倍數(shù)和因數(shù)吳汝萍

1、彰顯智趣，用數(shù)學(xué)本身的魅力吸引學(xué)生以教學(xué)倍數(shù)和因數(shù)為例吳汝萍教學(xué)現(xiàn)場】 、有效引入，界定范圍師：今天我們要在這里上一節(jié)數(shù)學(xué)課， 我站在大家面前， 我們之間便建立了 一種什么關(guān)系？生：師生關(guān)系。師：在家里，爸爸和媽媽之間是什么關(guān)系？生：夫妻關(guān)系。師：爸爸和媽媽之間，誰是誰的誰？生：爸爸是媽媽的丈夫，媽媽是爸爸的妻子。師：是的， 人與人之間存在著這樣或那樣的的關(guān)系， 數(shù)與數(shù)之間也存在著這 樣或那樣的關(guān)系。這一節(jié)課，我們來認(rèn)識兩數(shù)之間的一種關(guān)系，也就是生：倍數(shù)和因數(shù)師：我們已經(jīng)認(rèn)識了很多的數(shù)，像二分之一、三分之一這些數(shù)是什么數(shù)？生：分?jǐn)?shù)。師：像 0.1、0.2、0.5 這些數(shù)是什么數(shù)？生：小數(shù)。師：

2、分?jǐn)?shù)、小數(shù)都是人類創(chuàng)造出來的數(shù)，像 1、2、3、4、5 等等都是自然界 中原來就存在的數(shù)，叫什么數(shù)？生：自然數(shù)。師：今天我們要研究的倍數(shù)和因數(shù)就是兩個非 0 自然數(shù)之間的一種關(guān)系。說明】引入簡潔有趣。先讓學(xué)生借助關(guān)鍵句式“誰是誰的誰”來說清楚人與人之間的某些關(guān)系，為后面理解、描述數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系埋下伏筆。接著讓學(xué)生回憶學(xué)過的數(shù)，界定倍數(shù)和因數(shù)是兩個非零自然數(shù)之間的一種關(guān)系。如此引入，學(xué)生的注意力一下子就指向兩個非零自然數(shù)之間的關(guān)系，課伊始， 趣已生。、認(rèn)識倍數(shù)和因數(shù)出示：3和 12。師：想一想，這兩個自然數(shù)之間存在著怎樣的倍數(shù)關(guān)系？生：12是 3 的倍數(shù)。生：3的4倍是 12。師：能用一道乘法

3、算式來表示 3 和 12 之間的倍數(shù)關(guān)系嗎？生：3X 4=12。師： 3的4倍是 12， 4也是非零自然數(shù)，也就是 3和12之間存在著整倍數(shù)關(guān)系。請大家憑感覺猜想一下，誰是誰的倍數(shù)？誰是誰的因數(shù)？生： 12是 3的倍數(shù)， 3是1 2的因數(shù)。師：感覺真好，與數(shù)學(xué)家想到一塊去了。3 和 1 2存在著整倍數(shù)關(guān)系，數(shù)學(xué)家就這樣規(guī)定了它們之間的關(guān)系： 1 2是3的倍數(shù)， 3是1 2的因數(shù)。師：現(xiàn)在， 請大家在頭腦中任意想出兩個非零自然數(shù)， 它們之間正好也存在 著整倍數(shù)關(guān)系，然后相互說說這兩個自然數(shù)之間“誰是誰的誰”？出示： 0.1 、1 、6、9、18師：這里有 5 個數(shù)，哪些是自然數(shù)？哪兩個自然數(shù)之間

4、存在整倍數(shù)關(guān)系？找 出其中的 2 個說一說，“誰是誰的誰”？交流后討論：能否說 6是因數(shù)， 18是倍數(shù)？能否說 1是0.1 的倍數(shù)？ 0.1是 1 的因數(shù)？師： 4 和 12之間存在著整倍數(shù)關(guān)系嗎？ 4和 12之間，誰是誰的誰？生：12是 4的倍數(shù)，4是 12的因數(shù)。師：根據(jù)3X4=12可以斷定，12是3的一一倍數(shù)，12也是4的一一倍數(shù)；3 是 12 的因數(shù)， 4也是 12的因數(shù)。讓學(xué)生根據(jù)3X 4=12這道算式，把這3、4、12這幾個數(shù)之間的關(guān)系說清楚。出示：11X 4=44 15 X 1=158-2=4 5 - 1=5讓學(xué)生說一說每道算式中，誰是誰的誰？師：如果用a、b、c表示三個非0自然

