中值定理、羅必塔法則

1、第三章中值定理、羅必塔法則、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-、學(xué)習(xí)目的與要求1、加深理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式。2、會(huì)應(yīng)用中值定理做一些證明題。3、熟練掌握用羅必塔法則求未定式的極限。4、理解函數(shù)的極值概念。5、掌握求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的增減性與函數(shù)圖形的凹凸性，求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)。6、 能描繪函數(shù)的圖形(包括水平與鉛直漸近線)。7、會(huì)解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。&知道曲率及曲率半徑的概念，并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)中值定理的應(yīng)用函數(shù)最值的求法及函數(shù)圖形的描繪三、內(nèi)容提要1、微分中值定理名稱定理簡圖幾何意義羅爾(Rolle )定 理若函數(shù)f (x)滿足(i) 在閉

2、區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(iii)f(a) f(b)，則(a,b)，使得f ( )0)J若聯(lián)結(jié)曲線端點(diǎn)的弦是 水平的，則曲線上必有一 點(diǎn)，該點(diǎn)的切線是水平 的。拉格朗日(Lagrange) 中值定理若函數(shù)f (x)滿足;(i) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，貝V(a,b)，使得f(b) f(a) f ( )(b a);或者 f (a h) f (a) f (a h)h(01,h b a)d L曲線上總存在一點(diǎn)，該點(diǎn) 的切線與連結(jié)曲線端點(diǎn) 的直線平行。推論1在定理?xiàng)l件下，若 f (x)0,則f (x)常數(shù)推論2若f(x)、g(x)都滿足定

3、理?xiàng)l件，且 f (x) g (x),則f (x) g(x) c(c為常數(shù))柯西(Cauchy)定理若函數(shù)f(x),g(x)滿足；(i) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(iii)g (x)0,則(a,b),使得f(b) f(a) f () g(b) g(a) g ()同上，只是曲線由參數(shù)方x g(t)程y a t y f(t)b)2、羅必達(dá)法則(LHospital)類型條件結(jié)論0型0與_型設(shè)當(dāng)x a時(shí)f(x)與g(x)均為無窮小(或均為無 窮大)，且存在b a，使f (x)、g(x)在(a,b)內(nèi)可 微且g (x)0, lim f (x) L(L為有限或)x a g

4、(x)rf(x) f (x)lim lim Lx a g(x)X a g (x)注1將結(jié)論中的x a換成x a或x a,x , x，且其它條件亦作相應(yīng)變動(dòng)，結(jié)論仍成立。注2 其它未定型轉(zhuǎn)化為 -型型的形式。 03、泰勒(Taylor)定理設(shè)函數(shù)f(x)在含xo的某開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直至n 1階導(dǎo)數(shù)，則有f (x0)2f(x)f(x0) f(x0)(x X。)一2-(x X。)f(n)(X)n!(xx)nRn(x)f(n 1()其中Rn(x)(x x)n1,在X與X0之間,Rn(x)稱為f (X)在X0處的拉格朗日余(n1)!項(xiàng)。特別，在上式中令X0，得f(x)f(0) f (0)f (0)

5、 2Xf(n)(0) nXf (n 1)(x) n 1x ,01.21n!(n1)!此公式稱為麥克勞林公式f (x)f(x)f(x)(x x)(X0)(x 2!X0)2()(x X0)o(x X0)n!稱為帶有皮亞諾(Pea no)余項(xiàng)的泰勒公式f (0)f(n)(0)f (x) f (0) f (0)x2xn o(xn),稱為帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林2!n!公式注 在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意上述四個(gè)定理之間的關(guān)系4、函數(shù)的性質(zhì)(I)單調(diào)性定理 設(shè)f (x)在a,b 上連續(xù)，在(a,b )內(nèi)可微。(i) f(x)在a,b上單調(diào)增(單調(diào)減)的充要條件是在(a,b )內(nèi)f (x) 0( f (x) 0)。(

