三直線與直線

1、三 直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系1 平行關(guān)系：線面平行面面平行線線平行二2 平行關(guān)系的判定定理(1)線線平行的判定定理判定1:a/b二 a/c b/c判定2:a/:a柱c B=a/b判定 3： -a a/bb判定4: *a -:n a/bb _ ：(2)線面平行的判定定理:判定 1：二 a/a判定2：丿a/ bW 二 a/PPa u a(3 )面面平行的判定定理:判定1：a - b 二 C«aua,a/Bn，判定 2:丿 b u a,b P(ii)平行關(guān)系的性質(zhì)定理a/：'(1)線面平行的性質(zhì)定理：au B 二allbP o a = b(2)面面平行的性質(zhì)定理

2、：i-/ -性質(zhì)定理 1：*acY=an a/ bB c Y =b性質(zhì)定理2:丿« /P二Pa u aa/廠題例1.如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤 的是(A)(C)BD /平面 CB1D1(B) AC1± BDAC平面CB1D1( D)異面直線 AD與CB1角為2 .對于任意的直線I與平面，在平面內(nèi)必有直線m,使m與I(A)平行(B)相交(C)垂直(D)互為異面直線A.3.如圖，在棱長為2的正方體ABCD - ARGD!中，0是底面ABCD的中心，E、F分別是CG、AD的中點，那么異面直線 0E和FDj所成的角的余弦值等于A. 105B."

3、554C.52D.3A1/ B111 11 1!D /FO4 過平行六面體ABCD - A1B1C1D1任意兩條棱的中點作直線,其中與平面DBB1D1平行的直線共有 12條5.已知m,n為兩條不同的直線,-：,：為兩個不同的平面,則下列命題中正確的是(/m 二：；，n - = m / nC. m 丄：,D n /m,6 設(shè)，為兩兩不重合的平面,I、m、n為兩兩不重合的直線,給出下列四個命題：若_,則/:;若 m 二卅，n 二:<,m/ ',則： / -；若/ - ,l :-,則丨/ 1 ;若:-丨，In'=m'Q二n,l /,則m/ n.其中真命題的個數(shù)是(A)

4、1( B) 2( C) 3(D) 47 .如圖，在四棱錐 P - ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱 PD 底面ABCD , PD = DC , E是 PC的中點。(1) 證明PA/平面EDB ; (2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。 DA解：本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力。方法一：(1)證明：連結(jié) AC、AC交BD于0。連結(jié)EO/底面ABCD是正方形點O是AC的中點。在PAC中，EO是中位線 PA/ EO而EO 平面EDB且PA /平面EDB，所以，PA/平面EDB。(2)解：作EF _ DC交CD于F。連結(jié)BF，設(shè)正方形AB

5、CD的邊長為a。/ PD _ 底面 ABCD PD _ DC EF / PD F 為 DC 的中點 EF _底面ABCD ,BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故.EBF為直線EB與底面ABCD 所成的角。在Rt BCF中，BF = . BC2 CF2 = . a2(；)2 二乎 aa-51aEF2T EF = PD在 Rt=EFB 中 tan EBF =22BF5 a25所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為 <55p1E1NT- -H xc-B1i i /二一"/1F0r y 一*/-DA方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設(shè) DC = a(1)證明：連結(jié)AC

6、，AC交BD于G。連結(jié)EG。依題意得A(a , 0,0)，P(0 , 0 , a)，a aE(0 ,) T底面ABCD是正方形2 2 G是此正方形的中心，故點 G的坐標為(a - , 0)2 2aa PA=(a,O, -：) EG =(旦，0, -亙)2 2 PA=2EG 這表明 PA/ EG而EG二平面EDB且PA /平面EDB PA/平面EDB(2)解：依題意得 B(a , a , 0), C(0 , a ,0)a取DC的中點F(0 ,0)連結(jié)EF, BF2aa- FE=(0,0,) , FB=(a,0) , DC = (0, a, 0)2 2 FE FB =0, FE DC =0 FE

7、_ FB , FE _ DC EF _底面ABCD ,BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故.EBF為直線EB與底面ABCD 所成的角。在 RUEFB 中，F(xiàn)Ea_ 2二 5a2所以，EB與底面ABCD所成的角的正切值為 一。58如圖，在底面是菱形的四棱錐P ABC D中，/ ABC=60°, PA=AC= a,PB=PD= 2a,點E是PD的中占八、-(I) 證明PA丄平面 ABCD , PB /平面 EAC ;(II) 求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角 二的正切值.解：(I)證法一因為底面ABCD是菱形，/ ABC=60 ° ,所以AB=AD=AC= a,在厶PA

