理論力學典型錯解

1、理論力學典型錯解第二篇 運動學題2-1 桿AC沿槽以勻速向上運動，并帶動桿AB及滑塊B。若AB，且初瞬時.求當時，滑塊B沿滑槽滑動的速度。錯誤解答之一：取坐標系如圖2-1所示。由幾何關系有 （1）將上式的時間求導數，有 （2）所以 因為，而當時，所以有負號表示的方向與軸方向相反。 圖2-1 錯誤解答之二：取坐標系如圖-1所示，則由幾何關系有物塊B的運動方程為 (3)鉸鏈A的運動方程為 (4)將式（3）、（4）對時間求導數，有 (5) (6)由式（6），有 (7)式（7）代入式（5），得代入，得錯因分析：1.錯誤解答之一的錯誤在于，所選取的坐標系原點與滑塊B固結，故而該坐標系是移動的。題目要求滑

2、塊B沿滑槽滑動的速度，也即相對于地球表面的速度，滑槽即地球表面，故應選取與地球表面固結的參考坐標系。式（1）中的只是AC桿上一點O坐標系相對位置，既然不是與地面固結的參考系，它對時間的一階導數就不是滑塊B相對滑槽的速度，而是相對動坐標系的相對速度。2. 錯誤解答之二的錯誤原因在于，在所選的坐標系中，以式（3）作為滑塊B的運動方程是錯誤的。因為在坐標系中，B點的坐標應取負值，即 (8)正確解答：將式（8）對時間求一階導數，有在坐標系中，A點的坐標為代入上式，得代入，則有滑塊B的速度為其方向沿軸正向。題2-2 從水面上方高20m的岸上一點A，用長為40m的繩系住一船B。今在A處以的均速拉繩，使船靠

3、岸，求5s末船的速度是多少？在5s內船移動了多少距離。 圖 圖2-2錯誤解答：以船為研究對象。用繩拉船時，繩的速度為，故船的速度為圖2-2（b） (1)因 (2)故有 當時，有在內，不改變方向，時，故此時間內船移動的距離為錯因分析：確定船移動速度的式（1）是錯誤的，因為，雖然在A處以勻速拉繩，但系在船上的繩B端的速度方向隨時改變，已不再是常矢量了。式（1）中將其作為常矢量在水平方向投影，并以此方法求得的船的速度是錯誤的。為了說明式（1）的錯誤原因，設船在時間內位移為，同時繩索減短，如圖2-2（c）所示，近似地認為，則當時對上式求極限，則有而，所以而不是式（1）的正確答案：取坐標系如圖2-2所示

4、，則船的坐標為上式對時間求導數得船的速度為當時船的速度為負號表示速度方向與軸正方向相反。當時，當時，之內船不改變速度方向，故在此時間內船移動的距離為題2-3 在圖示機構中，曲柄OA轉動的角速度為，角加速度為，且有。試求D點的速度、加速度和軌跡。錯誤解答：因曲柄、均作定軸轉動，且彼此平行，故它們的角速度、角加速度均相同。又因三角板CDE繞轉動，故D點的速度和加速度分別為D點的軌跡為以為半徑、以為圓心的圓。錯因分析：上解錯誤之處在于沒有認出桿AB、三角板CDE均作平動，而誤認為三角板CDE繞軸轉動，誤認為D點的軌跡為以r為半徑、以為圓心的圓。正確解答：因,故桿AB作平動，于是有又因做定軸轉動，且給

5、知，故有因故三角板CDE作平動，于是D點的速度和加速度分別為因為剛體上各點軌跡相同，故D點的軌跡與C點的軌跡相同，同為半徑為的圓，但圓心位置各不相同，C點軌跡以為圓心，而D點軌跡則是為半徑，圓心在D點正下方距D點處。題2-4 桿AB在鉛垂方向以勻速沿滑槽向下運動，并由B端的小輪帶動半徑為R的圓弧桿OC繞O軸轉動，如圖2-4所示。設運動開始時，試求此后任意瞬時t，圓弧桿OC的角速度和C點的速度。錯誤解答取坐標軸如圖2-4所示。因為桿AB的速度向下，故知圓弧桿OC繞O軸反時針轉動，其角速度為。B點的坐標為上式對時間求導數，有其中為圓弧桿OC的角速度，故有所以而C點的速度則為 由幾何關系，有于是，C

