立體幾何怪難題-理科

1、立體幾何提升訓(xùn)練【例1】如圖，在四B P ABCD中，底面為直角梯形， AD/BC, BAD 90 , PAB C垂直于底面 ABCD, PA AD AB 2BC 2 , M , N分別為PC , PB的中點。(1)求證：PB DM ; (2)求BD與平面ADMN所成的角；(3)求 截面ADMN的面積。解：(1)證明：因為 N是PB的中點，PA AB,所以AN PB。由PA 底面ABCD ,得PA AD ,又 BAD 90 ,即 BA AD ,AD 平面PAB,所以AD PB , PB 平面 ADMN , PB DM。(2)連結(jié)DN ,因為BP 平面ADMN ,即BN 平面ADMN , 所以

2、BDN是BD與平面ADMN所成的角，在 Rt ABD 中，BD VBA2 AD2 2/2 ,在 Rt PAB 中，PB JPA2 AB2 2/2 ,故 BN -PB V2 ,在2BN 1Rt BDN 中，sin BDN 一，又 0 BDN , BD 2故BD與平面ADMN所成的角是 一。611(3)由M ,N分別為PC , PB的中點，得 MN BC ,且MN 1BC -,22又AD / BC，故MN AD ,由(1)得AD 平面PAB，又AN 平面PAB,故AD AN ,四邊形ADMN是直角梯形，在Rt PAB中，PB J PA2 AB2 2我，AN 1PB 2 , 2_1 .1 1-5.2

3、截面 ADMN的面積 S(MNAD)AN (2) v2。22 24(1)以A點為坐標原點建立空間直角坐標系A(chǔ) xyz,如圖所示(圖略)1由 PA AD AB 2BC 2 ,得 A(0,0,0) , P(0,0,2), B(2,0,0), M (1-,1),D(0,2,0)因為uuu uuumPB DM(2,0, 2)(1,|，1)0,所以PBDM。(2)uuu因為 PBUUITAD (2,0,2) (0,2,0)0 所以PB AD ,又PBDMPB 平面ADMN ,即uuuPB (2, 0,2)是平面ADMN的法向量。BD與平面uuuADMN所成的角為 ，又BD ( 2, 2, 0)。貝U s

4、inuuur uuu| cos BD , PB |uunn uuuu |BD PBI 4uu-uuurI 4|BD|PB| J4 4 、.4 4因此BD與平面ADMN所成的角為一,6又0 ,萬，故石，即BD與平面ADMN所成的角是【例2】如圖，已知 ABCD AB1clD1是底面為正方形的長方體,ADiA 60, ADi 4,點P是AD上的動點.(1)試判斷不論點 P在ADi上的任何位置，是否都有平面BPA1垂直于平面 AADi D并證明你的結(jié)論;(2)當(dāng)P為ADi的中點時，求異面直線 AAi與BiP所成角的余弦值;(3)求PBi與平面AADi所成角的正切值的最大值.解：(i)不論點P在AD1

5、上的任何位置，都有平面 B1PAi垂直于平面 AAiDi.證明如下：由題意知， B1Al AD，B1A AA又 Q AA IA) ABi A 平面人人口 又A Bi 平面BiPAi平面B1PAi平面AA1D1 .(2)解法一：過點 P作PE ADi ,垂足為E ,連結(jié)BiE (如圖)，則 PE / AA ,BiPE是異面直線AA與BiP所成的角.在 14慶人口1中.ADiAi60o AiADi30oAA1B1A1D1 AD12,A1E AD11,22BE JBA2 AE2 75.又 PE AAi V3.在 RtBiPE 中，B1P J53 2&cos B1PEPE 、,3.6b1p 2/2 T

6、異面異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為36A解法二：以A為原點，A0所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示,A1(0Q QPA(0,0,2強,B1(2,0,0), P(0,1j3),uuiruuirA1A(0,0,2V3), B1P( 21,73)A1uuir uur cos AABPuuir uuirA1A B.P uuUZ TUnr_|AA|BF| 2,3 2 24C1一D1，異面異面直線 AA1與BP所成角的余弦值為、.6(3)由(1)知，B1Al 平面 AA1D1 ,BFA是PB1與平面AAD1所成的角,且 tan B1PAB1AAP2AP當(dāng)AP最小時,tan B1PA 最大，這

