高等數(shù)學競賽講座ppt課件

1、數(shù)學競賽講座數(shù)學競賽講座體操能使你身體健康體操能使你身體健康,數(shù)學能使你思想正確而敏捷數(shù)學能使你思想正確而敏捷,有了它有了它,你們才能爬上科學的大山你們才能爬上科學的大山._華羅庚華羅庚_解題是一種本領(lǐng)解題是一種本領(lǐng),就像游泳、彈鋼琴一樣就像游泳、彈鋼琴一樣,你只能靠模你只能靠模仿和實踐才能學到它。假如你想要從解題中得到最大仿和實踐才能學到它。假如你想要從解題中得到最大的收獲的收獲,就應(yīng)當在所做的題目中去找出它的特征。一就應(yīng)當在所做的題目中去找出它的特征。一種解題方法種解題方法,無論是從別人那里學來或聽來的無論是從別人那里學來或聽來的,只要經(jīng)只要經(jīng)過你自己的體驗過你自己的體驗,它對你來講可以成

2、為一種楷模它對你來講可以成為一種楷模,當你當你在碰見別的類似的問題時在碰見別的類似的問題時,它就是可供你仿照的模型。它就是可供你仿照的模型。 _喬冶喬冶.波利亞波利亞_不定積分第第 一一 講講注注: : 不定積分是計箅定積分、重積分、線不定積分是計箅定積分、重積分、線面積分的一種工具面積分的一種工具, ,為解微分方程服務(wù)為解微分方程服務(wù). .1 1、原函數(shù)與不定積分、原函數(shù)與不定積分CxFdxxf )()(1) 定義:一一. 基本概念基本概念( )( )( ).xaxf t dtf x其中就是的一個原函數(shù)1( ).xf x dx例已知f(x)的一個原函數(shù)為(1+sinx)lnx,求:( )(

3、)( )( ).xf x dxxdf xxf xf x dx解(1 sin )ln (1 sin )ln.xxxxx c )( xF)(xf0 x2)2(sin()()(xxFxf例例2 2 函數(shù)函數(shù)為的原函數(shù)，當時，有，且 1)0(F,( )0F x )(xf，試求. )()(xfxFxxFxF2sin)()(2解：因解：因，所以cxxxFxdxdxxFxF4sin41)(2sin)()(221)0(F1c14sin41)(xxxF而由得，從而故14sin4124cos1)()(xxxxFxf 21c o s 4( s in2)2xx dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2)

4、微分運算與求不定積分的運算是互逆的微分運算與求不定積分的運算是互逆的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(1( )arctan,.( )xf x dxxcIdxf x例3設(shè)求2211:( ),(1).1( )xf xxxxf x解22211(1)(1).( )4Idxxxdxxcf x2 2、基本積分表、基本積分表 p210p210 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)

5、4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa

6、ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxaxadxax ln211)21(22第一類換元法第一類換元法二二. . 積分法積分法 dxxxf)()( )()(xuduuf （湊微分法）（湊微分法）(1) 由定義直接利用基本積分表與積分的由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法性質(zhì)求不定積分的方法.(2) (2) 換元法換元法: :第二類換元法第二類換元法 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)

7、(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf .)(. 9dxbaxf .)()(.10dxxfxf 常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換13.xt倒置代換 令14.(1)xxIdxxxe例求(1)1(1)xxxx eIdxxexe解法1(1)xxxdxexexe11()1xxxdxexexelnln 1.xxxexec11(1).xxxxdtxetdtx e dxdxxxe 解法2 令111()(1)1Idtdtt

8、tttlnln 1.xxxexec225(2001).(21)1dxIxx例考研題求tan2cos.1sinxuuduIu解2sinarctan(sin ).1sinduucu2(sin.1xarctancxx21xu(3) (3) 分部積分法分部積分法分部積分公式分部積分公式udvuvvdu選擇選擇u u的有效方法的有效方法:L,I,E:L,I,E選擇法選擇法L-對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)； I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；),( ).sin1xxxIf x dxxx2例6 (2004考研題) 設(shè)f(sin求2:sin ,sin,arcsin,( ).arcain xuxxuxu

