完整word版,[很全]拋物線焦點弦的有關(guān)結(jié)論

1、很全拋物線焦點弦的有關(guān)結(jié)論知識點i:若AB是過拋物線y2 2px p0的焦點F的弦。設(shè)A Xi, yi , B X2, y2，則2 XiX2 ? ；（2） yiy2p24證明：如圖，（i）若AB的斜率不存在時，依題意XiX2Xl X2B若AB的斜率存在時，設(shè)為k,則 AB : y，與y2 2px聯(lián)立，得k2 XC,222 px k Xk22 pxXlX2綜上:X1X2Xi2話，X22y22p22yi y2yi y20,yiy2（2）另證:知識點2：£若AB是過拋物線y2 2px p 0的焦點F的弦。設(shè)A xi, yi , B x2, y2設(shè) AB:X my2px聯(lián)立，得22y 2pm

2、y p 0,屮 y，則(1) ABXiX2 p；（2）設(shè)直線AB的傾斜角為 ，貝U aB2p?sin證明:AFab|Xi由拋物線的定義知知BFX2P.2AFBF(2)若90°,則 XiXiX2pX2-,由(i)知 aB 2p2若90°,設(shè)AB : y ksin子，與y2 2pX聯(lián)立'得oB4k2 x2 px2 pxXiX2p k22ABXiX22p k： 1，而 k tan， k2AB22 p 1 tantan22p .2 Sin知識點3:若AB是過拋物線y22px0的焦點F的弦，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。證明：過點A、B分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分

3、別為Ai、Bi,過AB中點M向準(zhǔn)線引垂線，垂足為N,設(shè)以AB為直徑的圓的半徑為r,2rABAFBFAAiBBi2 MNMNr.以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。知識點4:若AB是過拋物線寸2px P0的焦點的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為 Ai、Bi,則AiFBi090 。證明借助于平行線和等腰三角形容易證明知識點5:若AB是過拋物線y2 2px p于點 K ,貝U AKF BKF.證明：過點A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為 A、AAi / KF / BBiAKBiKAF H 而AFFBAABF B1AKA1AA1KB1KB1KB1BA1AB1B，AAKs BB1KAKAAKFBKFB1 KB而

4、AA1K的弦。過點A、B分別向拋物線0的焦點Fx軸相交BB1K90°知識點6:若AB是過拋物線y2 2pxp 0的焦點F的弦，o為拋物線的頂點，連接AO并延長交該拋物線的準(zhǔn)線于點 C,則BC/OF.證明：設(shè) Axi，yi , B X2,y2，則AB: y X,X12x1WP2y12p2py1由知識點1知yiy2ycP22py2y2BC/OF逆定理：若AB是過拋物線0的焦點F的弦，過點B作BC/OF交拋物426線準(zhǔn)線于點C,則A、C、O三點共線。證明略知識點7：若AB是過拋物線y2 2px P證法：（1）若ABX軸，則AB為通徑，而AB 2p,的焦點F的弦,(2)若 AB 與 X 軸不

5、垂直，設(shè) A Xi,yi , B X2, y2 ， AB的斜率為k，則 l : yy2 2px聯(lián)立，得k2P.22pxk2x2k2 2 pxX1 X2 叫2,X1X2k由拋物線的定義知mAFXi子,nBFX2mnX1X2X1 X2知識點8:已知拋物線2px p0 中,AB為其過焦點F的弦，AFm, BFn,則S AOB2 p4證明:O'S AOBS AOF S bOF12_p4msin2sinsincosS AOB逆定理：AM證明:S AOB而sinsin,n2n22 pxm4已知拋物線m, BMn,且 S AOB設(shè) A xi, yi , B X2, y2 ，S AOM SBOM =2tmsinyi,sin my2n而 S AOBsin0中，AB為其弦且與x軸相交于點M，若P，則弦AB過焦點。2 p4AMxsin21 tn sin2yymn，則丄 m n tsin2I河2V mnAOBntjmn1 m n2 /mntJ yi y212 Vmn 2W 7172l : x ay t又可設(shè)2 yy 2px2 pay 2pt 0yy2pt 28由得tAB恒過焦點-,029拋物線2PX P0，過（2p, 0）的直線與之交于 A B兩點，貝U OAL