7、時 A,P AD1,由 APAD1 AAAD12.332.3得 tan B1PA1二,即PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值3【例3】已知PA 平面ABCD, PA AB AD 2, AC與BD交于E點，BD 2, BC CD ,(1)取PD中點F ,求證：PB 平面AFC。(2)求二面角 A PB E的余弦值。解法 1:(1)聯(lián)結(jié) EF，: AB AD , BC CD , AC=AC ADC ABC, . E 為 BD 中點，.F 為 PD 中點，PB/EF , PB平面 ACF聯(lián)結(jié) PE, PA AB AD BD 2,在等邊三角形 ABD中，中線AE BD ,又PA底面ABCD ，

8、PA BD , BD 面 PAE ,.平面PAE 平面PBD。過A作AH PE于H,則AH 平面PBD ,取PB中點G,聯(lián)結(jié)AG、GH ,則等腰三角形 PAB中，AG PB ,AH PB, PB 平面 AGH , PB GH , AGH是二面角A PB E的平面角等腰直角三角形 PAB中，AG J2,等邊三角形 ABD中，AE J3, Rt PAE 中，AH23由，GHCOS AGHGHAG2_47 1=.，二面角A PB E的余弦值為277解法2:以AC、AP分別為V、z軸，A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系,. PA AB AD BD 2, BC CDABD是等邊三角形，且E是BD中點,

9、. ABC ADC , AC BD則 A(0Q,0)、B(1,73,0)、D(1,質(zhì)0)、1 .3F( 2亍 1)zE(0,V3,0)、P(0,0,2)、uuu _1 ) PB(1,V3, 2)、uuu FE(巖1)iuuPB1 uuuFE 2PB/EF,PB平面 ACF(2)設(shè)平面PAB、PBE的法向量分別為(xi,r 丫1，0) n2(X2,丫2,1)，.ur ur則r、%的夾角的補角就是二面角PBE的平面角;uuu AB_ uuu(1,百,0), PB(i, 3,2)uuuPE(0,五,2),ir由n1uurABuuuuuuuPBuun2 PEnr (行 10)uu%1)，ur ur c

10、os ni,n2iruuJ1 nlu|ni | |% |PB E的余弦值為【例 4】如圖，11DE-DE. - DE.22已知 AB，平面AC=2,則B(3,0,1),E,(0,1,2).(x, y, z)為平面BCE的法向量CB 0,n CE 0,即2y 2zy z 0,令 z 0.顯然,m (0,0,1)為平面ACD的法向量。E0),(0, 1,1)一C1,貝1J n設(shè)平面BCE與平面ACD所成銳二面角為，則cos|m n |1| m| | n|245 ,即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為 45【例5】如圖，在四棱錐 P ABCD中，PA!底面 ABCD/ DAB90AB/ CD AD

11、=CD=2AB=2 E, F 分另是 PC, CD的中點.(I )證明：CDL平面BEF;(n)設(shè) PA k AB,且二面角E BD C為60 ,求k的值.DF解：(I)證明： DF/ABAB矩形 ABFDBF CDDAB 90PAL平面 ABCD ADL CD.由三垂線定理得E是PC中點F是CD中點PD CDEF PDEF CD - CD面 BEF(n)連結(jié) AC且交BF于H,可知H是AC中點，連結(jié)EH,由E是PC中點，得EH/ PA, PA，平面 ABCD.得EHL平面 ABC作HML BD于M連結(jié)EM由三垂線定理可得EM_ BD.故/EMH二面角 E- BD- F的平面角，故/EMH60