9、f xx 解全arcsin2 arcsin1.1xIdxxdxx 2 1arcsin2.xxxc 2arctan(2001,2005(2).xxedxe例7 考研題) 求I=22221:arctanarctan2(1)xxxxxxxdee deeeee-1解I=22111arctanarctan.222xxxxeeeec(4)(4)、幾種特殊類型函數(shù)的積分、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法（2） 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分2tanxu 令令uxarctan2 212sinuux 2211co

10、suux duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （3） 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法：解決方法：作代換去掉根號作代換去掉根號;necxbaxt 令令;nbaxt 令令).sec(tan22taxtaxax).sin(tan22taxtaxxa25613xIdxxx例8求21(26)82:613xIdxxx解221(26)28613(3)4xdxdxxxx213ln6134arctan.22xxxc(造一個分子是分母的造一個分子是分母的導數(shù)導數(shù).)例例9 9.)1(a

11、rctan22 dxxxx xdxxxarctan)111(22 xxdxxdxxxarctanarctan)1(arctan12 xxdxxdxxxarctanarctan)1(21arctan1222.)1ln(21ln)(arctan21arctan122cxxxxx (97考研題考研題)例例1010解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 幾種常見技巧幾種常見技巧:1. 循環(huán)現(xiàn)象循環(huán)現(xiàn)象:

12、arctan23(1)xxeIdxx例11求arctan2:1xxIdex解arctanarctanarctan3222211(1)xxxxexeedxxxxarctan211.21xxIecxarctanarctan32221(1)xxxeedxxx2. 折項抵消法折項抵消法:11(1).xxIxedxx 例12求1121:(1).xxxxIedxxedxx解11xxxxedxxde1111.xxxxxxxxedxxeedxxec211:()1)xxx (注注注: 遇到不可積的積分只能采用折項抵消法遇到不可積的積分只能采用折項抵消法sincos,xexxdxdxdxxxx221,sin,ln

13、xdxedxx dxx21ln(ln )xIdxxx例13求2ln1:(ln )xxxIdxxx 解2(ln(ln )(ln )dxd xxxxxxx1.(ln )lnlndxxxdcxxxxxx1.xe dx3. 二項代換法二項代換法:2411xIdxx例14求2222111():11()2d xxxIdxxxxx解1211arctan.222t xxxdtxct 4. 遞推法遞推法:211nnIdxxx例 15求的 遞 推 公 式 .211:1nnIdxx解22(1)111nnxxd xx221211(1)nnxxndxxx22222111nnxxd xd xxxx其 中2211ndxxx

14、2211nnndxIIxx222211112(1)().(1)1nnnnnnnxxnInIIIIxnxn 5. 關(guān)于絕對值的積分關(guān)于絕對值的積分(11).Ixx dx例16求2122,0,2:,0.2xcxxdxxcx解.2x xxdxc11Ixdxxdx1(1)1(1)1.2xxxxc )(xf),(aa)(xf例例17 設(shè)設(shè)為上的連續(xù)偶函數(shù)，證明的原函數(shù)中恰有一個是奇函數(shù).證：令證：令0( )( ),(, )xxf t dt xa a 那么000()( ) ()( )( )xxxxf t dt tufu duf u dux )(x)(xG)(xf為奇函數(shù)，設(shè)也是的一個原函數(shù)，且為奇函數(shù)，那

15、么 ( )( )(1)G xxC)()(xGxG( )( )(2)G xxC(1)(2):0C 由和得且 ，(00年競賽題年競賽題)()()GxxC2sin2 cos1tdxxxt求例例 18 （2000年省競賽題）年省競賽題） 222cossinsincos(cos )sin1 ()sinxtdttdxxtxtttcosarctan.sinxtct解：原式解：原式 x(注: 為變量,t是常數(shù))2sincos.(04(cossin )xxxdxxxx例19求省競賽題)Cxxtan1122sincos/cos(1tan )xxxxdxxx原式=22sin cos()( sectan )cosxx

16、xdxxxx dxxtan(1tan ).dxxdxx 原式例例17(17(機動機動) )解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 設(shè)設(shè),1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上連續(xù)上連續(xù)在在xf).(xF則必存在原函數(shù)則必存在原函數(shù).1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF須處處連續(xù)，有須處處連續(xù)，有又又)(xF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即,1CC 聯(lián)聯(lián)立立并并令令.1,2132CCCC 可可得得.1,12111,211,21,1max