6、 ii) f(x) 在 a,b 上嚴(yán)格單調(diào)增(嚴(yán)格單調(diào)減)的充要條件是在(a,b )內(nèi)f (x)0( f (x) 0)，且使f (x) =0的點(diǎn)x不充滿(a,b )的任何子區(qū)間。II )極值(1)極值的概念設(shè)f(x)在點(diǎn)xo及其鄰域有定義，對(duì)于充分接近xo的所有x,若f(x)f(Xo)，則稱函數(shù)f (x)在x = xo處取得極小值。函數(shù)f (x)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使f (x)取得極值的點(diǎn)xo稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。若函數(shù) f (x)在點(diǎn)xo處可微，且 f (x) o,則稱點(diǎn)xo為函數(shù)f (x)的穩(wěn)定點(diǎn)(駐點(diǎn))。( 2)基本定理定理 1(必要條件) 一個(gè)函數(shù)只能在它的穩(wěn)定點(diǎn)及不可微點(diǎn)處取

7、得極值。定理2 (第一判定定理)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)，在xo的附近可微(點(diǎn)xo可除夕卜)，當(dāng)點(diǎn)x漸增經(jīng)過點(diǎn)Xo時(shí)，f (x)的符號(hào)由正(負(fù))變負(fù)(正)，貝y f (x)在 點(diǎn) xo 處取得極大(小)值。定理3 (第二判定定理)設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (x) o ,f (x) o,則當(dāng)f (x) o ( f (x) o)時(shí)函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處取得極大值(極 小值)。III )函數(shù)最大值、最小值的求法因?yàn)橛砷]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知：在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上必有最大值和最小值。所以若f (x)在a,b 上可微，則可用下面的方法求出它的最大值和最小值：先由極

8、值的判定定理，求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，然后比較函數(shù)在所有極值點(diǎn)處的值與函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最 小值。若所考慮的區(qū)間為開區(qū)間或無窮區(qū)間,只要有辦法斷定最大值(最小值)是 存在的,那么從所有極大值(極小值)中選取最大(最小)的就是最大值(最小 值)。特別地,若在開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)時(shí),最大值(最小值)則就在這個(gè)駐點(diǎn)處取 得。(IV )函數(shù)的凸性及曲線的拐點(diǎn)定義1若連續(xù)曲線y f(x)上任意兩點(diǎn)A,B的弦AB恒在曲線段 AB的上側(cè)(下 側(cè))，則稱f(x)為下凸(上凸)函數(shù)，簡稱凸(凹)函數(shù)，而稱曲線y f(x)為下凸(上凸)曲線。若對(duì)于任給 ，a,b()與t (0,

9、1),有f(1 t) t ) (1 t)f( ) tf()則稱f (x)為在a,b 上的凸函數(shù)，若將上式中的w”換成v”，則相應(yīng)地改稱為“凸函數(shù)”為“嚴(yán)格凸函數(shù)”。若 f(x)為凸(嚴(yán)格凸)函數(shù)，則稱 f(x)為凹(嚴(yán) 格凹)函數(shù)。定義2連續(xù)曲線上凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。定理 設(shè)f (x)在(a,b )內(nèi)二次可微，f (x)在a,b 上連續(xù)(i) f (x)在a,b 上的凸(凹)函數(shù)的充要條件是在 (a,b )內(nèi)f (x) 0 ( f (x) 0 )(ii) f(x)在a,b上嚴(yán)格凸(凹)的充要條件是在(a,b )內(nèi)f (x) 0 ( f (x) 0)，且使f (x)0的點(diǎn)x不充滿(a,