12、0. Rt HBMh RtADBF,HM HB故DF BD/口 HM1/日得,得HM15在 RtEHM中,EH tan 60 , HM1得柢J3, k 2d5.25解法2: (I)證明，以A為原點，建立如圖空間直角坐標系 A xyz.則 B(0,1,0) , C( 2,2,0) , D( 2,0,0).設(shè) PA = k,則 P(0,0, k),(2,0,0)E( 1, 1,2), F( 2,1,0)uuur uurCD BE 0, 皿有 uuur uur則CD BF 0,uuir 得 CD (0,CD BE,CD BF,uuuuur2,0), BE ( 1,0節(jié),BFCD 平面BEF.(n)Q

13、PA k(k 0),P(0,0, k),BCD的一個法向量uuirAP (0, 0, k),k -BE ( 1, 0, g), BD ( 2,1, 0).rruuu ruuur設(shè)平面BDE的一個法向量n(x,y,z),有nBE,且nBD,r uurk則 n Bur0,得 x 2z0,取x 1,得n 0, 2臺 n BD 0,2x y 0,kAP nuuu r由 | cos AP n | cos60 ,AP n得一里=1, 得5k2k.5 ：22【例6】如圖，在棱長都相等的四面體16. kABC中，點 弱棱AM中點,(1)設(shè)側(cè)面ABCi底面BC所成角為a，求tan a .(2)設(shè)C臼底面BC而成

14、角為3,求cos 3 .(3)在直線BC是否存在著點F,使直線AF與C斯成角為90 , 若存在，試確定F點位置；若不存在，說明理由。答案：解：(1)連AF、DF,由4ABC及4BDC是正三角形，F(xiàn)為BC中點，得 AU BC, DFL BC, AF=DF / AFD為二面角 A-BC-D的平面角設(shè)棱長為 a,在 ABC中，AF=W3a, DF=W3a22在 AAFD 中，cos0 3 222 a a42 2a24tg 2,2(2)法一：. BCX面 ADF,面 ADFL面 BCDBC 面 BCD在面ADF中，過 E作EG! DF,貝U EG1面BCD連CG則/ 又AF=DF E為AD中點，故 E

15、F AD在 RtDEF中,EYa)212(2a)1,DE=- a ,由 EG2DF EF DE得EG在 RtCEG中,. 2fsin，貝U cos32a21、- 2 a a223a2二BC中點為M CD中點為N, y軸建立直角坐;6 A a6法二：設(shè)AOL面BCg O,則O為等邊三角形，BCD為中心,以O(shè)為坐標原點，O所在直線為x軸,標系0-xyz ,設(shè)棱長為2a,則0(0,0,0)ON所在直線為y軸，OA所在直線為，A（0,0 ,跡 a）,C（國 a,a,0）,D（-2a,0,0）, 22E(-二 a,0, 3 a)(-2.3 a。a,-a,2.233 2a. cos=一4一2 : 6 a3

16、CE與面BC所成角的余弦值為cos.3(3)法一：設(shè) F( a,y,0)AF/ 3 (wa,y, 32 6 、Ta)2a4 - 3 ay2a2 - 3F( y- a,-2a,0), 即 F 在 CB處長線上，且 FB=1 BC法二：設(shè) AB c,AC a,CD b , . R C、F 三點共線，AFc (1)c又 AF CE*fb c- 1- c (1 )a (b a) 2311 ,3一AFc aAB222211AC CB AB22F在CB延長線上,且FB=- BC2【例7】如圖，在四B隹PABCD,且 PA PDABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD底面AD ,若E、F分別為

17、線段點.(1)求證：直線EF PADPDCPAD B PD C (1)證明：連結(jié)AC ,在CPA中EF PA PA PAD EFPADEF /平面 PADPADABCD PAD I ABCDAD CD AD CDPADCD PA PA PD 遮 AD2PAD APD 2PA PD CD I PDPD M EMMF EMCD PDPD EFABCD PAPDC EF PDPDCPDPAEFMPADPDPADMFPDCEMFB PD CRtFEM1 EF PA2EM1 -CD2tan EMFEFEM2 a41 a222-AD O OP OF . PA22PD,PO AD側(cè)面PAD底面ABCD,平面