17、22 xCxxCxxCxdxx故故定積分第第 二二 講講一一. 基本概念基本概念:1. 定義定義:01( )lim(.)nbiiaif x dxfx2. 性質(zhì)性質(zhì):(3) dxxfba )(dxxfba )(.（5）. (估值定理估值定理)設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，（6 6）. .（定積分中值定理）（定積分中值定理）如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則 在在 積積 分分 區(qū)區(qū) 間間,ba上上 至至 少少 存存 在在 一一 個個 點點 使使dxxfba )()(abf . . )(ba 當當函函數(shù)數(shù)

18、)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理2 2定理定理3 3 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，則則)(xf在在區(qū)間區(qū)間,ba上可積上可積. .3. 定積分存在定理定積分存在定理定理定理1 1, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 4、定積分的幾何意義二二. 定積分的計算定積分的計算:.3.bbbaaaudvuvvdu1.( )( )( )baf x dxF bF a( )baf x dx4. 幾個重要的結(jié)論幾個重要

19、的結(jié)論:aaadxxfxfdxxf0.)()()(2) 若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),那么 0.( )( )a TTaf x dxf x dx2200(3)sincosnnnIxdxxdx nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)22011,0,1( )(1).1,0.1xxxf xf xdxxe 求例設(shè):1,xt 解令2101(1)( )f xdxf t dt012101111xdxdxex11ln2ln(1).4e 119911(1)()2 (91.xxxxeedx例省競賽題) 求:,xxee解為奇函數(shù)1042().xxx

20、eedxe原式例 3. （96年省競賽題）2| |1.xxedx求 0210:xxxe dxxe dx解原式1223.eeC)(xfy 1l2lC)(xfdxxfxx)()(3 0 2例例 42019年考研題）年考研題） 的方程為，點3，2是它的一個拐點，與分別是曲線在點0，0與3，2處的切線，其交點為具有三階連續(xù)導數(shù)，計算定積分.（2，4）.設(shè)函數(shù)如圖，曲線直線dxxfxx)()(3 0 220416|)(216)(22)2(7)(2|)() 12()() 12()() 12(|)()(303 0 3 0 303 0 3 0 302xfdxxfdxxfxfxdxxfxdxxfxxfxx yl

21、1l2y=f(x)C12341234xO解：解： (3)0.f (0)2,f (3)2.f )(xf122300( )( )( )f xxxf x dxxf x dx)(xf例 5 (00省競賽題) 設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，求. 10( )Af x dx20( )Bf x dx32)(BxAxxxf1230111()234AxAxBx dxAB22308()243BxAxBx dxAB解：設(shè)解：設(shè)，那么 （3分）183BA，3283)(xxxxf由上兩式解出21( )txf tedx設(shè)120( )t f t dt2211112220010( )txxtt f t dtdtt edxdtt edx 22

22、11230001 3xxxdxt edtx edx 1201 ()6uue duux 例例 696年省競賽題）年省競賽題），求解法1： （2分）分） 11011(1)(21)66ueue 133311120000( )( )( )( )333tttt f t dtf t df tf t dt213013tt edt 1201 ()6uue duux 11(21)6e解法2： 例例 72000年省競賽題）年省競賽題）xxfxfsin)()(, 0,)(xxxf3( )f x dx設(shè)，且，求 3( )f x dx320 () sin( )( )0f xx dxxtf t dt2220( ) ()s

23、in 2tdtf t dtf tt dt2022tuudu2222222解：解：211( )(1) sin(0),2txxf xdt tttnnfn1sin)(lim例 8 設(shè)求.22221111( )(1) sin(1) sin222tnnxnnf ndt txxdxtxxt,),(21sin)211 (22nnnn1( )sinlimnf nn解：解： （2000年省競賽題）年省競賽題）22111lim(1)sin2 sin()2nnnn122.e原式232111sin111()sinsinsin.111nnnnnnnnnnnnnn例例 9 （1994年考研題）年考研題） (1) 設(shè)dxx