6、點的速度為錯因分析：上解中認為是錯誤的。因為題設的正轉向為順時針，而當桿AB向下運動時，圓弧桿的角速度為反時針轉向，故應為正確解答：將上解中，以代人，即得正確結果的方向與轉向一致。題2-5 在圖示機構中，齒輪1固結在桿AC上，。齒輪1和半徑為的齒輪2相嚙合，齒輪2可繞軸轉動，且和曲柄沒有聯(lián)系。若，試確定時，輪2的角速度和角加速度。錯誤解答：因為，所以兩桿角速度、角加速度相同，即又因為，所以A、B兩點的速度及加速度相同，即 因作定軸轉動，所以，D點的速度和加速度分別為 （1）于是，有 （2） （3）輪2的角速度、角加速度分別為 （4） （5）當時，則有 （6） （7）錯因分析： 上解中沒有認出桿

7、AC和輪1均作平動。因為AC與輪1固結一起，且有,，故桿和輪1固結的剛體ABC作平動。同時，上解中由式(1)、(2)、(3)所計算的D點的速度及切向加速度，是曲柄上在處的速度及切向加速度，并非齒輪1、2嚙合點D的速度和切向加速度。但在計算輪2的角速度和角加速度時，卻把曲柄上在處的D點，當成齒輪1、2的嚙合點，顯然是錯誤的。 正確解答： 因為桿AC與輪l固結一起，且有,，故桿AC與輪1固結一起的剛體ABC作平動。平動剛體在同一時刻各點的速度及加速度均相同，故齒輪1、2嚙合點D的速度、切向加速度與A、B兩點的相同，即求得了輪2的切向速度和切向加速度，便可求得輪2的角速度和角加速度，即當時，有的轉向

8、為順時針。題2-6 半徑為R的半圓形凸輪D，已知其運動的速度為、加速度為，方向如圖2-6（a）所示。凸輪推動桿AB沿鉛直方向運動。試求當時，桿AB移動的速度和加速度以及A相對凸輪的速度。錯誤解答：（1）求速度錯誤答案：（1）求速度取桿AB上的A點為動點，凸輪D為動系，地面為定系。動點的絕對速度、相對速度、牽連速度如圖2-6(a)所示。由幾何關系，有所以，桿AB移動的速度為由速度的投影，有所以，桿AB相對于凸輪D的速度為（2）求加速度動點A的加速度矢量圖如圖2-6（b）所示：取投影軸，則加速度在軸上的投影分別為由式（2），有由式（1），有錯因分析：1.上解中，圖2-6（a）的速度矢量圖畫錯，不符

9、合速度合成定理的關系，是合矢量，應為速度四邊形的對角線。2.因為動點的相對軌跡為凸輪D的輪廓線，即半徑為R的圓曲線，故相對加速度應有切向分量、法向分量兩個分量。圖2-6（b）中漏畫了相對加速度的法向分量。3.速度、加速度的投影，應按照合矢量投影定理進行，上解中式（1）、（2）在切向、法向方向的投影，是按，計算的，這顯然是不符合加速度合成定理，不符合合矢量投影定理。正確答案：取桿AB上的A點為動點，動系為凸輪D，定系為地面。動點的絕對運動軌跡為鉛垂線，相對運動軌跡為凸輪的輪廓線，即半徑為R的圓曲線、牽連運動為平動。（1）求速度動點A的速度矢量圖如圖2-6（c）所示。根據速度合成定理，有 （1）取

10、投影軸如圖2-6（c）所示。將式（1）分別在軸上投影，則有 （2） （3）于是，桿AB移動的速度也即動點A的絕對速度為桿AB相對于凸輪的相對速度為（2）求加速度加速度矢量圖如圖2-6（d）所示。由動系作平動時的加速度合成定理，有 （4）取投影軸如圖2-6（d）所示。將式（4）分別在軸方向投影，有上式中，由式（6），有所以 由式（5），有于是桿AB移動的加速度也即動點A的絕對加速度為AB相對于凸輪的加速度為題2-7 在圖示的平底頂桿凸輪機構中，頂桿AB可沿鉛直槽上、下運動，半徑為R的凸輪以勻角速度繞O軸轉動。工作時頂桿與凸輪保持接觸。偏心距OC=e，試求當OC水平時，頂桿AB的速度和加速度。錯誤

