大一高數(shù)試題及答案

1、、填空題（每小題1分，共1 0分） 121 . 函數(shù)y = arcsin V 1 x + 的7E義域為x2 .函數(shù)y = x + e 上點(0,1)處的切線萬程是 f (Xo+ 2 h) f (Xo 3 h)3 .設 f ( X)在 Xo 可導且 f ' (Xo) = A,則 1 i m h一。h1）,且其上任意點（X, Y）的切線斜率為2 X,則該曲線的方程X5 . j d x = 一 41 一 x16 . 1 i m X s i n =X 一 ooX7 .設 f (x, y)=sin (xy),貝Ufx(x, y) = 22RVR x28 .累次積分/ d x /f (X + Yd

2、 y化為極坐標下的累次積分為00.3一d y3+,3d x x.2d y2)2的階數(shù)為. 2d x1 0.設級數(shù)匯 an發(fā)散，則級數(shù)匯an Qn=1n=1000頁腳二、單項選擇題(在每小題的四個備選答案中， 選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的() 內，1-10每小題1分，1 12 0每小題2分，共3。分)(一)每小題1分，共1 0分.設函數(shù)f (x)3)xx >0 時,無窮大量無窮小量有界變量無界變量3 .下列說法正確的是()若若若若X )在X = Xo可導X )在X = Xo不連續(xù)X )在X = Xo極限不存在X )在X = Xo不可導f ( X )在X=Xo連續(xù)，則f (f ( X

3、 )在X=Xo不可導，則f ( f ( X )在X=Xo不可微，則f (f ( X )在X=Xo不連續(xù)，則f (4 .若在區(qū)間(a , b )內恒有f ' ( x ) < 0 , 內曲線弧y = f ( x )為 ()上升的凸弧下降的凸弧 上升的凹弧 下降的凹弧5 .設 F '(x) = G '(x)，則 ()F (X) + G (X)為常數(shù)F (X)-G (X)為常數(shù) F (X)-G (X) = 0dd /F(x)dx = / G ( x ) d xd xd x16 . f x d x-17 .方程2 x + 3 y = 1在空間表示的圖形是 ()平行于x o

4、y面的平面平行于o z軸的平面過。z軸的平面直線、r,、3328 .設 f(x, y)=x +y +x ytg ，貝 Uf(tx, ty)= ()2 tf(x,y) t f(x,y)13 t f(x,y)f ( x , y )2ta n+ 189 .設 a n > 0 ,且 1 i m = p ,則級數(shù) 22 a n ()n一00 an=1在p1時收斂，p1時發(fā)散在p > 1時收斂，p1時發(fā)散在p < 1時收斂，p1時發(fā)散在p1時收斂，p1時發(fā)散210 .方程 y'+3xy = 6x y 是 ()一階線性非齊次微分方程齊次微分方程可分離變量的微分方程二階微分方程(二)

5、每小題2分，共2。分11 1 .下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()fx3y=cy=x+l3y=x cosxy=ln x12 .設 f (x)在(a, b)可導，a x 1 x 2 b ,則至少有一點 t C ( a , b ) 使()(X 2 x 1)(X)在X= Xo可導的13 .設f (X)在X=Xo的左右導數(shù)存在且相等是f充分必要的條件必要非充分的條件必要且充分的條件既非必要又非充分的條件1 4 .設2 f (x)(x )=(5 .過點(16 . 1 i mx-0x-0,2 )且切線斜率為34 x 的曲線方程為8 .對微分方程2)1.3)8'),降階的方法是設y'=p,則 y&q

6、uot;=p'd p設y'=p,貝U y"=d yd p設y'=p,貝U y"=Pd y1 dp設 y ' = p，貝U y "= P d y< xon=o1 9 .設備級數(shù)E a nx n在x o ( x oW 0 )收斂， 則匯a nx n在| xn=o絕對收斂條件收斂發(fā)散收斂性與a n有關s 1 n x2 一一 _. 、 一 一 一X 所圍成，則 / / d (T =Dx / d x f d y0 x x1 V y s i n x / d y f d x0yx1 V x s i n x / d x f d y0 x x1

7、 V x s i n x / d y f d x0 x x三、計算題(每小題5分，共4 5分)/ x 11 .設 y = / 求,2、sin (9x16)2 .求 1 i mx-4/3計算 /1f (sinu) arctgut(1 + etd y4 .設 x= f (cosu) arctgudu, y =d u ,求o0d x1 ) , B ( 1 , 1 , 2 )的直線方程。6 .設 u = c + V y +sinz,求 du 。x asin 07 .計算 f f rsinOdrd。00y + 1 28 . 求微分方程d y = ( ) d x 通斛 。x + 139 .將 f ( x)