5、數(shù)，而且aX b=c,那么，a、b、c之間誰是誰的誰？能分得清楚嗎？誰來說說看？生：c是a的倍數(shù)，c也是b的倍數(shù)，a是c的因數(shù)，b也是c的因數(shù)。說明】直接讓學(xué)生從熟知的兩個自然數(shù)的整倍數(shù)關(guān)系入手，讓學(xué)生憑感覺猜想出 3 和 12之間“誰是誰的誰”， 學(xué)生通過有意義的建構(gòu)，初步感知了1 、6、9、倍數(shù)和因數(shù)是兩個非零自然數(shù)之間的一種關(guān)系。然后，讓學(xué)生任意想兩個存在 著整倍數(shù)關(guān)系的非零自然數(shù)，說出“誰是誰的誰”，再讓學(xué)生說說“18、 0.1 ”這 5 個數(shù)中 “誰是誰的誰”，學(xué)生進(jìn)一步明白倍數(shù)和因數(shù)是兩個非 零自然數(shù)之間的一種關(guān)系。最后讓學(xué)生說乘、除法算式中數(shù)與數(shù)的關(guān)系，為后 面借助乘法算式找一個

6、數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)打下了堅實的基礎(chǔ)。每個環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué) 得明白，學(xué)得輕松。三、學(xué)習(xí)找一個數(shù)的倍數(shù)師：12是 3的倍數(shù)，想一想， 3 的倍數(shù)是不是就 12這一個數(shù)？嗎？生：不是，有很多。師:你想到了哪個數(shù)也是 3 的倍數(shù)？能按從小到大的順序把 3 的倍數(shù)寫出來學(xué)生在練習(xí)本上寫 3 的倍數(shù)。師：你能把 3 的倍數(shù)一個一個全部都寫出來嗎？生：不能。師：為什么呢？生：非零自然數(shù)的個數(shù)有無數(shù)個， 每個非零自然數(shù)和 3乘都是 3的倍數(shù)，所以 3 的倍數(shù)也有無數(shù)個，寫不完。師：能不能借助一個標(biāo)點符號來幫忙，將 3 的倍數(shù)都表示出來呢？生：省略號！師：好方法，請寫出前面的幾個后，在后面點上省略號。師： 3的倍數(shù)有哪

7、些？誰能按一定順序說一說？生：3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18師；有不一樣的寫法嗎？生：3的倍數(shù)有6、9、12、15、18、21師：他們寫的有什么不一樣？生：一個是從 6開始寫的，一個是從 3開始寫的。師：哪種寫法是把 3 的倍數(shù)都表示出來了？生：從 3 開始寫的。師：好,千金難買回頭看,我們回頭思考一下,剛剛大家是怎么找到 3的所有倍數(shù)的？生：想3的乘法。【出示：3X( ) = ( )!師：只要前面的這個括號里填的都是非零自然數(shù),這樣算出的積就都是 3的倍數(shù)。前面這個括號里最小填幾？生：最小填1, 3X 1=3。師：后面依次是生: 3X 2=6, 3X 3=9師： 3 的倍數(shù)有無數(shù)個，

8、寫出前面的幾個后，后面添上生：省略號。讓學(xué)生找出 2 的倍數(shù)和 5 的倍數(shù)。師：觀察這幾個數(shù)的倍數(shù),有沒有發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的倍數(shù)有什么特點？學(xué)生討論得出： 一個數(shù)最小的倍數(shù)是它的本身, 沒有最大的倍數(shù)。 一個數(shù)倍 數(shù)的個數(shù)是無限的。說明】先讓學(xué)生找 3的倍數(shù),在寫的過程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn) 3的倍數(shù)有很多個,根本寫不完,自然想到了請省略號幫忙,突出了數(shù)學(xué)簡潔性的魅力。在找 出 3 的倍數(shù)后,教師注意引導(dǎo)學(xué)生比較、回頭看,有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的縝密 性和有序性。在學(xué)生寫出 2的倍數(shù)和 5的倍數(shù)后,通過比較 3、 2、5這幾個數(shù)的倍數(shù),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并概括一個數(shù)的倍數(shù)的特點,有效培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能 力和概括能力。四