11、解答：1.求速度：取凸輪與頂桿的接觸點D為動點，頂桿AB為動系，地面為定系，則動點D的絕對運動軌跡為以O為圓心、以OD為半徑的圓周，相對運動軌跡為水平直線，牽連運動為平動。動點D的速度矢量圖如圖2-7（b）所示。其中絕對速度的大小為由幾何關系，有于是，頂桿AB移動的速度為2.求加速度動點D的加速度矢量圖如圖2-7（c）所示。由幾何關系，有于是，頂桿AB移動的加速度為錯因分析:1.若取凸輪與頂桿AB的接觸點D為動點，頂桿AB為動系，則相對運動軌跡不是一條水平直線，因為，如果頂桿AB不動，僅凸輪運動，則動點D相對于頂桿AB作圓周運動。又若凸輪不動，僅頂桿運動，則動點D相對于頂桿AB為鉛直線運動。當

12、兩者都運動時，就不再是簡單的直線或圓了，而是兩種運動的合成，其合成結果將是某一平面曲線，該曲線在D點處與頂桿AB的水平底面相切，因此，相對速度應沿水平方向，故圖2-7(b)所示的速度矢量圖是正確的。2.由于相對運動軌跡是其切點在D點的某一平面曲線，故相對加速度應有切向分量法向分量。圖2-7(c)中漏掉了。又由于該平面曲線的方程未知,故無法求得該曲線在D點的曲率半徑，也就無法得知。于是，在加速度合成定理中均為未知，上式只有兩個投影式，只能求解2個未知數，故不能求解?？梢姡鲜鰟狱c、動系的取法是無法求得全部解答的。正確解答：取凸輪中心C為動點，頂桿AB為動系，地面為定系。動點C的相對運動軌跡為過C

13、點的水平直線，絕對運動軌跡為以O為圓心，以e為半徑的圓，牽連運動為平動。1 求速度動點C的速度矢量圖如圖2-7（d）所示，即將上式在軸投影，有 于是,頂桿AB移動的速度為 2.求加速度動點C的加速度矢量圖如圖2-7(e)所示,即 將上式分別沿x,y軸投影,有所以 所以 于是，頂桿移動的加速度為題2-8 長為r的曲柄OA以勻角速度繞O軸反時針轉向轉動, 從而推動滑桿BCD沿鉛直方向上升，如圖2-8(a)所示。試求當曲柄與水平線夾角時，滑BCD的速度和加速度。錯誤解答：取滑桿BCD上與曲柄OA端點A重合點為動點，OA為動系，地面為定系。動點的絕對運動是隨同滑桿的鉛垂向上的直線運動，相對運動是水平直

14、線運動，牽連運動是曲柄OA的定軸轉動。動點的速度矢量圖、加速度矢量圖分別如圖2-8(a)、(b)所示。由速度矢量圖，有 （1） （2）由加速度矢量圖，有上式中，科氏加速度，牽連法向加速度，將之值代入式（3），得因滑桿BCD作平動，故滑桿的速度為，加速度為，其方向如圖8-3（a）、（b）所示。錯因分析：1當以滑桿BCD上與曲柄OA端點A重合點為動點、曲柄OA為動系時，其相對運動軌跡并非水平直線。所謂相對運動，是指站在動系上觀察到的動點的運動。顯然，當曲柄OA轉動時，站在OA上觀察點的運動，其運動軌跡不可能只是一條水平直線。因為，倘若曲柄OA不轉動，僅滑桿BCD運動，則顯然點相對于曲柄OA作鉛直線

15、運動，倘若滑桿BCD不動，僅曲柄OA轉動，則顯然點相對于曲柄OA作順時針轉向的圓周運動。當兩桿同時運動時，動點相對于動系OA的運動應是上述兩種運動的合成運動。顯然，合成運動不再是水平直線或圓，而是某一條平面曲線，且在圖示位置該平面曲線應與滑桿BCD的水平邊相切。2既然相對軌跡是與BCD水平邊相切的平面曲線，相對速度應沿相對軌跡在該點的切線方向，所以，相對速度應沿水平方向，但圖2-8(a)中把相對速度指向畫錯了。根據速度合成定理，其中的指向均已確定，而速度四邊形應為對角線方向，故不應指向左而應指向右。3由于圖2-8(a)中的指向畫錯了，那么，圖2-8(b)中的科氏加速度指向也錯了。應該向上而不應

