一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(4)

1、18.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)目標(biāo)知識與能力：1在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2、能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系檢驗(yàn)兩數(shù)是否為原方程的根；3、已知一根求另一根及系數(shù)。過程與方法：通過韋達(dá)定理的教學(xué)過程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動 過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的 創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過情景教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用。難點(diǎn)：對一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的理解和推導(dǎo)。一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師：在上一節(jié)“一元二次方程的根的判別

2、式”中，我們講了一個(gè)小秘訣，就 是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情況。同學(xué)們還記得這個(gè)小秘訣是什 么嗎？生：通過“ ”的值來判斷一元二次方程的根的情況。當(dāng)“厶?！睍r(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)“=0”時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)“AVO”時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。師：回答的真好。其實(shí)啊，一元二次方程還有一個(gè)小秘密，而且是一個(gè)非常 重要的秘密，同學(xué)想知道嗎？生：想。師：那么這節(jié)課我們一起來探究這個(gè)秘密。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（板書課題）二、探索新知，解決問題1兩人一組，完成問題卡片上的表格 1.方程XiX2Xi +X2X1X2x2+3x+2=0x2+2x -1=0x2 >x F=

3、0表格1師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。生：師：若方程x2+px+q=0的兩根是x“ x2,你能用式子表示出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？生: Xi +X2 = -p，X1X2 = q師：是不是所有的一元二次方程都具有這樣的規(guī)律呢？ 生：不一定。師：為什么不一定呢？生：因?yàn)檫@幾個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)都是1,如果二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，可能就不存在這樣的關(guān)系了。師：同學(xué)們觀察的非常的仔細(xì)。那么對于一般的一元二次方程根與系數(shù)又會 存在著怎樣的關(guān)系呢？2、還是兩個(gè)同學(xué)一組，完成問題卡片上的表格 2。方程X1X2x1 +x2x1x29x2 -x+1=03x2 -x+1=03x2+7x+2=022x

4、+x+1=0表格2師：觀察表格2,你又有什么發(fā)現(xiàn)？你能用語言文字概括你的發(fā)現(xiàn)嗎？ 生：學(xué)生認(rèn)真思考，并回答。(學(xué)生總結(jié)的可能不是很全面，或者有的學(xué)生可能不能做出總結(jié)，要做適當(dāng) 的引導(dǎo)和補(bǔ)充)師：若一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a 啲兩個(gè)根為Xi、X2，你能用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？生：能。Xi +X2 _ - b， X1X2 = £。aa師：我們的猜想是否正確呢？生：思考回答。師：請同學(xué)們認(rèn)真閱讀課本34頁，看看課本上是怎么證明它的正確性的。設(shè)一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a 喲兩個(gè)根為Xi、X2， X1-b - b2 -4ac2aX2 二-b - . b2 -4ac

5、2ab -4ac - 01-b +- -b - J以 - 4ac-b + Jb，- 4ac - b - Jli? - 4ac 2-2b b=2? = "a '(學(xué)生1上黑板演示)-b + 7t-2 -4ac - b - Vb2 -4ac (-b)2 - (Vb2 -4ac)2 逍叼=兔* 爲(wèi)=Vb2 - b2 +4ac c=4? V(學(xué)生2上黑板演示)韋達(dá)定理：如果一元二次方程ax2+bx+c二0 (az0, A >0)的兩個(gè)根為x1、x2, 另E么，Xi +X2 二一b, X1X2 二£。aa三、應(yīng)用新知例1：已知關(guān)于x的一元二次方程x2 -6=(k+1)x

6、的一個(gè)根是2,求方程的 另一個(gè)根和k的值。方法1: 解:設(shè)一元二次方程x2 -6=(k+1)x的另一個(gè)根為xi,原方程轉(zhuǎn)化成一般式為：x2 -(k+1)x -6=0,二 a=1,b= -(k+1),c= -6由韋達(dá)定理，可知：-x1 +2=k+12 X1 = -6解得X1 = -3 Ik = -2方法2： x=2代入原方程中得，4-2(k+1) -6=0解得k = -2將 k =-代入原方程，得 X2 + X -6=0 (x+3)( x -42)=0/. x+3=0 或 x -2=0 即 X1= -3, X2=2答：方程的另一個(gè)根是k的值是例2:已知Xi +X2是方程x2 -x =3的兩個(gè)根，求Xi +X2M1X2 ,Xi2 +X22及Xi 2的值解：原方程轉(zhuǎn)換成一般形式為：X2-3=0.由韋達(dá)定理，可得Xi +X2=1, XlX2= -3222Xi +X2 =(Xi +X2) -2XiX2=i -2>( 43)=7(Xi 2)?=(Xi +X2)2 _4xiX2=1 汕)=13Xi -<2 = ± i3答：四、鞏固新知，提高認(rèn)知課本36頁，練習(xí)i,2,3,4.五、課堂小結(jié)i、韋達(dá)定理：如果一兀二次方程ax?+bx+c= 0 ( aM 0, >0)的兩個(gè)根為Xi、X2,那 么，Xi +x2 =