18、 PAD 平面 ABCD AD ,PO 平面 ABCD ,而O,F分別為AD,BD的中點，. OF AB,又ABCD是正方形，故OF AD., PA PD 也AD,.PA PD,2OP OA以O(shè)為原點，直線OA,OF,OP為 x,y,z軸建立空間直線坐標系，.E為PC的中點，aD(二,0,0), 2/ a a a、E( a,a,-)4 2 4aP(0,0,2,B(2,a0),C(uuir(1)易知平面PAD的法向量為OFuuir(0,a,0)而 EF (-,0,-),2uuur uuuia a aOF EF (050)(4,0, 4)0EFPAD (2)uuuuPAaa uuuruuu uuu

19、1aa(,0,-), CD(0,a,0) PA CD(-,0,-)(0,a,0) 0,2222uuuPAuuurCD，從而 PA CD ,又 PA PD , PDI CD D,PA平面PDC ,而PA 平面PAD ,平面PDC平面PADuuu(3)由(2)知平面PDC的法向量為 PA(|,。,uuur設(shè)平面PBD的法向量為n (x, y, z) . . DP2).a a uuur*BD(a,a,0),，由UULrDPr uuur0,n BD0可得(1,1,1), cosr uuun, PA即二面角BPD C的余弦值為【例8】如圖，在梯形ABCD中,umPAim un r uuri n PA1,

20、則 y 1,z1,Y6,二面角 B PD3C的正切值為2AB / CD, AD DCCB a,ABC 60 ,平面ACFE 平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AEEF上.(1)求證：BC 平面ACFE；(2)當(dāng)EM為何值時，AM /平面BDF ?證明你白結(jié)論；(3)求二面角(I )在梯形B EF D的平面角的余弦值.ABCD 中， AB/CD ,AD DCCB a,ABC 60四邊形ABCD是等腰梯形,且 DCADAC30 , DCB120ACBDCBDCA 90AC BC 2 分又平面ACFE 平面BC 平面ACFEABCD ，交線為AC ，a,點M在線段(n)解法一、當(dāng) EM3 a時,3

21、AM / 平面 BDF ,5在梯形ABCD中，設(shè)AC BD N ,連接FN ,則CN : NA 1:2EM Ja,而 EF AC 3a EM: MF 1:2,7 分3MF/AN , 四邊形ANFM是平行四邊形，AM / NF 8 分又 NF 平面BDF , AM 平面BDF AM 平面BDF 9 分解法二：當(dāng)EM 二3a時，AM /平面BDF , 3由（I）知，以點C為原點，CA,CB,CF所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，5則 C(0,0,0), B(0,a,0), A(春a,0,0), D(烏2-a,0), 2F(0,0,a), E(V3a,0,a)AM 平面BDF ,AM / 平面

22、BDFAM與FB、FD共面,也等價于存在實數(shù)n ,使 AM mFBEMtEFEM(- 3at,0,0)AMAE EM又FD, 3(Ta，1 a,2a)，F(xiàn)B (0,a,a)從而要使得:3at,0,a)m(0,a,a)nFDEF(-3a,0,0)-3at,0,a)na,2a, a)成立, 2maam3 一an21. an ,斛得t2an當(dāng)EM工3 a時，AM 平面BDF 3（出）解法一、取EF中點EB中點H ,連結(jié)GH , DHDEDF,DG EFBC 平面ACFEBCEF又 EFBE2FCDE2,EFDB2FB,又 GH /FB ,EFGHADGH是二面角B EF D的平面角.在BDE中，DE

23、、2a,DB 、.3a,BEAE2 AB2,5aEDB 90 ,DH 是a.又DG2.5a,GH2.2a .2在 DGH中，由余弦定理得 cos DGH.101010即二面角B EF D的平面角的余弦值為 -10解法二：由(I )知，以點C為原點，CA,CB, CF所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，則 C(0,0,0), B(0,a,0) , A(j3a,0,0),3a 1 八、d(V，2a,0)F(0,0,a), E(V3a,0,a)過 D 作 DG垂足為G .令FGFE (.3a,0,0)(-3a,0,0)，EF,CG CF FG ( 3a ,0,a),DGCGCD ( .33a,2-