24、NxdxxxM22434222)cos(sincos1sin，dxxxxP22432)cossin(，則有MPN A)(NPM B)(.)(PMN C.)(NMP D應(yīng)選【D】.:0.M 解422cos0.Nxdx422cos0.Pxdx三三. 定積分的幾類典型問題定積分的幾類典型問題:1. 處理變上限定積分處理變上限定積分:( ) , . ( )( , ).f xa bxa b若在上連續(xù)在內(nèi)可導( )( )( ),( )( ( ) ( ).xaF xf t dtF xfxx則( )( )( )( ) ,( )( ( ) ( )( ( ) ( ).xg xF xf t dtF xfxxf g

25、x g x則,100( )xf x當時連例續(xù),且滿足2(1)0( ).(2).xxf t dtxf求.1提示:兩邊求導,令x=1,得f(2)=5( )|( ),bag xxt f t dt axb)(tf,ba( )0,f t )(xg),(ba例例 11 設(shè)設(shè)其中在上連續(xù)，且證明:在內(nèi)是單調(diào)增加的.( )() ( )() ( )xbaxg xxt f t dttx f t dt( )( )( )( )xxbbaaxxxf t dttf ttf t dtxf t dt證明：證明： 0000( )()()()()()()xbxbaxaxg xf t dtf t dtf t dtf t dtf t

26、 dtf t dt0)(2)( xfxg( )g x單調(diào)增加.（02年省競年省競賽題）賽題）)(xf)(xfxdttxf tx0)()(xf具有連續(xù)導數(shù)具有連續(xù)導數(shù), 且滿足方程且滿足方程, 求求例12 設(shè):解由 于 被 積 函 數(shù) 含 有 變 上 限 x . 故 不 能,xx直 接 對求 導先 作 變 量 代 換先 把從,被 積 函 數(shù) 中出 來拿使 被 積 函 數(shù) 表 達x式 與無 關(guān) .00()()()( ):xxtfxt dtxtuxu fu du 解令0( )( ).xxf xuf u du0( )( )( ).xf xxxf xuf u du( )1( )ln(1( ).fxf x

27、f xxc 1( )(0)0,0,( )1.x cxf xefcf xe (99年考研題年考研題).例13 .設(shè))(xf是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 證明證明:0( )stItf tx dx只與只與s有關(guān)有關(guān), 其中其中t0,s0.0:,( )( )(0).stxuIf u duF sF證令則(87年考研題年考研題).設(shè)8.例例 14 （2019年考研題）年考研題） )(),(xgxf在0,1上的導數(shù)連續(xù)，且0)(, 0)(, 0) 0 (xgxff證明：對任何 1 , 0a，有1 0 0 ) 1 ()()()()()(gafdxxgxfdxxfxga設(shè).證法一：設(shè)證法一：設(shè)x 1 0 0( )(

28、) ( )( ) ( )( ) (1), 0,1F xg t f t dtf t g t dtf x gx那么)(xF在0,1上的導數(shù)連續(xù)，并且 )1 ()()() 1 ()()()()(gxgxfgxfxfxgxF由于 1 , 0 x時；0)(, 0)(xgxf因而0)(xF，即)(xF在0,1上單調(diào)遞減.:.ax技巧 把改為注意到 1 0 1 0 ) 1 () 1 ()()()()() 1 (gfdttgtfdttftgF而 1 0 1 0 1 0 10)()(| )()()()()()(dttgtftftgtdftgdttftg 1 0 )()() 1 () 1 (dttgtfgf故0)

29、 1 (F因而 1 , 0 x時，0)(xF，由此可得對任何 1 , 0a有 1 0 0) 1 ()()()()()(gafdxxgxfdxxfxga證法二證法二: aaadxxgxfxfxgdxxfxg 0 0 0)()(| )()()()(adxxgxfagaf 0 )()()()( 1 0 0 101 0 00 1 a( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )aaag x fx dxf x g x dxf a g af x g x dxf x g x dxf a g af a g af x g x dx由于 1 , 0 x時，0

30、)(xf，因而)(xf在0,1上單調(diào)遞增， 1 ,),()(axafxf又由于 1 , 0 x時，0)(xg，因而 1 , ),()()()(axxgafxgxf)() 1 ()()()()()(1 a 1 a aggafdxxgafdxxgxf從而) 1 ()()() 1 ()()()()()()()(1 0 0 gafaggafagagdxxgxfdxxfxga例15 設(shè))( xf在在), 0( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),25) 1 (f, 對任意對任意), 0(,tx滿足滿足111( )( )( )txxtf u dutf u duxf u du,求求)(xf. 解: 對x求導,識t為參數(shù).1()(