10、b )的任何子區(qū)間。(V) 曲線的漸近線定義當(dāng)曲線無限伸展時(shí)，若曲線上的點(diǎn)與某一直線的距離趨于0,則稱該直線為曲線的漸近線。漸近線的求法：鉛直漸近線 若對(duì)于x，有l(wèi)im f (x)，則x x0就是y f (x)的鉛直漸近線。X xq水平漸近線 若lim f (x) y0，則y y0為y f (x)的水平漸近線。x斜漸近線若a lim上兇 及b lim f (x) ax都存在，則y ax b為y f(x)x xx的斜漸近線。(VI) 曲線的曲率 設(shè)M為曲線y f (x)上一點(diǎn)，M1為曲線y f (x)上異于M的任一點(diǎn)，弧MM1的長記為 s，過M與M1的兩切線間的夾角為，當(dāng)M g (x)，則對(duì)任意

11、x必有f (x) g(x)對(duì)嗎？為什么?8、若f (x)在X。至少二階可導(dǎo)，且lim竺學(xué)X 刈(x X0)1，則函數(shù)f (x)在X = Xo處取得極大值還是極小值，為什么?9、已知函數(shù)y f (x)對(duì)一切x滿足xf (x)3x f (x)2X1 e ，若f (x)在某一點(diǎn)X0豐0處有極值，問f(x。)是極大值還是極小值？為什么?10、若f(X。) 0,則點(diǎn)(X。，f(x。)必為函數(shù)曲線yf (x)的拐點(diǎn)，對(duì)嗎？為什么?分析典型例題分析試問下面的運(yùn)算正確嗎？如有錯(cuò)誤，請(qǐng)指出錯(cuò)誤，并且給出正確解法。lim 11，因?yàn)閤X(1) lim x x si nx上式等號(hào)是錯(cuò)誤的cosx時(shí)1 cosx的極限

12、不存在(振蕩)不能使用羅必塔法則。limXxsin xlimX1sin x1x(2)limXXeXeXeXelimX2xe1e1lim 務(wù) 1x 2e分析第一個(gè)等號(hào)是正確的，第二個(gè)等號(hào)是錯(cuò)誤的。 種不同的極限過程，分兩種情況考慮。因?yàn)楸绢}應(yīng)考慮分析X e lim e所以當(dāng)x(3)設(shè) g(0)1lim1 e2xe2X-X e limeXeXelimX2xe 12xe時(shí)極限不存在。(0)0,g (0)上式第一個(gè)等號(hào)是正確的。因?yàn)楫?dāng)0 時(shí)，g(x) 0, x2lim理辺10 2 20，所以警是-型2 0未定式。又因?yàn)間 (0)2，在x=0的某鄰域內(nèi)g (x)存在，可以用羅必塔法則。第二個(gè)等號(hào)是錯(cuò)誤的

13、。雖然x 0時(shí)，2x o,g(x)0，貯是I未定式，但g (0)2，僅代表f(x)在點(diǎn)x=0處二階導(dǎo)數(shù)存在。而 g (x)在x=0的鄰域內(nèi)是否存分析分析在沒有說明，不滿足羅必塔法則中的條件 算。lim翌x 0 x2limx 0 2xlim皿n (n)2,故不能用羅必塔法則，應(yīng)該按導(dǎo)數(shù)定義計(jì)1lim9(x) 9(0)1g(0)12x 0 x 02nimn 0上述運(yùn)算是錯(cuò)誤的。因?yàn)榱胁淮嬖趯?dǎo)數(shù)，不能直接用羅必塔法則。計(jì)算時(shí)，應(yīng)的函數(shù) 蟲。當(dāng)x時(shí)，是一型未定式，可以使用羅必塔法則求函數(shù)的極xx限。顯然，如果函數(shù)的極限存在，數(shù)列的極限也存在且等于函數(shù)的極限。但也需注意， 如果函數(shù)的極限不存在，數(shù)列的極

