4-4-3變形基礎上進行分類討論

1、4-4-3變形基礎上進行分類討論在4-4-2的變形之后，這一節(jié)具體展示，怎么結(jié)合已經(jīng)猜出來的答案 進行分類討論。第一步：先討論明顯不符合條件的的區(qū)間，縮小范圍，拿到基本的分第二步：證明參數(shù)在某區(qū)間內(nèi)滿足條件（某區(qū)間是在前兩樓猜出來的） 第三步：證明參數(shù)在其他區(qū)間不符合條件接下來是操作In XX 10）,求k的范圍（猜出答案是k0）In X 1X 1 X 當k 1,彳若I n X1,有X 1k1不符合題意/先討論明顯不符合條件In XX 1kX k的區(qū)間kX1)( X21)0XIn X1X1X1是必要條件In XX 11（ X）2（X） k.Cl (k 1)( X21)X 1, 2 I n X

2、2 In(k（k1是必要條件0變形轉(zhuǎn)化x(k 1)( x21)1)x21)x22x（k 1）x21）1（ X）正負只與2（X）有關2（X）是二次函數(shù)11)( 1 占 X22x(k(k其中2（1）-2k,對稱軸41（k 1）2當 k 0,0,2（X ）1（X）1（1）當X當0k001,1（x）1,1（ X）1（X）在（0,）遞增0X 1,1（ X）00合題意，是必要條件/洛必達法則猜出最終答 案是k 0,就先把這部分討論1k - 1當 0 k 1, 2（1）-2k0,對稱軸 01當X （-,1）,2（ X）k - 11當 X （- ,1）,1（X）k - 111（x）在（-,1）遞減k - 11

3、（1）0當X （-,1）, i（x）2（x）2（x） 丄1 1k 10不合題意0 k 1不合題意綜上所述，k 0是充要條件或許你會看得很懵，怎么就弄出來了？實際上我們用洛必達法則猜出 了答案是k 0，我們思路是先排除了 k 1這個明顯不符合條件的區(qū)間，之后再論證k 0是正確的，再論證0 k 1是不正確的。在論證k 0,0 k 1正確與否的過程中，實際是會發(fā)生什么就寫什么。我們不用可以調(diào)整自己的思路，只需要看看在 k 0，0 k 1分別rH會發(fā)生什么就行了，結(jié)合畫圖很自然就能得出是否符合題意。其實，參數(shù)恒成立問題的核心，我認為在于“變形”這一步，把題目 進行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后的問題應該是好研究的。

4、什么叫好研究？多項式就是好研究的。如果能夠做到導函數(shù)的正負只與一個多項式有關,那基本就大功告成。在猜到了答案的情況下，只需要以答案為分界點進行討論，會發(fā)生什么就寫什么，自然就會得出符不符合題意的結(jié)論。上面這題是把Inx通過求導變成多項式，下面這個是把e八X提出變成多項式1丄 ex(aX對ax 11)x1ax 1eX0,/猜得答案為0Xax 1令 1(X)1a0不合題意(a 1)x1ax 1 eXJ2X)成立，求a范圍0,)成立，求a范圍丄Xe0是必要條件/先把明顯不對的范圍弄掉eXeX(-ax 1 -1 ax 1ax 11(ax 1)21 a(a 1)x2(2a 1)x 1】1)2(a(axx

5、e-(2a1)(axa(a令2(x)/要討論直線y當a 1則1 (x)正負只與2(x)有關2(X)斜率是大于0還是小于0,并且a1很明顯不行，所以先討 論a 11)X (2a 1)2(X)01(0)01(x)01(x)0(X)。，)遞增a 1不合題意1a -22( 0)2a10,斜率a(a1)2(x)01(x)01(0) 0i(x)010）在0,）遞減1合題意22( 0)2a0,斜率a(a2a r), 2(x) a(a 1)1(x)在(0,丄趕)遞增a(a 1)當 x (0,1(0)10 當 x (0,1)0,),1(x)0a(a1)11不合題意綜上所述0這題一開始不變形轉(zhuǎn)化也很好做。但我給出

6、的這種套路，對大多數(shù)參 數(shù)恒成立問題都適用，所以我就按照變形一求導一討論的方法做了。分析做法的思路，我們先把明顯不合條件的區(qū)間 a 0給處理了。之后我們把題目轉(zhuǎn)換成了 ex多項式1的形式，目的就是使不等號左邊求導之后，決定導函數(shù)正負的式子不含 ex。之后，再進照猜出的答案分類討論解決問題，同樣的，會發(fā)生什么就寫什么好了, 自然就會得出來最終的答案。以上的問題，都是能做到“導函數(shù)的正負只與一個多項式有關”，但是有些題目，是做不到的，比如我們的4-4-2中的情況3,那在這種狀況下，最好的方法是保持原狀，多次求導使導函數(shù)好處理。f （x） ex 一2x,設g（x）exb的取值范圍（猜得答案為b 2）