24、a,a)2由 DG EF 得，DG EF 0,DG_ 1_ _(0a,a),即 GD(0, (a, a)BC AC,AC/EF, BCEF ,BFEF面角B EFD的大小就是向量角.FB (0,a,a)cos GD,FBGD FBGD FB.1010即二面角B EF DGD與向量FB所夾的的平面角的余弦值為1010【例9】如圖，已知BCD 中,BCD90 , BC CD 1 , AB，平面 BCD , ADB 60 ,E、F分別是AC、AD上的動點，且(1)求證：不論為何值，總有平面AE AFAC ADBEF，平面(01) (2)若平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為ABC ;60 ,求

25、的值。解法一：(向量法) 過點C作Cz / AB Cz，平面 BCD:.BC CD如圖，以C為原點,. AB,平面 BCD又在 BCD中， BCD 90又在BCD 中,建立空間直角坐標系 C xyz.BCD 90 , BC CD 1 BDvQ 又在 Rt ABD 中， ADB 60 AB髭 則 C(0,0,0), B(1,0,0), A(1,0, V6),D(0,1,0)(1)證明： C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,逐)，D(0,1,0) BA (0,0, 6),CB (1,0,0),CD (0,1,0)，平面BA CD 0,CB CD 0 BA CD,CB CD又ABBC B

26、CDABC又在 ACD中，E、F分別是AC、AD上的動點,，不論 為何值，者B有 EF/CD ，EF，平面ABC 不論 為何值，總有平面 BEF，平面ABC且任AC又EF”(0AD平面BEF1)-AE 一,(2) AC，達臣二兄 JLC , AC (1,0,畫，AEAC,0,又 Ab 0,0,灰， BE AE AB,0,16(1),(x, y, z)是平面BEF的法向量，則nBE,nEF 又EF /CD ,CD，; CD =(0,1,0),x , 6(1 )z06(1),y0 n (V6(1),0,),(0,0,1)是平面BCD的法向量，平面BEF與平面BCD所成的二面角為60“ n m co

27、s60|n |m|2 0,2 72或 2友 (不合題意，舍去)故當(dāng)平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60一， AE解法二：，.- AE=2AC ,設(shè) E (a,b,c),則(aAC1,b,c6)1,0, V6),a=1+ ,b=0,c= .,6(1),E (1+ ,0,n6(1),. BE(,0,76(1)。其余同解法(x, y, z)是平面BEF的法向量n BE,n BFAEAC.CEACAFAD(01)EMAbCEAc又在BCD 中,BCD90CD 1 BD又在RtABD 中,ADB60 AB,6 EM. 6(1又BMBCAEAcBC 1BMCME(1,0,.6(1)CNBCF(1

28、, , .6(1) BE,0, .6(1),BF)6(1 )zy .6(1.6(1),y(.6(1),0,)其余同解法)z 0【例10如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得.AB=2, BD=1, CE=3AF=a ,。為AB的中點.OCa 4 a/4 .3 DE ,3DF n(x,y,z)DE2zDF2x 3z3 2Z,(0,Q1),n(2DEml nDF a DP1210103. 3z6DE OP OD DP (1,0,1)(1, , 3,2) (1, 3 ,21)CP OP OC (1,3 ,21) (0, - 3,0) (1, .

29、3(1),21)CP DECP DF1 3(1) 2(21) 02(1) (a 1)(21) 0:a 2 aABCDAB 2, AD 1,E CD AE DAE D D D AEABCE AD EB AC ABDRt BCEBEBCCE2Rt ADEAE.DA2DP .2AB222BE2 AE2AEBEAEDABCE AE BE AED ADAEDADBEAC BE FADBEADED AD EBD AD AEDABDEBDBDFGBDFGABDAG FAGAC ABD 空 FBEC 1AB 2EF1EB3Rt AEF22,529AF AE2 EF2Rt EBDFGFBFG26 sin FAG