8、B中，由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA丄 AB. 同理，PA丄AD，所以PA丄平面 ABCD.因為 PB 二 PD DC CB 二 2ED DC DA= (ED DA) (ED DC)二 EA EC.所以 PB、EA、EC共面.又PB二平面EAC，所以PB/平面EAC. 證法二 同證法一得PA丄平面ABCD.連結(jié)BD，設(shè)BD - AC=O，貝U O為BD的中點. 連結(jié)0E,因為E是PD的中點，所以 PB/OE. 又PB二平面EAC , 0E二平面EAC，故PB/平面EAC.(H)解 作EG/PA交AD于G,由PA丄平面 ABCD. 知EG丄平面ABCD.作GH丄AC于H，連結(jié)EH，

9、貝U EH丄AC ,Z EHG即為二面角 二的平面角. 又E是PD的中點，從而G是AD的中點，AA> Q匚r : QEG = a, AG = a, GH = AG sin 603 a.所以 tan =.224GH 3E9.如圖，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= 2 , AF=1, M是線段EF的中點.（I）求證AM/平面BDE（H）求證AML平面BDF（川）求二面角 A DF B的大?。唤猓悍椒ㄒ唤猓海↖ ）設(shè) ACA BD=0連結(jié)OE TO M分別是AC EF的中點，ACEF是矩形，四邊形AOEMH平行四邊形， AM/ OE./ OE U 平面 BDE AM

10、 U 平面 BDE AIM/ 平面 BDE.（H ） T BD丄AQ BD丄AF,且 AC交AF于A,. BD丄平面 AE,又因為 AM 平面AE,. BD丄AM. AD=. 2 ,AF=1,OA=1, AOMF是正方形， AML OF,又 AML BD,且 OFA BD=0 AML平面 BDF.（川）設(shè) AMA OF=H過H作HGL DF于G 連結(jié) AG由三垂線定理得 AGL DF,/ AGH是二面角 A DF B的平面角.7 AH 2, AG 6,. sin. AGH3,. . AGH =60二面角 A - DF - B的大小為 60；232方法二 （I）建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)A

11、C BD = N ,連接NE則點N E 的坐標分別是（'22,0）、（0,0,1 ） , NE=（ '2'2 ,1）,2 2又點A m的坐標分別是（J2,j2,0）、（ ,1）.2 ' 2 AM=（ - 空，-鼻,1） NE=AMt NE與 AM不共線,2 2 NE/ AM.又 NE 平面 BDE AM 二平面 BDE - AIM/平面 BDF.2 2DF =（0, N）, AM DF =0,所以 AM _ DF .（H） AM十亍-亍"：d（、2,0,0）, F（'2 .2,1）,同理 AM _ BF,又 DF - BF 二 F,. AM _

12、 平面 BDF .（川） AF丄AB, AB丄AD, AFA AD=A - AB丄平面 ADF.芒敘（一巨一巨1）"三2 2 2 2AB = （- J2,0,0）為平面 DAF的法向量.；NE "DB =（-呂，-呂,1） （-、2八 2,0） = 0,T T t T1 NE為平面 BDF 的法向量.cos ： AB, NE,1）=0得NE _ DB, NE _ NF,12*.AB與 NE的夾角是60即所求二面角 A-DF -B的大小是6010如圖，在斜三棱柱 ABC - ABiCi 中，AAB =. AiAC,AB 二 AC,AiA 二 AB = a，側(cè)面 Bi BCCi

13、與底面ABC所成的二面角為i20 , E、F分別是棱BiCi> A| A的中點ABC1(I)求AA與底面ABC所成的角(n)證明AiE /平面BiFC(川)求經(jīng)過 A、A、B、C四點的球的體積.解：(I)過A作A H _平面ABC，垂足為H 連結(jié)AH，并延長交BC于G，于是.AAH為A A與底面ABC所成的角. . A AB - A AC , AG 為.BAC 的平分線.A又 AB二AC , AG _ BC，且G為BC的中點因此，由三垂線定理 AA_ BC AiA/BiB，且 EG/BB , EG _ BC 于是.AGE 為二面角 A - BC - E 的平面角, 即.AGE =i20