14、限可能還存在。1因 limX x(5)求 lim (1x 0limx1x)xx1.(1 x)x e limx 0=|叫(11X）；1= elim -xx 0 2為自然數(shù)，數(shù)列的定義域是離散點(diǎn)集，對(duì)自變量n而言數(shù)可先將n擴(kuò)充為連續(xù)變量x，寫出相0,所以，當(dāng)x為正整數(shù)時(shí)(1 x)1/xJl n(1 limxx 01(1 x) ln(1 x) x2(1 x)=lim0(1x)lim 旦 0 n n1x(1 x)丄1x)xx (1 x)l n(1x)x2e2上述解法是正確的。這是0型未定式，可應(yīng)用羅必塔法則0;而且為了簡化運(yùn)算，在第二個(gè)等號(hào)的右端將函數(shù)進(jìn)行了有理運(yùn)算，在第三個(gè)等號(hào)右端將其中含有已知極限

15、的因式 提出來單獨(dú)求極限，避免使用羅必塔法則時(shí)的復(fù)雜求導(dǎo)運(yùn)算，而僅對(duì)未定式部分使用 法則，這樣計(jì)算大大簡化。3 112求（1） lim x （sinsin ）;xx 2x（2） lim WcosVx。x 0（1 ）屬0型未定式。lim x3(sin1sin?)lim小xJlimxcos13 x = 2lim3x 8x.3sin -2xcos-)x.1sin -2x.11 . 2sin sinx2 x123 .x 2sin sin2x31(丈抵)(2)屬 1Ximo12x型未定式。1(cos、x)x，貝U ln yIn cos、x ln y limx 0 x所以-lim3x12xIn cos I

16、 xxlim -x 0 COSx11 coslim xx122 cosXx34x12x12、x-lim2 x 0tg xxlim x cos x lim y”x 0例3 如果a,a1, , an為滿足a。2na。ax a?xanx對(duì)于幕指函數(shù)的未定式1 ,00,分析依題意要證明的是 a0 a a2a1a2an0的實(shí)數(shù)，證明方程23n 10在(0, 1)內(nèi)至少有個(gè)實(shí)根。nan0,01，把它改寫成0都可以按上式的方法計(jì)算。,a1 2 a2 3(axx x23an n x n 1這是羅爾定理結(jié)論的形式，因此可以構(gòu)造輔助函數(shù)f(x) axa12x22a 3x3ann 1x n 1用羅爾定理證明。證 設(shè)

17、輔助函數(shù)f(x)2ai2 a 3a0x x x23ann 1x n 1f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f (0)f (1)0。由羅爾定理知在0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得f ( )=0, (0 1)，即2a2an0,所以方程在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。例4 設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間0, 1上的每個(gè)x都有0v f (x) v 1，且f (x)豐1,證明在(0, 1)內(nèi)有且僅有一個(gè)x，使f (x) = x。分析將要證的結(jié)論寫成f (x) -x=0，利用介質(zhì)定理可證方程在0,1內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根,是否存在第二個(gè)實(shí)根可用反證法。證先證存在性設(shè) F(x) f (x) x, F (x)在0,1上的

18、連續(xù)，由于 0 v f (x) v 1,則F(0)f(0)0, F(1) f (1) 10,由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，至少存在一點(diǎn)x1 (0,1)，使得F(xJ 0,即f (x1) x1。再證唯一性，用反證法：假設(shè)在(0, 1 )內(nèi)除了點(diǎn)f區(qū))=捲之外，還有一點(diǎn)x2也使f(x2) = x2。不妨設(shè)x1V X2由于F(x)在X1 , X2上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此在(捲,X2)內(nèi)存在一點(diǎn)f(X2) f(X1) X2 X1x2 X1X2 X1這與題設(shè)f (x)1相矛盾，因此方程 f(x) =x有唯一的實(shí)根。小結(jié)證明方程只有一個(gè)實(shí)根或函數(shù)在某一區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，一般需分別證存在性與唯一性。