30、 9FGAF_3015ACABD,3015AAi- 3BAACBA ACBBi(1,0, 3),BC ( 1,、3,0)BCBC 平面 BCC1B10, BBi n 0n ( . 3,1,1) cos m, n 1202 02( 3)2 12 121.55 0(I)求側(cè)棱AA1與平面AB,C所成角的正弦值的大小;uuirBC ,在直線AA1上是否存在點P,請確定點P的位置；若不存在，請說uuir由 cos=AA n _3_.6AA1 ?n 2 24uuur uur(n )已知點D滿足BD BA使DP/平面ARC?若存在， 明理由.解：(I ).側(cè)面AACC1底面ABC彳AO, AC于點O, 二

31、AO,平面ABC.又/ABChA1AC=60 ,且各棱長都相等, .AO=1, OA=OB=/3 , BOL AC.故以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,則(0,1,73).A(0, -1 , 0) , B( 73 , 0, 0) , Ai(0 , 0, V3), A0 , 1, 0) , AA ABJ3,2,J3,AC0,2,0 .設(shè)平面 ABC的法向量為 n=(x,y,1)則n空超x 2丫底解得n=(-1,0,1).n AC 2y 0iuur而側(cè)棱AA與平面ABC所成角，即是向量 AA與平面ABC的法向量所成銳角的余角,，側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大小為uuur

32、 _BD ( 2 . 3,0,0)uuiruuu uuur uur ,一 uur 一(II)/ BD BA BC,而 BA V3, 1,0 , BCV3,1,0 .又B(J3, 0, 0), 點D的坐標為D(- J3 , 0, 0).假設(shè)存在點P符合題意,則點P的坐標可設(shè)為P(0,uuurV, z). DP J3, y,z. DP/平面 ABC, n=(-1 ,0,1)為平面ABC的法向量,uuu.由 APuuur yAA，得一 .33, y 0.又DP平面ABC,故存在點P,使DP/平面ABC,其從標為(0,0, J3),即恰好為 A點【例14如圖，棱柱 ABCABCD的所有棱長都等于 2,

33、 /ABB60。平面 AACQ平面 ABCD /AiAG60 。(I )證明：BDLAA;(n)求二面角 D AiA C的平面角的余弦值;( 山) 在 直 線CC 上 是 否存 在 點 P, 使& AA、0 n1 (1,0,0) &. .設(shè)&(x, y, z)n2ADBP .3.33AA1 BD 0 ( 2.3) 1 03 0y 、3z 0 取 1(1J3, 1).3x y 0BD ( 2.3,0,0)AA1 (0,1, . 3)n1n 2、55cos n1,n2-|n1 | |n2 |55CPCC1,P(x,y,z) (x,y 1,z)(0,1,、, 3) P(0,13 )BP ( . 3,

34、1, 3 )n!平面 DA1C1n3 A1C1 一_ 一 % (x3,y3,Z3)n3 DA12y30：/3x3 . 3z3不妨取n30(1,0, 1)BP/ n3 BP 0即,3 、30得1 AC1 E F A1D1 A1B1 AE BF BDD1 BFC1P ABCD EP/11 一E(2,0,1) B(1,1,0) F(1,-,1) AE1(2 ,0,1)一 1BF (0,2,1)BFC1 EP A(1,0,0)11 ,、MA (-, -,0) n (x,y,z) 2 2uur r cos MA, n一-1n BF y z 02n BC (x,y,z) ( 1,0,1) x z 0uur

35、 rMA n-uutr-r-|MA|n|x z一cz 1 n (1,2,1)y 2z3 P(x, y,0)0 x 1,0 y 16uurEP(x12,y, 1)uuu rEP n 01(x 2) 2y 1 0x 2y32Q031, 0 2y 2AiCluuu|EP|(x2）、(2y 1)21 5y2 4y 25EAB3BABuuuJ30I EP Imin- y5EPmaxABCD A1B1C1D1 EkAA ( I )求證:AE /平面 PBC ；（n）當(dāng)k應(yīng)時，求直線pa與平面PBC所成角的大小;（出）當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？解法一：（I）過 P作MN/ B1