14、由于四邊形 A AGE為平行四邊形，得.AAG =60 (n)證明：設(shè) EG與BiC的交點為P，則點P為EG的中點連結(jié)PF 在平行四邊形 AGEA中，因F為AiA的中點，故 AE/FP 而FP 平面Bi FC , AE二平面Bi FC，所以AE/平面Bi FC （川）連結(jié) AC 在 A AC 和 A AB 中，由于 AC 二AB , . AAB=/AAC , AA=AA，則 =Ai AC = -A AB，故 A C = A B .由已知得 Ai A = AB = Ai C = a 又 AH _平面ABC , H為：ABC的外心.設(shè)所求球的球心為 O,則A H，且球心O與A A中點的連線OF _

15、 A A Rt A FO 中，Ai OA i Fcos AAi H1 a 2 cos30上遞故所求球的半徑R =3a，球的體積332711已知正方形 ABCD ,E,F分別是邊AB,CD的中點,將 ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A - DE - C的大小為二0心:二(i )證明：BF /平面ADE(2) 若 ACD為正三角形，試判斷點 A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論, 并求角''的余弦值。【解析】(I)證明:EF分別為正方形 ABCD得邊AB、CD的中點， 二EB/FD,且EB=FD, 二四邊形 EBFD為平行四邊形. 幾BF/ED；EF 平面A

16、ED,而BF二平面AED. BF /平面ADE(II)解法1:如右圖，點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，過點A作AG垂直于平面 BCDE,垂足為G連結(jié)GC,GD.'/ ACD 為正三角形,.AC=AD . CG=GD.G在CD的垂直平分線上，.點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF 上,過G作GH垂直于 ED于H,連結(jié) AH,則AH _ DE，所以.AHD為二面角 A-DE-C 的平面角.即AH G設(shè)原正方體的邊長為 2a連結(jié)AF在折后圖的.：AEF 中,AF=、3a ,EF=2AE=2a,即二AEF為直角三角形，AG EF = AE AF在 Rt ： ADE 中，AH DE

17、= AE AD.AH = 2 a45GH = 2；BCDE的平面角即.：AEF 中,AF=3a ,EF=2AE=2a,A G a2在 Rt ：ADE 中，AH DE 二 AE AD . AH2盲EF上 a2、5cosGHAH解法3:點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線 連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點作AG EF，垂足為G ./ ACD為正三角形,F為CD的中點， AF CD 又因EF CD ,所以CD _平面AEF . C D 平面.平面AEF _平面BCDE又；平面AEF -平面BCDE=EF,AG _ EF AG _ EF . AG _ 平面 BCD G 為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.即點A在

18、平面BCDE內(nèi)的射影在直線 EF上過G作GH垂直于 ED于H,連結(jié) AH,則AH DE，所以 AHD為二面角 A-DE-C AHG *設(shè)原正方體的邊長為 2a連結(jié)AF 在折后圖的厶AEF 中，AF= 、3a ,EF=2AE=2a, 即厶AEF 為直AG EF =AE AF . AG a2BCD肩GH 1cosAH 4解法2:點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點作AG丄EF，垂足為G .ACD為正三角形,F為CD的中點, AF CD又因EF_CD,所以CD _平面AEF：AG 平面 AE F . AG_ C D又 AG _EF 且 CD 一 EF =F,CD 平面

19、BCDE,EF 平面BCDE . AG _ 平面 .G 為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.即點A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線 EF上A-DE-C過G作GH垂直于 ED于H,連結(jié) AH,則AH _ DE，所以.AHD為二面角AHG “設(shè)原正方體的邊長為 2a,連結(jié)AF在折后圖的即：AEF為直角三角形，AG EF = AE AF_ GH =丄AH 42acos-在 RMADE 中，AH DE = AE AD 二 AH = a 二 GH =尸V52丿5'【點評】本小題考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力A B)= BiG =1，乙 ABiG = 90 , AA = 4 , BBj = 2 , CG = 3 .(1)設(shè)點O是AB的中點，證明： OC /平面A1B1C1 ；(2 )求二面角B-AC-A,的大小；(3)求此幾何體的體積.解：解法一：(1)證明：作0D / AA交AB于D，連GD .則0D / BB, / CC1 .因為0是AB的中點，1 所以 OD(AA1 BB1HCC1 .2則ODGC是平行四邊形，因此有 0C / GD .GD u平面 GBA 且 OC 疋平面 C1B1A1，則 OC / 面 A1B1C1.CGCC2(2)如圖，過B作截面BA2C2 /面AB1C1，分別交AA , CG于A , C2.作 BH _