31、 )( )ttf xttf xf u du1551,(1),( )( ).22txftf ttf u du令由得5,( )( )( ).2tf ttftf t對 求導55( )( )ln.22f tf ttct555(1),( )(ln1).222fcf xx由得( )0,)f x在220(3 ) ( )0 xxtf t dt220( )(3 ) ( )xF xxtf t dt2200( )( )3( )xxF xxf t dtt f t dt22200( )2( )( )3( )2( )2( )xxF xxf t dtx f xx f xxf t dtx f x例例 1691年省?？聘傎愵}）

32、年省?？聘傎愵}）設(shè)設(shè)上的單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，試證明： 證：記，那么 （2分） （2分） , 0 x0( )( )xf t dtfx)()(2)(2xffxxF應(yīng)用積分中定理，知存在，使得. . )(xf), 0 )()(xff0)( xF)(xF), 0 00 ）（F0)(xF由于在上單調(diào)減少，故，從而 （2分）在上單調(diào)增加，又，. 得證. )(xf,ba( )( )0bbaaf x dxxf x dx)(xf),(ba例例 17 設(shè)設(shè)在上連續(xù)，且，證明在上至少有兩個零點.( )( ),xaF xf t dt:( )( )0F aF b則)(xF,ba)()(xfxF),(1ba0)(1F0)

33、(1f證明：證明： 令令在上連續(xù)， ，由羅爾定理，使即（00年省競賽題）年省競賽題）(技巧技巧)(xf),(ba1x( )0baf x dx )(xf),(1a),(1b),(bax1x1()( )0 xf x假設(shè)在上只有一個零點，因，可知在與上異號，因而當，且時 （或0）.1() ( )0baxf x dx11() ( )( )( )0bbbaaaxf x dxxf x dxf x dx),(ba)(xf故從而導出矛盾，故在上至少有兩個根零點）. 例例 182019年考研題）年考研題）)(xf連續(xù)，且201(2)arctan2xtfxt dtx知1) 1 (f求dxxf21)(的值.txu

34、2，那么dudtuxt，2，02(2)(2) ( )xxxtfxt dtxu f u du于是22212( )( )arctan .2xxxxxf u duuf u dux設(shè)函數(shù)解：解： 令令222( )( ).xxxxxf u duuf u du上式兩邊x求導，得)(1)(242xxfxxduufxx1,x令得23121)(221duuf213( ).4f x dx 10100)()1 ()(dxxfxdxdttfx例例 19 證證 證證:11000( )( )xxf t dtxf x dx左邊1100( )( )f t dtxf x dx10(1) ( ).x f x dx2. 關(guān)于積分等

35、式的證明關(guān)于積分等式的證明:方法方法: (1) 變量代換變量代換, (2) 分部積分分部積分, (3) 微分法微分法 (4) 中值定理。中值定理。例 20 設(shè))(xf)(xg,在在)0(,aaa內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),)(xg為偶函數(shù)為偶函數(shù), 且滿足且滿足Axfxf)()(1).證證0( ) ( )( )aaaf x g x dxAg x dx(A常數(shù)常數(shù)).(2) 計算計算22|sin|arctan.xxe dx001): ( ) ( )() ()( ).aaaaf x g xfx gx dxAg x dx證(2).( )arctan,( )sin.xf xeg xx令(arctanarctan)0

36、 xxee(arctanarctan),0,.xxeeA令x得A=222|sin|arctan.xxe dx20sin.22xdx)(xf 1 , 010( )0f x dx 1 , 0)()1 (ff例例 21 （98年省競賽題）年省競賽題）在上連續(xù)，且試證：存在，使.100( )( )( )xxF xf t dtf t dt0) 1 ()0( FF 1 , 00)(F)()1 (ff證明：令證明：令由于，由羅爾定理得，存在使得即:.設(shè)設(shè)(技巧技巧)例例 22 (96年省競賽本科三級年省競賽本科三級)00( )(sin )(sin ).2f xxfx dxfx dx設(shè)是連續(xù)函數(shù),證明:220