19、存在性的證明往往利用連續(xù)函數(shù)的介值定理或羅爾定理，而唯一性經(jīng)常用反證 法。例5 假設(shè)f(x)是a,b上的正值可微函數(shù)，則有點(diǎn) (ab )，使Inf(b)f(a)a)分析 假設(shè)等式成立，把它改寫成In f(b) In f(a)b af ()f()顯然，上式左端是函數(shù)In f (x)在a,b上增量與區(qū)間長度之比，右端是 In f (x)在x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。因此，可以構(gòu)造輔助函數(shù)In f (x)，用拉格朗日中值定理證明。證 設(shè)F(x) = In f(x)，F(xiàn)(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b )內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定理的條件，故有 Inf(b) Inf(a)丄n，( a b) b af()f (b) f

20、 ()心、即In(b a)f(a) f()例6 設(shè)f (x)在xj, x2上可導(dǎo)，且0 v x1 0 時(shí)， 0, e 1, xe x，從而 e 1+ x，當(dāng) x 1+ x，所以當(dāng) x 0 時(shí)，ex 1 x證法用柯西中值定理。設(shè) f (x) = ex, F(x)=1+x ,在()內(nèi)任取x，在0 , X或X , 0內(nèi)f(X)、F(x)滿足柯西中值定理的條件。在0，x或x，0上連續(xù)；在(0,0)內(nèi)可導(dǎo)；在(0，x )( x ,0 )內(nèi) F (x)=1F(x)F(0) x故有ex e0(1 x) 17，(在0與x之間)；當(dāng)x 0時(shí)，e 1,xe 1+ x ；x V 0 時(shí),xe 1.e v 1,1,x

21、xe 1+x ,所以0 時(shí)，ex 1 x。證法用泰勒公式。2 x 2!x這就證明了f(x) = ex，將ex在x=0點(diǎn)展開為一階麥克勞林公式與x之間)因?yàn)楫?dāng) x豐0時(shí) x2 0，所以 ex2!xe 1 x小結(jié) 禾U用拉格朗日中值定值、柯西中值定理和泰勒公式證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)和選擇適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，使它滿足定理的條件。其次是如何將等式轉(zhuǎn)化成不等式，主要是把f ()適當(dāng)放大或縮小從而得到所要證明的不等式。例8設(shè)f(x)在a1,b1上連續(xù)，在(a1,b1 )內(nèi)有一階、二階導(dǎo)數(shù)且f f (b) 0, f (a) 0,a1 abb,試證在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使f ( ) 0分析

22、由f (a)0知在a點(diǎn)的右鄰域內(nèi)存在一點(diǎn)c,使得f(c) 0,a c b。又f(a) f(b) 0自然想到將a,b分成a,c , c,b二個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上對(duì)f(X)應(yīng)用拉格朗日中值定理，找到f ( 1), f ( 2)。選定1 , 2】閉區(qū)間，再次應(yīng)用拉格朗日中值定理即可得到結(jié)果。又，由于f (x)在a,b內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a) f(b) 0 ,且研究的結(jié)論是f() 0,而泰勒公式中包含二階導(dǎo)數(shù)，自然想到也可以用泰勒公式證明。證法1用拉格朗日中值定理。由 f (a) |im f(X) f(a)|im 丄兇 0 可知，存在 0，當(dāng) c (a,a )x a x axaXa時(shí)，丄 0，從而，f(c

23、) 0,在a,c，c,b上f (x)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,x a故在a,c上有(a1c)(c2b)1，2 上有f (c) f (a) f f(c)f ( i)，c ac a在b 上有 f(b) f(c) f () f(c)在c,b上有f ( 2)b cb c又f (X)在1，2上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故在f ( 2) f ( 1)2 1因?yàn)閒 (c) 0, c a 0, b c 0 ,所以f ( 1) 0, f ( 2) v0又因2 0, f ( 2) f ( 1) v 0，所以 f ( ) v 0。證法2 用泰勒公式。由題設(shè)(a)limx af(x) f(a)x alimx af(x

