將軍飲馬模型

1、將軍飲馬模型一、背景知識(shí)：【傳說(shuō)】早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題.將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)， 先到河邊飲馬， 然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開(kāi)會(huì)， 應(yīng)該怎樣走 才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的答案并不難， 據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它. 從此以后，這個(gè) 被稱為“將軍飲馬”的問(wèn)題便流傳至今.【問(wèn)題原型】將軍飲馬造橋選址 費(fèi)馬點(diǎn)【涉及知識(shí)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系； 軸對(duì)稱；平移；【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直二、將軍飲馬問(wèn)題常見(jiàn)模型1.兩定一動(dòng)型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小例1:在定直線I上

2、找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB與直線I的交點(diǎn)Q,Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處,PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點(diǎn)之間線段最短。證明：連接AB,與直線I的交點(diǎn)QP為直線I上任意一點(diǎn)，在PAB中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+P匡AB（當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取=）例2：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小,即PA+PB的和最小.關(guān)鍵：找對(duì)稱點(diǎn)作法：作定點(diǎn)B關(guān)于定直線I的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC，與直線I的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn)， 即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點(diǎn)之間

3、，線段最短證明：連接AC,與直線I的交點(diǎn)QP為直線I上任意一點(diǎn)，在PAC中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+P&AC（當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取=）2.兩動(dòng)一定型例3：在/MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A,在0M上找一點(diǎn)B,在ON上找一點(diǎn)C,使得BAC周長(zhǎng)最短.作法：作點(diǎn)A關(guān)于0M的對(duì)稱點(diǎn)A,作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A?，連接AA,與0M交于點(diǎn)B,與ON交于點(diǎn)C,連接AB, AC,AABC即為所求.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短例4:在/MON的內(nèi)部有點(diǎn)A和點(diǎn)B,在OM上找一點(diǎn)C,在ON上找一點(diǎn)D,使得四邊形ABCD周長(zhǎng)最短.作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A,作點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B ?，連接A B，與OM交于點(diǎn)C,

4、與ON交于點(diǎn)D,連接AC, BD AB,四邊形ABCD即為所求.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短3.兩疋兩動(dòng)型最值例5:已知AB是兩個(gè)定點(diǎn)，在定直線I上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N,且MN長(zhǎng)度等于定長(zhǎng)d（動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè)），使AM+MN+N的值最小.作法一：將點(diǎn)A向右平移長(zhǎng)度d得到點(diǎn)A,作A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB,交直線I于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向左平移長(zhǎng)度d,得到點(diǎn)M作法二：作點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A,將點(diǎn)A1向右平移長(zhǎng)度d得到點(diǎn)A2,連接AB, 交直線I于點(diǎn)Q,將點(diǎn)Q向左平移長(zhǎng)度d,得到點(diǎn)Q。原理：兩點(diǎn)之間，線段最短，最小值為AB+MN（造橋選址）將軍每日需騎馬從軍營(yíng)出發(fā)，去河岸對(duì)側(cè)的了望臺(tái)觀察敵情，已知河

5、流的寬度為30米，請(qǐng)問(wèn)，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短?直線I1/I2,在直線l1上找一個(gè)點(diǎn)C,直線丨2上找一個(gè)點(diǎn)D,使得CDLl2,且AC+BM CD最短.將點(diǎn)A沿CD方向向下平移CD長(zhǎng)度d至點(diǎn)A,連接AB,交I2于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DCLI2于點(diǎn)C,連接AC.則橋CD即為所求.此時(shí)最小值為AB+CD4.垂線段最短型例7:在/MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A,在OMLh找一點(diǎn)B,在ON上找一點(diǎn)C,使得AB+ BC最短.例6：例6：作法:原理:兩點(diǎn)之間，線段最短,瓊望合原理：垂線段最短點(diǎn)A是定點(diǎn)，OM ON是定線,點(diǎn)B、點(diǎn)C是OM ON上要找的點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn).作法:作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作AC丄

6、ON交OM于點(diǎn)B,B C即為所求。在定直線I上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最小，即PA-P最小.0A此時(shí)|PA-PB|=OI最大例10：在定直線I上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PA-PB最大作法：作點(diǎn)B關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB,交交I于點(diǎn)P即為所求，最大值為AB的長(zhǎng)度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊作法:連接AB作AB的中垂線與I的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)原理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等例9： 在定直線I上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PA-PB作法：延長(zhǎng)BA交I于點(diǎn)C,點(diǎn)C即為所求,即點(diǎn)B、A、C三點(diǎn)共

7、線時(shí)，最大值為AB的長(zhǎng)度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊典型例題三角形1.如圖，在等邊厶ABC中，AB = 6,ADLBC E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE =2,求EM+EC勺最小值解：點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B,連接BE交AD于點(diǎn)M則ME+M最小, 過(guò)點(diǎn)B作BHLAC于點(diǎn)H,則EH = AH-AE = 3-2 = 1，BH = BC - CH2=62- 32= 33在直角BHE中，BE = BH + HE2=. (33)2+ 12= 272.如圖F中冷BAO45JMM的平分找交BC于點(diǎn)N制!Hl AD和AB_tm試解：作點(diǎn)B董于AD的對(duì)稱點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B柞B E丄于點(diǎn)E交AD

8、子點(diǎn)F,則TOBE的氏就是BMI *的敷Hi在等腰Rt-AEB中.樣據(jù)勾廠理導(dǎo)到.EE = A3+如圈出ABC中FAB=2 ZBAC=3O-若在AC, AB上音取一庶M, NrffiEM+MN的值母小,區(qū)!lig吟慢小廈_解：炸 AB 關(guān)于加的對(duì)碎尿 ABr鬭田作 EN 丄 AB,垂足九 N交胚于為 M ,S!16N = MB+MN = MS+ MNBN 的氏就晝 MB+MN 的最小值SSzBAN = 2zBAC= 60flrAB = AB = 2TzANB= 90s田=30AN 二 1在有角-AB N 中彳髒勾股連 SfBN -AN 2SPart2.正方形1如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,

9、M在DC上，且DM=2fN是AC上的 T）點(diǎn)，DN +MN的最小值為_(kāi)0踐AC上求一點(diǎn)N.使DN+MN帚小解:故作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B.連接BM ,交AC于點(diǎn)N。 則DN + MN=BN + MN=BM鵝BDN + MN地小值角BCM中，CM=6fBC = 8,則BM=10故DN + MN的最小值是102如圖所示f正方形ABCD的面積為12f乙ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD + PE的和最小,貝!1這個(gè)最小值為（）A.2寸3B 26C 3D #6解：即在AC上求一原P,便PE+PD的值最小點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)Bf連接BE交AC于點(diǎn)P.則BE二PB+PE二PD+PE ,BE的長(zhǎng)就是PD+PE的是小值BE = AB = 2/33在邊長(zhǎng)為2 on的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)后P為對(duì)角線AC上 T