37、sin.3sin4 cosxxdxxx并 求000:() (sin )(sin )(sin )xtIt ft dtft dttft dt 證左00(sin )(sin ).2xfx dxfx dx2200sinsin4sin24sinxxxdxdxxx原式220cos.23cos6 3dxx 3. 關(guān)于積分不等式的證明關(guān)于積分不等式的證明:法法1: 利用定積分性質(zhì)利用定積分性質(zhì).)(xf 1 , 0, 2)(1xf.89)()(1010 xfdxdxxf例例 2323在在上連續(xù)上連續(xù), ,且且證證:1( )2, ( ) 1 ( )20.f xf xf x證22( )3 ( )20,( )3.(

38、 )fxf xf xf x11002( )3.( )f x dxdxf x111100002( )2 2( ).( )( )dxf x dxdxf x dxf xf x而平方得平方得結(jié)論結(jié)論.例24 設(shè)40tannnIxdx,證明證明(1) ,112nIInn (2) 1( 21) 1( 21nInn222442001(1)tan(1tan)tantan1.nnnnIIxxxdxn證11.,12(1)nnIInnn+2證(2):I假設(shè)則21,2(1)nIn于 是111(1)2(1)2(1)1nInnnn+2I與矛盾,故結(jié)論成立.1.2(1)nIn同理可證(01年考研題年考研題)例例 2594年

39、省競賽題）年省競賽題）1440:ln(12)11dxx證明 )0(11144x x，1110 44xdx)0(1211242444x xxxx，4421111xx證明：證明：因而因而 1142400ln(12)11dxdxxx1440ln(12)11dxx因而即. 例 26 設(shè))(xf在在2 , 0上單調(diào)增加且連續(xù)可微上單調(diào)增加且連續(xù)可微, 證明證明:202|( )sin| (2 )(0)f xnxdxffn(98年省競賽題年省競賽題).，22001( )sin( )cosfxnxdxfx dnxn 220011( )cos|( )cosfxnxfxnxdxnn 2011( (2 )(0)(

40、)cosfffxnxdxnn 證法證法 1: 0)( xf)(xf2 , 0)0()2(ff，故在上單調(diào)增加， 20011|( )sin|( (2 )(0)( )|cos|2f xnxdxfffxnx dxn2011( (2 )(0)( )fffx dxnn)0()2(2ffn:( )0,1cos2,fxnx證法 222001cos|( )sin|( )nxf xnxdxf x dn22001cos2( )( )nxfx dxfx dxnn2(2)(0).ffn)(xf 1 , 010yx|arctgarctg| )()(|yx yfxf0) 1 (f101|( )| ln22f x dx例例

41、 2796年本科三級競賽題）年本科三級競賽題）在區(qū)間上可積，當時,又，求證.1y) 10(arctg4|4arctg| )(|x xx xf111000|( )| |( )|(arctg )4f x dxf x dxx dx1112200011( arctg )ln(1)ln24122xxxdxxx證：以證：以代入得 （3分）設(shè)設(shè)例 28 設(shè))(, 0 xfa在在, 0a上連續(xù)上連續(xù), 證證:001|(0)|( )|( )|aaff xdxfxdxa0:( )( ) .0, .af x dxa fa證由積分中值定理,0( )(0)( )fffx dx而0(0)( )( )fffx dx)0(0

42、1( )( )aaf x dxfx dxa區(qū)間放大(2) 利用積分中值定理利用積分中值定理:例 29 設(shè))(xf在在 1 , 0上連續(xù)上連續(xù), 在在) 1 , 0(內(nèi)可導內(nèi)可導, 且且.)(3) 1 (31012dxxfefx證明證明: 存在存在),1 , 0(使使).(2)(ff211111:( ).0.31,ef由積分中值定理證,f(1)=法211( )( ),( ) ,1,1),xF xef xF x1令則在上連續(xù),在(內(nèi)可導且21111(1)(1)()().FfefF1( ,1), 由羅爾定理,知使21( )( )2( )0.Feff( )2( ).(0,1).ff于是22:( ) 2

