順時(shí)針轉(zhuǎn)向的圓周運(yùn)動。當(dāng)兩桿同時(shí)運(yùn)動時(shí)，動點(diǎn)相對于動系OA的運(yùn)動應(yīng)是上述兩種運(yùn)動的合成運(yùn)動。顯然，合成運(yùn)動不再是水平直線或圓，而是某一條平面曲線，且在圖示位置該平面曲線應(yīng)與滑桿BCD的水平邊相切。2既然相對軌跡是與BCD水平邊相切的平面曲線，相對速度應(yīng)沿相對軌跡在該點(diǎn)的切線方向，所以，相對速度應(yīng)沿水平方向，但圖2-8(a)中把相對速度指向畫錯(cuò)了。根據(jù)速度合成定理，其中的指向均已確定，而速度四邊形應(yīng)為對角線方向，故不應(yīng)指向左而應(yīng)指向右。3由于圖2-8(a)中的指向畫錯(cuò)了，那么，圖2-8(b)中的科氏加速度指向也錯(cuò)了。應(yīng)該向上而不應(yīng)

16、該向下。4既然相對軌跡應(yīng)為某一平面曲線，動點(diǎn)的相對加速度就應(yīng)該有切向、法向兩個(gè)分量，而相對軌跡在點(diǎn)的曲率半徑，由于相對軌跡方程未知，故無法求得相對法向加速度。5計(jì)算有錯(cuò)。對于速度未知量的計(jì)算，應(yīng)根據(jù)正確畫出的速度平行四邊形，用幾何法或用解析法求解。幾何法只需根據(jù)正確的速度四邊形，由幾何關(guān)系算出某矢量，解析法則需根據(jù)合矢量投影定理求解，即：合矢量在某軸上的投影，等于諸分矢量在同軸上投影的代數(shù)和。而上解中的式(2)按“未知矢量的投影已知矢量的投影”來計(jì)算未知量，顯然不符合合矢量投影定理，因此是錯(cuò)誤的。6在加速度計(jì)算中，上解的公式(3)是按所有加速度在Oy軸上的投影的代數(shù)和等于零，即來計(jì)算的，這顯然

17、不符合合矢量投影定理，是錯(cuò)誤的。正確解答：取曲柄OA的端點(diǎn)A為動點(diǎn)，滑桿BCD為動系，地面為定系。動點(diǎn)A的絕對軌跡為以O(shè)為圓心，以r為半徑的圓，相對軌跡為水平直線，牽連運(yùn)動為平動。于是，動點(diǎn)A的速度與加速度矢量圖分別為圖2-8(c)、(d)所示。由幾何關(guān)系可知，動點(diǎn)A的牽連速度和牽連加速度(即為滑桿BCD的速度和加速度)分別為題2-9 在圖示系統(tǒng)中，輪O在水平面上作純滾動，并與桿AB鉸接于A點(diǎn)。在圖示位置時(shí)，OA水平，輪心的速度為。試求桿AB中點(diǎn)M的速度。錯(cuò)誤解答：因?yàn)闂UAB作平動，故有，如圖2-9（a）所示。錯(cuò)因分析：桿AB作平面運(yùn)動而非平動。正確解答：系統(tǒng)中的輪O、桿AB均作平面運(yùn)動。由于

18、輪O作純滾動，故與地面的接觸點(diǎn)C為它的瞬心，于是A點(diǎn)的速度方向應(yīng)垂直于AC連線。桿AB兩端速度方向已知，分別作A、B兩點(diǎn)速度的垂線，其交點(diǎn)P即為桿AB的速度瞬心，如圖2-9（b）所示。 輪O的角加速度為A點(diǎn)的速度則為桿AB的角速度為桿AB中點(diǎn)M的速度為其中 故 題2-10 平面機(jī)構(gòu)如圖2-10（a）所示。長為r的曲柄OA以勻角速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動，ABAD=l,BC=r。試求圖示瞬時(shí)滑塊C、D的速度及桿BC的角速度。錯(cuò)誤解答：曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動，滑塊D沿水平滑槽滑動，故BD桿上A、D兩點(diǎn)的速度方向已知，由速度投影定理，有又因?yàn)闂UBDBC，故B點(diǎn)的速度方向垂直于BC，且有。因已知BC桿上B、C兩點(diǎn)的速

19、度方向，作速度方向的垂線，其交點(diǎn)C即為桿BC的速度瞬心。于是，有錯(cuò)因分析：1上解中B點(diǎn)的速度方向錯(cuò)誤。因桿BD作平面運(yùn)動，它的速度瞬心在P，故可知B點(diǎn)的速度方向應(yīng)垂直于PB連線。2由于B點(diǎn)的速度方向錯(cuò)誤，導(dǎo)致BC桿的速度瞬心位置錯(cuò)誤，即BC桿的瞬心不在C點(diǎn)而應(yīng)在，如圖2-10（b）所示。正確解答：曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動，滑塊D、C沿水平滑槽滑動，故可知A、C、D點(diǎn)的速度方向。桿BD，DC作平面運(yùn)動。由速度投影定理，有所以 BD桿的速度瞬心在P，由幾何關(guān)系知，為等邊三角形，即PD=BD=PB=2l,桿BD的角速度為而B點(diǎn)速度為因?yàn)闂UBC在B、C兩點(diǎn)的速度方向已知，故其速度瞬心在，如圖2-10(b)所

20、示。因，所以，于是，桿BC的角速度為滑塊C點(diǎn)的速度為題2-11 在圖示機(jī)構(gòu)中，固定齒輪O與運(yùn)動齒輪A半徑均為r。曲柄OA以勻角速度繞O軸反復(fù)擺動。其尺寸為r0.1m,BC=0.6m,=0.2m。圖示瞬時(shí)OA水平，A、B、C在同一鉛垂線上，。試求該瞬時(shí)桿BC、桿、齒輪A的角速度。錯(cuò)誤解答：曲柄OA、桿作定軸轉(zhuǎn)動，故A、C點(diǎn)的速度方向已知。齒輪A作平面運(yùn)動，其速度瞬心在嚙合點(diǎn)P。于是，有齒輪A的角速度為B點(diǎn)的速度為 桿BC作平面運(yùn)動，其速度瞬心在，且有 所以，桿BC的角速度為 C點(diǎn)的速度為桿的角速度為 錯(cuò)因分析： 上解中對運(yùn)動的分析、瞬心位置P、均正確無誤。其錯(cuò)處在于，在計(jì)算桿BC速度瞬心位置時(shí)，將視為直角三角形了，這就導(dǎo)致了桿BC的角速度、C點(diǎn)速度、桿的速度計(jì)算的錯(cuò)誤。正確解答：曲柄OA、桿作定軸轉(zhuǎn)動，故A、C點(diǎn)的速度方向已知，動齒輪A、桿BC作平面運(yùn)動，齒輪O、A的嚙合點(diǎn)P為動齒輪A的速度瞬心，A、B、C三點(diǎn)的速度方向如圖2-11(b)所示。 因，所以，B點(diǎn)的速度為 桿BC在B、C兩點(diǎn)的速度方向已知，由速度投影定理，有 所以 桿的角速度為 為求桿BC的