基本不等式應用利用基本不等式求最值的技巧題型分析

1、基本不等式應用一 基本不等式1. (1)若 a,b R，則 a2 呼 2ab 若 a,bR，則ab220（當且僅當a2b時取“ * "» *2(1)右 a,b R 側(2)若 a,bR，則 a b2jab （當冃僅當a(3)若 a,b R，則ab2b2（當且僅當ab時取2”）3.若X 0，則XX當且僅當 X1時取“二”）；若xO,則X若X0，則X 1X1 _2X（當且僅當a b時取3.若ab 0 >則（當且僅當a b時取=)若ab-2 （當且僅當a b時取“=”）4.若 a,b二）22吃b （當冃僅當2b時?。┳ⅲ海? ）當兩正數(shù)的積為定植時'可以求它們的和的

2、最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的 積的最小值， 正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3） 均值定理在求最值'比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用. 應用一：求最值例1 :求下列函數(shù)的值域(2) y二X+ X解：(1)y = 3x 2 + 2x-2值域為U6，+m）(2)當 x>0 時，0 X+ - >2 寸 X 1 = 2； X-X)W-2 U 2 , +S)當XV 0時，y二X+=X 值域為（S,解題技巧：技巧一：湊項例1 :已知X1，水曲釵y4x ;2 一的最大值。 4x 5解：因4x0,

3、所以首先要“調符號'又（4x乙尸是常數(shù)，所以對4x 2要進行拆整”4x3,23 15 4xQx4x 0 » y4x2I 54x 5當且僅當14x，即X1時，5 42式等虧成立，故當X 1 時，ymax 1。、湊項,評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。 技巧二：湊系數(shù)=-2/ (3-2T) <-(當2x= ； 8； -2x,g卩X二2時取等號評注：本題無法直接運用基本不等式求解，變式：設04x(32X)的最大值。解：02x0 y2x3 2x4x(3 2x)2 2x(3 2x)當且僅當 2x32x,即 X30,3時等號成立。2技巧三：分離X2例3.求

4、y 7x 10,(XX 1解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(七r+1*X+1)的項，再將其分離。K+ 1當 A>-11,g卩 X+ 1 > 0H, y 2 (X 1)比N十上-+彳9 (當且僅當X二1時取2”號)。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元,22(t 1)7(t 1)+10_t5t4ytt=x+ 1 '化簡原式在分離求最值。當兀n -11,即t=Z1 >時，y2(當t=2即X二1時取2”號)。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最AB( Ag(x)技巧五：注意

5、：在應用最值定理求最值時，值。即化為y mg(x)0,B0) , g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。若遇等號取不到的情況，應結合函數(shù)f(x) X -的單調性。X例1 當0 5 7 4時，求y x(82x)的最大值。解析：由0 V J v4知，S2工> 0|,利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子 積的形式，但其和不是 定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊上一個系數(shù)即可。2丿當X二2時，y x(82x)的最大值為8。但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。2例：求函數(shù)y,-vx?解：令Jx? 4t(

6、t 2)，則 y丄 Vx247x42)1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調性。因為 y t 區(qū)間單調遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調遞增函數(shù) > 故所以，所求函數(shù)的值域為52,練習求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時,X的值分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式abw 計。(i)y2 已如0x2 3x 1(xo)(./ 2X » 3 (3) y2sinx 1A (0,)sin XX 1，求函數(shù)y 7x(1 X)的最大值.：3. 0 X2f3求函數(shù)y 7x(2 3x)的最大值.條件求最值1 若實數(shù)滿足a b 2，則3a3b的最小值是分析:和到積"是一個縮小的過程

7、 ' 而且3a 3b定值.因此考慮利用均值定理求最小值,解:3* 和 3b 都是正數(shù)，3a 3b2j3a 2j 尹 63b時等號成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當a b 1時，3的最小值是6.1 1log 4X 1004 y 2 »求一一的最小值并求x,y的值X V技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時'變式：若要注意取等號的條件的一致性'否則就會出錯。2 ：已如X 0, y0,且1,求xy錯解：Q X 0, y錯因：解法中兩次連用基本不等式，在y 2漢等號成立條件是X y，在丄X2$等號成立19條件是-一即y 9x,取等號的條件的不一致 &g

8、t; 產生錯誤。因此' 在利用基本不等式處理問題時' 列出 xy等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：QxO, y0j9xy1, X99X 10 6 10 16 X y X y9x一時，上式等號成立,y變式： (1若X, y R且2x當且僅當、可得X 4,y1 2 時，X y min 16。(2)已知a, b,x, y R且旦X y，求1 /的最小值 xy1，求X y的最小值已如X, y為正實數(shù)，且X 2 +專=1，求 沁1 + y 2的最大值.X同時還應化簡 寸1 + y 2中y2前面的系數(shù)為W1 + y2 = X 寸 2 -F面將X,1+行分

9、別看成兩個因式:即 X 寸 1 + y2 =72屮 3廠W3V22y二J的最小值.ab技巧八：已知a, b為正實數(shù)' 2b+ab+ a二30求函數(shù)分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，性或基本不等 一是通過消元，轉化為一元函數(shù)問題，再用單調式求解，對本題來說，這種途徑是可行的：件中既有和的形式，又有積 二是直接用基本不等式對本題來說因已知條 的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。變式:法二:點評:、丄30 2b法一 ：Jizr,由 a> 0 得 » Ov bv 15302b一2t 2+ 3組一 31 令 t二 b+1

10、,1 vtv16, ab =. 5、亠/古.式ab2 bJ 30bb+ 12 (t+ ¥ )+ 34 V t + ¥ >注意色遛X18與5 2x白評遍值僅當t 4，即b = 3, a二6時，等號成立。 胎確J5 2窪4諛Xa!）碟牡矗¥島X）8又偏凹、則鍔ab 令"/abU 30w 0, 5八2 w uw 3 羽"/ab w 3yJ2,本題考查不等式abw 18, y18JOb （ a，b R ）的應用、不等式的解法及運算能力;如何由已知不等a 2b 30（a,b R ）出發(fā)求得ab的范圍，尖鍵是尋找到a b與ab之間的矢系，由此想到不等

11、b2 Jab （a.b R ），這樣將已知條件黔換為含變式：1 已知a>0, b>0, ab （a + b） = 1，求a+ b的最小值。 2若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知X, y為正實數(shù)，3X+ 2y= 10,求函數(shù)如二侮+侮的最值.式一ab的不等式 > 講而解得ab的范鬧解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等矢系,a + b a 2+ bw一 2，本題很簡 單=V2 V3x+ 2y = 2八5侮+佰W承寸（侮）2 +（佰）2解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值"條件

12、靠攏。W>0, Wj 3x+2y+2筋苗=10 + 2 侮何 w 10+ （侮尸（阿嚴=io+（3x + 2y）= 20 Ww 近=2 苗求函數(shù)y J2x 175 2x(-解析:2 y故 ypnax 2 八2。3當且僅當2x 1 =5 2x，即X -時取等號。2評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用基本不等式求最值時'一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本 不等式。應用二：利用基本不等式證明不等式1 已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a? b? & ab be ca1)正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+ c二 1，求證：(1 一 a)(1 - b)(1c)> 8abc已知 a、b、cR，abc分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個2”連乘，又1 a b C A/bc解：Qa'b'cR,abc1。2/bc同理b2>/ac1 彳 2ZabCC上述三個不等式兩邊均為正.分別相乘，得/bc>/aC 八/ab a應用三：基本不等式與恒成立問題解:19例：已知xO, y 0且丄-xy求使不