43、 ( )( )12( ).xxf xxf xf xeef x證由結(jié)論法2211111( ),(1)( ).(0, ).3xef xfef令F(x)21111(1)( )().e fefF令F(1)( )0.F)(xf 1 , 0) 1 , 0(, 1)(0 , 0)0(xff.)()(103102dxxfdxxf在在上連續(xù)上連續(xù), 在在內(nèi)可導內(nèi)可導, 且且證證例 30 設(shè):證:要證112300( )( )0.fx dxfx dx2300( )( )( )0.(0)0.xxxf t dtft dtF設(shè)F則30( )2 ( )( )( )xF xf xf t dtfx20( )( )2( )( )

44、xF xf xf t dtfx(技巧技巧)(0)0,( ),( )0.ff xf x20( )2( )( )xG xf t dtfx令( )2 ( ) 2 ( ) ( )2 ( )1( ) 0,G xf xf x f xf xf x(0)0,( )0,( )0, (1)0.GG xF xF( )G x.即不等式成立例例 31 證柯西積分不等式證柯西積分不等式:222( ) ( )( )( ).bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx2:( )( )0,f xg x證222( )2( ) ( )( )0.bbbaaafx dxf x g x dxgx dx,0.AC2上式是關(guān)于 的二

45、次三項式 其判別式B222( ) ( )( )( ).bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx故222( ) 2( ) ( )( ) 0.f xf x g xg x20:sin.2 2xxdx例32證22222000:sin.8xxdxxsinxdx證20sin.2 2xxdx( )0,1,(0)0,(1)1.f xff設(shè)在上可做 且例 33120:( )1.fxdx證11122000:( )( )1.fx dxfx dxdx證112200( )( )1.fx dxfx dx( )0,1f x設(shè)在上單調(diào)增加且連續(xù),f(0)例34=0,證:1122003 ( )4( ).f x dx

46、fx dx:1證 方法用柯西積分不等式22000()()1()xxxfxfx dxdxfx dx20()xxfx dx11112200003 ( )3( )2( ).f x dxxdxfx dxfx dx120()xfx dx.平方得結(jié)論11002.()( )( ) (1)f x dxf x d x方法分部積分111000(1) ( )(1)( )(1)( )xf xxfx dxx fx dx11222001(1)( )( )3xdxfx dxfx dx兩邊3,再平方得結(jié)論.(機功機功)120135( )0, 01,:()( ).3fxxf xdxf例設(shè)證明1111:,( )( )().333

47、3xyffx證在處作切線( )0,( )0,1,fxyf x曲線在上是向下凹的( )f x 111( )( )().333ffx2()f t故2111( )( )().333fft111220001111()( )( )()( ).3333f x dxfdxfxdxf四四. 廣義積分廣義積分: adxxf)( babdxxf)(lim( )aF x( )f x dx0lim( )aaf x dx0lim( )bbf x dx badxxf)( badxxf )(lim0(a為瑕點).注注: 技巧技巧: 化定積分作化定積分作例例 351991年考研題）年考研題） 求3242) 1(xxxdx.解

48、：解：424233,(1)2(1)(1)1dxdxxxxxxsec1xsectandxd 令，那么故 原式 24 3sectandsectan223(1sin)cos d 23 3.3820(1)(1)dxIxx例 36 求 （為實數(shù)）.101I2 0122 1 10211 11(1)(1)(1)(1)(1)(1)dtdxt dttxxxttttt120(1)(1)x dxxx1122001(1)(1)14xdxIdxxxx解法解法 1： （2000年省競賽題）年省競賽題） 22 0 0costan1tansincosdttdtxtttt 2 0sincossinuduuuut2解法二：解法二

49、： 原式原式 2 01sincos2sincos4uuIduuu 20lnsin.Ixdx例求37240:2lnsin2.xtItdt 解402ln(2sin cos ).tt dt402(ln2lnsinlncos ).tt dt24402lncoslnsin.tutdtudu而24lnsin.udu4204ln22lnsin2lnsin.2Itdttdtln22 .ln2.22III (02省競賽題省競賽題)第第 三三 講講定積分應(yīng)用定積分應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式一、定積分應(yīng)用的常用公式1 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy (1)( )baAf x dxxyo)(1xfy

50、)(2xfy 21(2)( )( )baAfxf x dxAA直角坐標情形直角坐標情形abab如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積21( )( )ttAtt dt（其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）(3) 參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)21 ( )2Ad xo d )( xo)(2 )(1 22211( )( )2Ad (4) 極坐標情形極坐標情形 二二. 體積體積xdxx xyo2 ( )bxaVf xdx2 ( )dycVydy xyo)(yx cd2| ( )|byaVx