7、 /這屬于情況3,沒辦法轉(zhuǎn)化 g（x）e2x X4xe/我并不能一眼看出什么4b(exf(2x)4bf(x),當X0, g(x)0,求-2x） ex區(qū)間明顯不符合條件g(x)2e2x2e次44b(ex1ex2)觀察得到g （0）0,但無法判斷什么時候大于0,g (X)4e2x4小2x-4b(ex - 1 ) 亠Xeeqe212xb(ex - 2)入ee4(ex -1)(ex1b)e/e1什么時候小于0,所以二階導令(x)ex1 ex g （X）正負只與（X）有關 丄JexeX（X）在（0,）遞增exg(x)4(eg(0)g(0)當b 2,(0) 2 令(X)eb（X）在(0,X)(x) exg

8、(x)g(x)g（x）在（0,）遞增ax）在（0,）遞增b2合題意(X)ebXebbb）有一個零點，記為（X）(0)ex1丄0Xe當x(x) g(0) g(0) b綜上所述，b12 ln( x 1)ax ex猜得分類討論點為1/10a0)求a范圍a 0是明顯不行的,i(x)2 In(X1)但題目 已給出a0,就不用再討論了1 , ax 1 ex(0, m)0, g(X)00 當X(0,m)，g(x)00當x(0,m)，g(x)02不合題意2這道題目唯一的不同就是沒法使導函數(shù)的正負只與一個多項式相關。另外，分解因式也頗有難度。但如果提前猜出了 b 2就是答案，那就會好處理很多。其余就沒什么特別的

9、了，還是那句： 會發(fā)生什么就 寫什么，自然就會得出分類討論的區(qū)間是否符合題意(x)三x 1/觀察不到零點，但能發(fā)覺 1 (0)1 - a/如果（0）0,局部函數(shù)圖像應該是這 樣的/也就是說在（0,）會有大于0的部分/如果1（0）也就是說在（ 到這里就能猜到答案為/1（ X）-（X1）如果有前面的“基礎知而 2ex（X1）20,局部函數(shù)圖像應該是這樣的1,0）會有大于0的部分1了2eX（X1）2ex（x1），那就知道exX 10,ex X1,）意識到這一點，這題完成大半1ex識”令 2（X）2eX（X1)22( X)-2eX1)2( X)2( _ )-2eX21)2( X)2（X）2 ( 0)

10、00在（-1,2（X）在（-1,）成立）遞減1 ( X)e2(X1)21 ( X)當0 a0在（-1,1時1exeX(x)成立2（X）1)1 ( X)在(-1,）遞減2且當X -1a/接下來就是發(fā)生什么寫什么1(0)1 - a 0,0時，1 ( X)1 (x)在(-1,）遞減1 (X)在(0,）必有一個零點，記為m,當X1（0）0 a當a 1時1(X)0,1(x)遞增當X(0, mJ,1(x)0（0, mi）,01不合題意其實同上面一樣，肯定也是不合題意的令 2(X)1X 11 (X)-2( eXX 1)0 ex1(函數(shù)定義域為X 1 ex2X 10)1 2一 a exX 1/這個放縮用于方便

11、解出1當-1 X 1 a1 （X）大于0的范圍，進而像上面一11時，a 0X 1樣構(gòu)造出零點11 時，1（x）a1( X)在(1,0)必有一個零點，記為m2當X(m2,0),1 (X)0, (x)遞減1(0)0當 X(m2,0),1(x)a1不合題意(0,), (X)當 a 1, 1 ( 0)1 - a 0,當 X (-1,0),1(x)在( 1,0)遞增，在(0,)遞減1(x)1(0)0a 1合題意綜上所述，a 1這題過程瞎扯那么多，實際就是為了說明這兩個局部圖像而已F面這種處理手段是最白癡，也是最常見的，特此補充axln( x 1)在0,)成立，求a的取值范圍x 1猜得答案a1,在證明猜想是正確的 過程中x 其實可以先證ln( x 1)0成立(a 1)x 1axx那么當 a 1, ln( x 1) - ln( x 1)0x 1x 1雖說參數(shù)恒成立問題的形式很多，但歸根結(jié)底套路是不變的1、先縮小范圍，證明明顯不可能的區(qū)間 2、根據(jù)