16、該向下。4既然相對軌跡應為某一平面曲線，動點的相對加速度就應該有切向、法向兩個分量，而相對軌跡在點的曲率半徑，由于相對軌跡方程未知，故無法求得相對法向加速度。5計算有錯。對于速度未知量的計算，應根據正確畫出的速度平行四邊形，用幾何法或用解析法求解。幾何法只需根據正確的速度四邊形，由幾何關系算出某矢量，解析法則需根據合矢量投影定理求解，即：合矢量在某軸上的投影，等于諸分矢量在同軸上投影的代數和。而上解中的式(2)按“未知矢量的投影已知矢量的投影”來計算未知量，顯然不符合合矢量投影定理，因此是錯誤的。6在加速度計算中，上解的公式(3)是按所有加速度在Oy軸上的投影的代數和等于零，即來計算的，這顯然

17、不符合合矢量投影定理，是錯誤的。正確解答：取曲柄OA的端點A為動點，滑桿BCD為動系，地面為定系。動點A的絕對軌跡為以O為圓心，以r為半徑的圓，相對軌跡為水平直線，牽連運動為平動。于是，動點A的速度與加速度矢量圖分別為圖2-8(c)、(d)所示。由幾何關系可知，動點A的牽連速度和牽連加速度(即為滑桿BCD的速度和加速度)分別為題2-9 在圖示系統(tǒng)中，輪O在水平面上作純滾動，并與桿AB鉸接于A點。在圖示位置時，OA水平，輪心的速度為。試求桿AB中點M的速度。錯誤解答：因為桿AB作平動，故有，如圖2-9（a）所示。錯因分析：桿AB作平面運動而非平動。正確解答：系統(tǒng)中的輪O、桿AB均作平面運動。由于

18、輪O作純滾動，故與地面的接觸點C為它的瞬心，于是A點的速度方向應垂直于AC連線。桿AB兩端速度方向已知，分別作A、B兩點速度的垂線，其交點P即為桿AB的速度瞬心，如圖2-9（b）所示。 輪O的角加速度為A點的速度則為桿AB的角速度為桿AB中點M的速度為其中 故 題2-10 平面機構如圖2-10（a）所示。長為r的曲柄OA以勻角速度順時針轉動，ABAD=l,BC=r。試求圖示瞬時滑塊C、D的速度及桿BC的角速度。錯誤解答：曲柄OA作定軸轉動，滑塊D沿水平滑槽滑動，故BD桿上A、D兩點的速度方向已知，由速度投影定理，有又因為桿BDBC，故B點的速度方向垂直于BC，且有。因已知BC桿上B、C兩點的速

19、度方向，作速度方向的垂線，其交點C即為桿BC的速度瞬心。于是，有錯因分析：1上解中B點的速度方向錯誤。因桿BD作平面運動，它的速度瞬心在P，故可知B點的速度方向應垂直于PB連線。2由于B點的速度方向錯誤，導致BC桿的速度瞬心位置錯誤，即BC桿的瞬心不在C點而應在，如圖2-10（b）所示。正確解答：曲柄OA作定軸轉動，滑塊D、C沿水平滑槽滑動，故可知A、C、D點的速度方向。桿BD，DC作平面運動。由速度投影定理，有所以 BD桿的速度瞬心在P，由幾何關系知，為等邊三角形，即PD=BD=PB=2l,桿BD的角速度為而B點速度為因為桿BC在B、C兩點的速度方向已知，故其速度瞬心在，如圖2-10(b)所

20、示。因，所以，于是，桿BC的角速度為滑塊C點的速度為題2-11 在圖示機構中，固定齒輪O與運動齒輪A半徑均為r。曲柄OA以勻角速度繞O軸反復擺動。其尺寸為r0.1m,BC=0.6m,=0.2m。圖示瞬時OA水平，A、B、C在同一鉛垂線上，。試求該瞬時桿BC、桿、齒輪A的角速度。錯誤解答：曲柄OA、桿作定軸轉動，故A、C點的速度方向已知。齒輪A作平面運動，其速度瞬心在嚙合點P。于是，有齒輪A的角速度為B點的速度為 桿BC作平面運動，其速度瞬心在，且有 所以，桿BC的角速度為 C點的速度為桿的角速度為 錯因分析： 上解中對運動的分析、瞬心位置P、均正確無誤。其錯處在于，在計算桿BC速度瞬心位置時，將視為直角三角形了，這就導致了桿BC的角速度、C點速度、桿的速度計算的錯誤。正確解答：曲柄OA、桿作定軸轉動，故A、C點的速度方向已知，動齒輪A、桿BC作平面運動，齒輪O、A的嚙合點P為動齒輪A的速度瞬心，A、B、C三點的速度方向如圖2-11(b)所示。 因，所以，B點的速度為 桿BC在B、C兩點的速度方向已知，由速度投影定理，有 所以 桿的角速度為 為求桿BC的