9、、學(xué)習(xí)找一個數(shù)的因數(shù)師：根據(jù)3X 4=12,我們知道3和4都是12的因數(shù)。想一想，還有誰也是 12 的因數(shù)？生： 2 和 6。師：怎么一下子就想到了 2 個數(shù)？生：因為 2X6=12。生：想積是 12的乘法算式。 【出示： （）X（ ）=12 】師：兩個自然數(shù)的積是 12的乘法算式，有哪些？讓學(xué)生在本子上寫后按一定的順序匯報。師：找到 3 X 4= 1 2后，為什么不繼續(xù)找了？生：后面的與前面的重復(fù)了，不用找了。師： 1 2的因數(shù)有哪幾個？說說看。生： 1、12、2、6、3、4。師：這樣寫出 12是所有因數(shù)后，后面用什么標(biāo)點符號？為什么？生：后面沒有了，要用句號。師：這樣一對一對找出寫出 12

10、的因數(shù)感覺怎么樣？生：很方便。生: 有點亂。師：是的，雖然方便，但看上去，忽大忽小，有點亂，不太美觀。數(shù)學(xué)總是 是追求完美的，所以一般情況下，是按從小到大的順序?qū)懗鲆粋€數(shù)的所有因數(shù)。你能按從小到大的順序說出 12的所有因數(shù)嗎？從小到大，正好是怎樣的順序，用手勢比劃一下。學(xué)生比劃，屏幕出示箭頭指向圖：生：12 的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12。師：按照這樣的方法，你能找出 36的所有因數(shù)嗎?學(xué)生找后，全班交流。師：36的因數(shù)有幾組？是幾個?生：有5組，是10個。生：是9個。師：每組2個數(shù)，5組應(yīng)該10個呀，怎么是9個?生：6和6重復(fù)了，只能算一個。師：有道理。能按從小到大的順序說出 36的所有

11、因數(shù)嗎?生：36 的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。學(xué)生練習(xí)找15、16各數(shù)的因數(shù)。師：觀察這幾個數(shù)的因數(shù)，有沒有發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的因數(shù)有什么特別之處?學(xué)生討論得出：一個數(shù)最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。一個數(shù)的因 數(shù)的個數(shù)是有限的。師：既然一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，想一想，在 100以內(nèi)的自然數(shù)中,哪個數(shù)的因數(shù)個數(shù)最少呢?生：1！ 1的因數(shù)只有1。師：看到這個問題，你們還能聯(lián)想到什么問題?生：在100以內(nèi)的自然數(shù)中，哪個數(shù)的因數(shù)個數(shù)最多呢?師：很好，看到一個問題，能聯(lián)想到另一個問題，這也是一種能力。大家猜 想一下，在 100 以內(nèi)的自然數(shù)中，哪個數(shù)的因數(shù)個數(shù)最多呢？學(xué)生一致

12、認(rèn)為是 100，教師讓學(xué)生找出 100 的因數(shù)，發(fā)現(xiàn) 100 的因數(shù)和 36的因數(shù)一樣，也只有 9 個，并不是最多的。師：100 以內(nèi)的自然數(shù)中，到底哪個數(shù)的因數(shù)最多呢？這個數(shù)留給大家回家 后去找，有信心找到嗎？ （生表示肯定） 找到后，到班上交流， 先看找的對不對， 再看因數(shù)最多的那個自然數(shù)在生活中的什么地方發(fā)揮了獨特的作用。說明】找一個數(shù)的因數(shù)是學(xué)習(xí)的難點，先讓學(xué)生緊扣乘法算式，一組一組找出 12的所有因數(shù)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生找到按從小到大的順序?qū)懗?2 的所有因 數(shù)的方法，然后練習(xí)找 36 的因數(shù)，這樣由易到難且方法巧妙，學(xué)生找得輕松， 找得明白，找的歡快。再通過比較幾個數(shù)的因數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一