36、C1,分別交 AB、DG于 M N,則 M N分別為A1B、DiG的中點，連 MB NC則四邊形BCNM1平行四邊形 E、M分別為 AR AB 中點，AE/ MB又MB 平面PBC，A1E/平面 PBG(n) 過 A作 AF，MB 垂足為 F,連 PF, ,BCL平面 ABBA, AF 平面 ABBA,AFXBC, BCA MB=B，AF,平面 PBC/ APF就是直線 AP與平面 PBC所成的角,設(shè) AA=a,貝U AB=V2a, AF=2/3a , AP=V2a , 3sin Z APF=AF o所以，直線 AP與平面PBC所成的角是arcsin 0AP 33（山）連 OP OB OC則O

37、PL BC由三垂線定理易得 OBL PC, OCL PB,所以O(shè)在平面PBC中的射影是 PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是 PBC的重心，則4 PBC為正三角形。即 PB=PC=BC 所以 k 42。反之，當(dāng)k二&時，PA=AB=PB=PC=B的以三棱錐 O PBC為正三棱錐, .O在平面PBC內(nèi)的射影為 PBC的重心.解法二：以點。為原點，直線 OA、OB、OP所在直線分別為x、v、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)AB 2亞，則得 A(2,0,迪)、E(1,1,0)、P(0,0,彥)、B(0,2,0)、 kkC( 2,0,0)uuu(I )由上得A E(uur BC(2, 2

38、,0)、uuu 2 2PB (0,2,)TAE x BC y kuuuPB得(J平)2, 2,0)y (0,2,解得xuiuA E1 uuu BC2uuuPBQ BCPBAE平面PBCA1E /平面PBCJ2時，由P(0,0,2)、A(2,0,0)得uurPA(2,0, 2)、uurBCuuu(2, 2,0)、 PB (0,2, 2)設(shè)平面PBC的法向量為rn (1,uurBC uuu PB0 /曰 ,得0, 0rn (1, 1, 1)uuu ruu r PA ncos PA, n-uuurPA n直線PA與平面PBC所成角的大小為arcsinT.(m)由(I )知 PBC的重心G為3 3,

39、3kuJLT則OG (2 2 2,233 3k若O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心,uur則有OSOGuur BC uuu PBk .2)1，當(dāng)k 應(yīng)時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為 PBC的重心.【例17如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱 ABC ABC1的底面ABC位于平行四邊形 ACDE中，AE 2, AC AA1 4, E 60 ,點 B 為 DE 中點.(I)求證：平面A1BC 平面AABB1.(n )設(shè)二面角 A BC A的大小為 ，直線AC與平面A1BC所成的角為 ，求sin()的值.解：(I)方法一、在平行四邊形 ACDE中， AE 2, AC 中點.ABE 60 , CBD 3

40、0 ,從而 ABC 90 ,即 AB BC又 AA1 面 ABC, BC 面 ABC AA1 BC,而 AAIAB A, . BC 平面 A1ABB1 BC 平面 A1BC.平面 ABC 平面 AABB1方法二、; AE 2, AC 4, E 60,點 B為 DE 中點. AB 2, BC 2石，AB2 BC2 16 AC2 ,AB BC又 AA 面 ABC , BC 面 ABC , AA BC ,而 AA I AB A ,，BC 平面 BC 平面 A1BC.平面 ABC 平面 AABB1(n)方法一、由(I)可知A1BBC , AB BC A1BA為二面角 A1 BC A的平面角，即 A1BA在 RtAAB 中，AB 2, AA1 4,A1B 2展,AA2.5AB5sin sin ABA, cosAB 5AB5以A為原點，建立空間直角坐標系 A xyz如圖所示， _uur其中 A(0,0,4), B(、,3,1,0) , C(0,4,0) , AC (0,4,0),uur _uuir_AB ( .3,1, 4)，BC ( ,3,3,0), r uuur5 rn AB設(shè)n (x, y,z)為平面 ABC的一個法向量，則r uur0 ,