51、 f x dxxo( )baVA x dxxdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA( , )DVf x y dxdydv三三. 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長21basy dxA曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)弧長弧長22( )( )stt dt)(xfy B曲線弧為曲線弧為C曲線弧為曲線弧為( ) ()弧長弧長22( )( )sd(1) 細棒的質(zhì)量細棒的質(zhì)量oxdxx )(x xl0( )lmxdx五. 物理應(yīng)用四四. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積b

52、xaxfy , 0)(22( ) 1( )baSf xfx dx側(cè)xyo)(xfy xdxx (2) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(3) 水壓力水壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為比重為比重 (5) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為為引引力力系系數(shù)數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(1AB），（001已知點與的直角坐標分別為 與 ），（110.線段 AB繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為 S.求由 S及兩平面 1, 0zz

53、所圍成的立體體積 .解：直線AB的方程為1111zyx，即 .,1zyzx在 z軸上截距為 z的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面為一個圓，此截面與 z軸交于點 ）（z ,Q00，與 AB交于點 ),1 (1zzzMzyxBOM1QA，故圓截面半徑222221)1 ()(zzzzzr例例 11994年考研題）年考研題）從而截面面積 )221 ()(2zzzS，旋轉(zhuǎn)體體積32)221 (102dzzzV例例 2 2、（、（20192019年考研題）年考研題）2xxeey 0 ) 0( , 0yt txx及曲線與直線邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為V(t)，側(cè)面積為S(t)，在處的底面積為F(t).

54、圍成一曲邊梯形.該曲.)()(limtFtSt（I求的值; （II計算極限dxyytSt2012)(22022124xxxxteeeedxtxxdxee02, 22解：（解：（I） txxdxeetV02, 2)( )2 .( )S tV tx t( )( )s tv t222 )(tttxeeytF 222lim)()(lim20 2tttxxtteedxeetFtS222 lim222 ttttttteeeeee. 1limttttteeee（II） 例例3 3 （20192019年考研題）年考研題）軸圍)(1ln000 xxxxy01ln0 xex 0由該切線過原點知，從而所以該切線的方

55、程為xylnxylnxD過坐標原點作曲線的切線，該切線與曲線及.成平面圖形DADex V（1求面積；繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.（2求0 xxyln00ln,xx解：（解：（1 1設(shè)切點的橫坐標為設(shè)切點的橫坐標為，則直線在點（）處的切線方程是xey1101()1.2yAeey dyexey1xex ex （2切線與軸及直線所圍成的三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為21 31eVxylnxex ex 曲線與軸及直線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為dyeeVy2102)(因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為21221201 ()(5123)36yVVVeeedyee.2()R H4圓錐體V=3,yxe

56、 xe兩曲線:之距,ydee(2) 方法方法2:,:.yyxxe 作 平 移1.xyxye ee2.yylnxxee111200Vx dyx dy112200()()yyee dyee dy2(5123)6eeC）（ 10,xCxC例例6 （96年本科三級競賽題）年本科三級競賽題）經(jīng)過點,且位于軸上方.就數(shù)值而言，上任何兩點之間的弧長都等于該弧以及它在軸上的投影為邊的曲邊梯形的面積，求的方程.C)(,(00 xfx002( )1( )xxxxf x dxfx dxx2( )1( )f xfx21yy12yy解：在解：在上任取定點，那么，對求導得即 dxydy12xceyy12）（ 10,1cxeyy12分離變量得.積分得 （4分）以初始條件代入得，所求的方程為 設(shè)曲線設(shè)曲線2xy y例例 7 設(shè)一容器由平面曲線設(shè)一容器由平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成，今以10cm3/s的速度向容器內(nèi)倒水，求水面上升到60cm時水面上升的速度.ty220110(0)2yVtx dyyyty20ty5解：解： 設(shè)經(jīng)過時間設(shè)經(jīng)過時間秒，水面上到高度cm，則此時貯水的體積為 60y180t60y611805|2180tdtdy時故當時，水平面上升速度為cm/s.（02年省競賽題）年省競賽題）221(0)abab