13、個數(shù)的因數(shù)的 特點。最后讓學(xué)生找 100 以內(nèi)的自然數(shù)中哪個數(shù)因數(shù)個數(shù)最少，哪個數(shù)的因數(shù) 個數(shù)最多，有效激發(fā)了學(xué)生的探究欲望。五、課外拓展，認(rèn)識完美數(shù)1、2、3師：數(shù)學(xué)中有一種數(shù)叫完美數(shù)，完美數(shù)就和因數(shù)有關(guān)。先看 6 的因數(shù)，6 的 因數(shù)有： 1、2、 3、6 。數(shù)學(xué)家規(guī)定，把小于這個數(shù)的因數(shù)叫真因數(shù)， 都比 6 小，它們都是 6 的真因數(shù)。猜猜看，等于這個數(shù)本身的因數(shù)，叫什么 因數(shù)？生：假因數(shù)。師：恭喜，又和數(shù)學(xué)家想到一塊去了！數(shù)學(xué)家規(guī)定，如果把一個數(shù)的所有真 因數(shù)加起來，結(jié)果不多不少，正好等于假因素，那這個數(shù)就是完美數(shù)。把 6 的三 個真因數(shù)加起來，看看得數(shù)是多少？生：1+2+3=&

14、;師：說明6就是一個一一完4是不是完美數(shù)呢?0學(xué)生找出4的因數(shù)：1、2、4,并判斷：1+2工4, 4不是完美數(shù)。師：6是2500多年前，古希臘的大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的第一個完美數(shù)。在西方傳說上帝創(chuàng)造世界用了 6天，所以把完美數(shù)也叫做“上帝之?dāng)?shù)”。我們中國人常說一一六六大順，說明我們中國人也特別喜歡這個完美之?dāng)?shù)。班上學(xué)號是6的同學(xué)是誰?學(xué)號是6的同學(xué)起立，大家把掌聲送給了 6號。師：你的運氣真好，祝賀你的學(xué)號是一個完美數(shù)，希望你能成為一個完美的 學(xué)生，將來成為一個完美之人。（學(xué)號是 6的同學(xué)非常開心。）師：大家想不想知道自己的學(xué)號是不是一個完美數(shù)呢？（生點頭表示想）那 就趕緊驗證一下吧。學(xué)生驗

15、證后交流，大部分學(xué)生說自己的學(xué)號不是一個完美數(shù)，只有學(xué)號是28的學(xué)生，激動地說自己的學(xué)號是完美數(shù)。其他學(xué)生懷疑，于是一起驗證，發(fā)現(xiàn)28的確是個完美數(shù)。師：第一個完美數(shù)是6,第二個完美數(shù)是28?？吹谌齻€完美數(shù)是一一496。如果把完美數(shù)的所有因數(shù)，都變成幾分之一這樣的分?jǐn)?shù)，然后把這些分?jǐn)?shù)加起來, 猜猜看，結(jié)果是多少?學(xué)生猜后，屏幕上出示結(jié)果，學(xué)生驚詫不已。師：你覺得完美數(shù)怎么樣？生：太神奇了。師：是的，完美數(shù)非常神奇，所以，從古到今很多數(shù)學(xué)家都在尋在完美數(shù)、 研究完美數(shù)， 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了完美數(shù)很多神奇的地方。 當(dāng)然，完美數(shù)一定還有更多神 奇的地方，等著更多的數(shù)學(xué)家去研究、去發(fā)現(xiàn)。師：我們有沒有成為數(shù)學(xué)

16、家的天分呢？現(xiàn)在我們先來預(yù)測一下， 看自己有沒 有當(dāng)數(shù)學(xué)家的天分。 請根據(jù)前三個完美數(shù)， 猜測一下第四個完美數(shù)是幾位數(shù)，位是幾？如果能猜對，你就有當(dāng)數(shù)學(xué)家的天分。學(xué)生一致猜出：第四個完美數(shù)是四位數(shù)，個位是8。屏幕出示第 4 個完美數(shù)是 8128。學(xué)生一看結(jié)果和自己猜的一摸一樣，激動得手舞足蹈。師：看來大家真有當(dāng)數(shù)學(xué)家的天分！ 在 1 到 10000 這一萬個自然數(shù)中， 完美 數(shù)也就只有這 4 個。你們認(rèn)為完美數(shù)很多，還是很稀少？生：很稀少。師：對，非常稀少。相對于浩如煙海的自然數(shù)來說， 完美數(shù)真的是滄海一粟。到目前為止，數(shù)學(xué)家們只找到了 46個完美數(shù)。說不定能夠發(fā)現(xiàn)第 47個、第 48個或者更