24、)x a0得到，在(a,b)內(nèi)必存一點(diǎn)c使得f(c) 0,a c b。設(shè)f (x)在x點(diǎn)取得最大值，f (x) 0,a X。b, f() f(c) 0,f (x)f (X0) f(X0)(X X0)十(X X0),(在 x 與 X0之間)f ( )2令 x a，則有 f (a)f (xo) f (xo)(a x)(a x)f ()2f( )2f(xo)2(a X。)，即2F(a X。)f (xo) o，所以 f ( ) v o。小結(jié)證明包含二階以上導(dǎo)數(shù)的有關(guān)結(jié)論，如果用拉格朗日中值定理，就要分析題目條件選定二個(gè)以上適合中值定理?xiàng)l件的區(qū)間，多次應(yīng)用拉格朗日中值定理。泰勒公式中含有 各階導(dǎo)數(shù)值，也

25、可以用來證明與二階以及以上導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題。例9 求函數(shù)f (x) sin x cosx的極值(ow x o,4此題為可導(dǎo)函數(shù)且在駐點(diǎn)處便。2xx已知函數(shù)f (x)x 1,f (x)2x2x(11,f (0)limx of(x)所以,limx o所以f(4)所以fq)f (x) o,. 2為極大值。、2為極小值。所以找出駐點(diǎn)后，用第二充分條件進(jìn)行判斷方o,問x為何值時(shí),o,f(x)取得極值。In x), xf(o)x o2x2x(1 ln x)o，當(dāng)x=o時(shí),olim -X o x1,f(o)limof(x) f(o)x olimx ox2x 1當(dāng)x=o時(shí)，f (x)不存在。令 f (x)=o,

26、即 2x2x(1 ln x) =o，得駐點(diǎn) x順序排列，把函數(shù)的定義域(11 、,(將可疑點(diǎn)x =o及x 按大小 ee)分成三個(gè)部分區(qū)間，討論在各部分區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。)11當(dāng) x v 0 時(shí)，f (x) 0 ；當(dāng) 0v x v 時(shí)，f (x) 0 ；當(dāng) x 時(shí)，f(x)0 時(shí)，4f (x) g (x)。因此，當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) g(x),曲線 y f (x)及 yg(x)不會(huì)相交；當(dāng)x0時(shí)，方程無實(shí)根，故方程以0為其最大實(shí)根。(2) g(x) sinx cosx2sin(x)為周期 T=2 的周期函數(shù),它在直線y 2 及4y2間來回振動(dòng)。而f (x) e2x，當(dāng) x時(shí)，f(x)0,

27、即曲線 y f(x)以x軸為漸近線，故兩曲線y f(x)及 yg(x)在(,0)內(nèi)無限多次相交,所以原方程有無限多個(gè)根。例192證明不等式x si nxx 當(dāng) 0x 2時(shí)成立。證令 f (x) x sin x，則 1f (x)1 cosx0,x(0,2)所以f (x)在0,空上單調(diào)增，當(dāng)02(2)令 g(x) sinx x，則 g (x)(0, )內(nèi)不單調(diào)，要證當(dāng):2令sin xx 3時(shí) f(x) f (0) =0 即 x sinxcosx 在(0,)可正可負(fù)，因此 g(x)在22 sinx 2 jx，證即可。為此，g(x) x，而 g (x)xcosx2xsin xcosx2 (x tanx) x由于當(dāng)0x 時(shí)，cosx 0,tanx2x，所以g (x)0。函數(shù) g(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)減小,因此，當(dāng)0 x 2時(shí)，有 g(x) g(彳，即sinx 2x所以-x si nx x(0例20若0 x 1及p 1,求證:12卩1xp (1 x)p 1分析因中間部分是x的函數(shù)，兩端是常數(shù)且式中出現(xiàn)等號(hào)，故可聯(lián)想到閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，在該區(qū)間上一定能取得最值，且其函數(shù)值介于最小值與最大值之間