8、= 展成的哥級數(shù)(1 一 x) (2 + x)四、應用和證明題（共1 5分）1 . （8分）設一質量為m的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（比例常數(shù)為k0）求速度與時間的關系。_12 . （ 7分）借助于函數(shù)的單調性證明：當x1時，2，x 3 x附：高數(shù)（一）參考答案和評分標準、填空題（每小題1分，共1 0分）2 . 2 x y+l = O3 . 5 A,2 . 一4 . y = x +1125 . arctgx +c26 . 17 . y c o s ( x y )兀/2兀cc. 2.8 . / d。/ f(r)rdr00二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將

9、其碼寫在題干的（）內，110每小題1分，1 12 0每小題2分，共3 0分）（一）每小題1分，共1 0分1 .2 .6 .7 .3 .4 .5 .8 .9 .1 0 .（二）每小題2分，共2。分11 .12 .13 .16 .17.18.三、計算題（每小題5分，共4 5分）1 4 .1 9 .1 5 .2 0.11 .解：1 n y = ln(x l)lnxln(x + 3)(2 分)21 1111y ' = （ -）（2 分）y2 xl x x+31 /xl111一 / （ 一 一 ）2Vz x（x + 3） xl x x + 3（1分）2一，、18xcos （9x16）2 . 解：

10、原式=1 i m （ 3分）x 4/33，,，、一 ，,，、2 一1 8 （4/3） c o s 9 （4/3） 1 6= =8（2 分）3xx1 + e e解：原式:/x、 2（1 + e ）d x（2分）x.d （ 1 + e ）（1分）解:x1 + exx1 + e e（1分）x）+（1分）因為 d x = （cos（3分）d y所以=ret（s i n t ） arctgtdtnt） arc（2分）cost） arctgtdt5 .解：所求直線的方向數(shù)為 1 , 0 , 3 （ 3分）x 1 y 1 z 2所求直線方程為 = （2分）10 3, 5 .x +VV + sinz . ，/

11、.、八、6 .解：du = cd （x+Vy +sinx）（3 分）D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A二課程代碼：00020、單項選擇題（本大題共 20小題，每小題2分，共40分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1 x1.設函數(shù) f() ,則 f(2x)()B.-2- 1 xD 2(x 1)x則 f(x)=()x x 1A，1 2x2(x 1)C.2x2.已知 f(x)=ax+b,且 f(-1)=2,f(1)=-2,A.x+3C.2x3. lim (-x)x()X x 1-1A

12、.eB.ex 34.函數(shù)y 的連續(xù)區(qū)間是(x2)(x1)A.(，2)(1,)B.(，1)(1，)C.(，2)(2,1)( 1,)D. 3,B.x-3D.-2xC.)D.15 .設函數(shù)f(x) (x"叱曠 aA.1B.-16 .設 y=lnsinx,則 dy=()A.-cotx dxC.-tanx dx7 .設 y=ax(a>0,a 1),則 y x 0在x=-1連續(xù)，則a=(x 1C.2D.0B.cotx dxD.tanx dxA.0C.lna（即邊際成本）是B.1D.(lna)8.設一產品的總成本是產量x的函數(shù)C（x）,則生產x。個單位時的總成本變化率B.C(x)xx0 xC

13、 dC(x) C.dx9 .函數(shù)y=e-x-x在區(qū)間(-1,1)內(A.單調減小C.不增不減10 .如可微函數(shù)f(x)在x。處取到極大值D dC(x)dxx X0)B.單調增加D.有增有減許),則()A.f(X0)B.f(X0) 0C.f(X0)D.f J。)不一定存在11.f(x)xf (x)dxA.f(x)+CB. xf (x)dxC.xf(x)+CD.x f(x)dx12.設f(x)的一個原函數(shù)是x2,則xf (x)dx3A. C3B.x5+Cc 23C. 一 x313. 8e83 -xdxA.02C.exdx214.下列廣義積分中發(fā)散的是(A.C.1 dx0 x1 dx0 30 x15

14、.滿足下述何條件Un定收斂5D. C158 3 B.2 e xdx0D.3 2x2exdx2B.D.dxx dx.1 xnA. U i有界i 1B. lim Un 0 nC. limnUn 1U nD. |Un|收斂n 116.哥級數(shù)n(x1)n的收斂區(qū)間是(A. 0,2B.(0,2)C. 0,2D.(-1,1)2X17 .設 z e y ,則-z y2XA.e yC.2x 丁一ey18.函數(shù) z=(x+1) 2+(y-2) 2 的駐點是(A.(1,2)C.(-1，-2)B.(-1,2)D.(1,-2)19. cos x cos ydxdy (0 X 20 y 2A.0B.1C.-120.微分