17、多完美數(shù)的數(shù)學(xué)家就是我們班上的某個同學(xué)， 那對數(shù)學(xué)研究的貢獻(xiàn)可就 大了，一定會名留青史。很多學(xué)生表示，課后就去研究完美數(shù)。師：數(shù)學(xué)家都喜歡從小問題開始研究。課中，我留給了大家一個小問題，還 記得是什么問題嗎？生： 100以內(nèi)的自然數(shù)中，哪個數(shù)的因數(shù)個數(shù)最多？師：我相信，大家課后一定能把這個小問題先研究出來。說明】最后向?qū)W生介紹的神奇而稀少的完美數(shù)，學(xué)生如同享受了一頓智趣數(shù)學(xué)大餐。學(xué)生認(rèn)識、驗證完美數(shù)，既是鞏固練習(xí)的過程，也是探究未知的 過程。學(xué)生在猜測的過程中見證了完美數(shù)的神奇之處，彰顯了智趣。尤其是學(xué)生猜出了第四個完美數(shù)是四位數(shù)、個位是 8，教師說 : “看來大家真有當(dāng)數(shù)學(xué)家的天分！”學(xué)生可

18、謂情趣高漲，智趣飛揚，信心倍增，探究愿望也更強烈。下課后，不少學(xué)生圍著教師交流，遲遲不愿離去?？芍^：課雖盡，趣猶濃。教學(xué)闡述】、數(shù)學(xué)合情合理數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與形成過程本身就是一個自然的、合情合理的發(fā)展過程， 數(shù)學(xué)教學(xué)中， 尤其是引入新的知識或思想方法時， 如果能讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)是合情合 理的，學(xué)生對數(shù)學(xué)就會有親切感，感覺自己學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識是有“根基”的， 有能力把數(shù)學(xué)學(xué)好，對數(shù)學(xué)會產(chǎn)生良好的情感與態(tài)度。倍數(shù)和因數(shù)是兩個非零自然數(shù)之間的一種關(guān)系，學(xué)生對 “倍數(shù)”這個概念是 有點感覺的，因為學(xué)生在二年級就認(rèn)識了兩個數(shù)量間之間的倍數(shù)關(guān)系， 會解決“求 一個數(shù)的幾倍是多少” 或“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍

19、” 這樣的實際問題。 所以， 教學(xué)時，直接出示“ 3”和“ 12”這兩個自然數(shù)，讓學(xué)生說說它們之間的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生明確這兩個非零自然數(shù)正好存在是整倍數(shù)關(guān)系后，讓學(xué)生憑感覺猜想： 誰是誰的倍數(shù)？誰是誰的因數(shù)？大部分的學(xué)生都認(rèn)為 12是 3的倍數(shù)，3是 12的因數(shù)。這樣引入， 倍數(shù)和因數(shù)的概念不再是老師硬塞進(jìn)學(xué)生頭腦中的， 而是自己 從學(xué)生的頭腦中跳出來的， 學(xué)生對倍數(shù)和因數(shù)這兩個數(shù)學(xué)概念的心理接納程度就高，就能有效理解倍數(shù)和因數(shù)之間的依存關(guān)系， 而且，在后面探究找一個數(shù)的倍 數(shù)和因數(shù)時，也能保持一定的主動性。二、數(shù)學(xué)有型有序?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)?！睌?shù)學(xué)的模式可謂數(shù)學(xué)外在的“型”。如果能讓學(xué)

20、生理解并建構(gòu)起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)就不會“神龍見首不見尾”， 而是有模有樣， 理解掌握起來一點不困難。 如，怎么找到一個數(shù)的倍數(shù)？學(xué)生找 出3的倍數(shù)后，意識到3與任何非零自然數(shù)的積，都是3的倍數(shù)，即3X() =)，從而理解并能建構(gòu)出找一個數(shù)的倍數(shù)的乘法算式模型。再如，怎么找一個數(shù)的因數(shù)？學(xué)生找 12的因數(shù)，意識到兩個自然數(shù)的積是 12，這兩個自然數(shù)就是 12 的因數(shù)，即：( )X( )=12，從而理解并能建構(gòu)出找一個自然數(shù)因數(shù)的乘法算式模型。數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操?！睌?shù)學(xué)的思維可謂數(shù)學(xué)內(nèi)在的序。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的魅力，在于有效提升數(shù)學(xué)思維能力，使思維變得嚴(yán)謹(jǐn)、變得有序。如，找一個數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)時， 學(xué)生開始的思維是無序的， 教學(xué)過程， 就是讓學(xué)生經(jīng)歷從無序到 有序的過程， 從而提升學(xué)生有序思考的