15、方程 包 1 sin x滿足初始條件y(0)=2的特解是( dxA.y=x+cosx+1B.y=x+cosx+2C.y=x-cosx+2D.y=x-cosx+3二、簡單計算題(本大題共5小題，每小題4分，共20分)D.2)21.求極限lim (vn 3Vn)Vn 1.n122 .設 y x x ,求y (1).cos2x ,23 .求不定積分 dx.1 sin x cosx24.求函數(shù)z=ln(1+x 2+y2)當x=1,y=2時的全微分25.用級數(shù)的斂散定義判定級數(shù)三、計算題(本大題共 4小題，每小題6分，共24分)26 .設 z xy xF(u),u y,F(u)為可導函數(shù)，求xz y .

16、 xx y27 .計算定積分 I x ln Vxdx.128.計算二重積分I,22、cos(x y )dxdy淇中D是由x軸和yD2 x2所圍成的閉區(qū)域.29.求微分方程乂電 y ex 0滿足初始條件y(1)=e的特解. dx四、應用題(本大題共 2小題，每小題8分，共16分)12 、一30 .已知某廠生廣 x件某廠品的成本為 C=25000+200x+ x .問 40(1)要使平均成本最小，應生產多少件產品？(2)如產品以每件500元出售,要使利北最大，應生產多少件產品？31 .求由曲線y 或，直線x+y=6和10 .設函數(shù)y=ln x,則它的彈性函數(shù) =Ex11 .函數(shù)f(x)= x2e-

17、x的單調增加區(qū)間為 dx12 .不定積分 =.2x 3x2213 .設 f(x)連續(xù)且 0 f(t)dt x cos x ,則 f(x)=14 .微分方程 xd y- ydx=2d y的通解為 .215 .設 z=xexy則 - =.x y三、計算題(一)(本大題共5小題，每小題5分，共25分)、一一 k ex x 016 .設函數(shù)f(x)=在x=0處連續(xù)，試求常數(shù) k.3x 1 x 0x e17 .求函數(shù)f(x)= 2 + x arctan xx的導數(shù).sin x18.求極限2 x lim -xx 0 xe sin x219 .計算定積分 2 sin V2xdx.0、一 .1 x20 .求不

18、定積分 dx.1 x2四、計算題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)21.求函數(shù)f(x)=x3-6 x2+9x-4在閉區(qū)間0, 2上的最大值和最小值.-3x522 .已知 f(3x+2)=2 xe，計算 2 f (x)dx.23 .計算二重積分x2ydxdy,其中D是由直線y=x,x=1以及x軸所圍的區(qū)域五、應用題(本大題 9分)x,y,其周長為4.將矩形繞其一邊旋轉一周得一旋轉體24 .已知矩形相鄰兩邊的長度分別為圖）.問當x,y各為多少時可使旋轉體的體積最大?-3/2-eA-1x- arctgx + C 3/2y + 2 = 0tA2f(x,y)-1/(2sqrt(x)sqrt(

19、y)2pi/31/2(c_1x + c_2 ) eA(4x)斛原式=鄴啜產恚）i 51n.lr1(/+!21222324252627282930三3L32.33.G?+D三Q三壺 V ,: 酷=(1 +1力(1 + y)x(l 4=熱+肺=Q + y)叫】(】十+r(l +*)14四36 .證工令九(工)=/(z)晨父VAia) = /(口)-s(ti) x 0 hW =/Q) - g(6) 0 二對躍為在口上應用般爾定理再在SM)內至少有一點c,橫唱記9 = 0 而(工)f G) / G)從而 /(c； = W37 .證：TO W1，545 + ?8下工 8從而g 匕上之,潑了 之85+3e

20、0父工5由定積分性質得*J：W J： 5 +3二產 W： *也即端，L仁川匚盧弋志一、DCACABCCBADABADADBDA21 -3/222 -eA-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 tA2f(x,y)27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y)28 2pi/329 1/230 (c_1x + c_2 ) eA(4x)31.解二原式=1山式,名-)I hi。=nm "-"'； - 11m ： i.32.二/（工）1 je1(+DE紅出二,3,(>+i53心公四四壺V :3解=(1 + 尸P in(l + y)=Q + y)*hi(1+ 必必 +r(l +»)1心I 'I工 I < 136 .證t令八（工）=/（z） - £工1'FQ） = /S）一0 h=于3）直（外=Q 二對立/在上應用羅爾定理緡在（江泊）內至少有一點一便器*= 0 而 tfCr）