導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解答題專題訓(xùn)練匯編

1、全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解答題訓(xùn)練(二)1.已知函數(shù) f(x) = x3 + ax2 + b(a, b R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；若對任意a 3,4,函數(shù)f(x)在R上都有三個零點，求實數(shù)b的取值范圍.解(1)因為 f(x)= x'+ax2+ b,2a 所以 f' (x)= 3x2 + 2ax= 3x(x3).當(dāng)a= 0時，f' (x)= 3x2< 0,函數(shù)f(x)沒有單調(diào)遞增區(qū)間；2a2a令f' (x)>0，即一3x(x )。，解得0<x<3-，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間當(dāng)a>0時，為(

2、0,詈)；當(dāng)a<0時，2a2a令f' (x)>0,即一3x(x亍>>0，解得-3<x<0,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2a，0).(2)由(1)知,2aa 3,4時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, §),單調(diào)遞減區(qū)間為(一0)和(號，+=).2a4a3所以f(x) 極大值 =f(§) =+ b, f(x) 極小值 =f(0) = b.由于對任意a 3,4,函數(shù)f(x)在R上都有三個零點,3fx 版大值 >0,魯 + b>0,” 4a3所以 f即 27'解得一47vbv0.fx 刪值 <0,b<

3、;0274a3因為對任意a 3,4, b>石恒成立，所以 b>( )max= 4.所以實數(shù)b的取值范圍為(-4,0).反思與感悟用求導(dǎo)的方法確定方程根的個數(shù)，是一種很有效的方法.它通過函數(shù)的變化情況，運用數(shù)形結(jié)合思想來確定函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)，從而判斷方程根的個數(shù).2.設(shè)函數(shù) f(x) = x3 6x+ 5, x R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；若關(guān)于x的方程f(x)= a有三個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍.解(If (x) = Sx2 6,令 f' (x) = 0, 解得 Xi = , X2= 2.因為當(dāng) x>72或 XV 72時，f' (x

4、)>0；當(dāng)一/2vXV眾時，f' (x)V 0.所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一X,72)和付2,+)；單調(diào)遞減區(qū)間為(J2,/2).當(dāng)x=/2時，f(x)有極大值5+ 4/2;當(dāng)x=/2時，f(x)有極小值5412.由(1)的分析知y= f(x)的圖像的大致形狀及走向如圖所示.所以，當(dāng)5 4邊V av 5 + 4/2時，直線y= a與y= f(x)的圖像有三個不同的交點， 即方程f(x) = a有三個不同的實根.3.設(shè) a為實數(shù)，函數(shù) f(x) = x3 x2 x+ a.(1)求f(x)的極值；當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y = f(x)與 x軸僅有一個交點?解(i)f

5、9; (x) = Sx2 2x 1.令 f' (x) = 0,貝J x= 3或 x= 1.當(dāng)x變化時，F(xiàn)(X), f(x)的變化情況如下表:x1(K, 3)1 3(3,1)1(1,+K)f' (x)+0一0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增15所以f(x)的極大值是f( 3)= 27+ a,極小值是f(1) = a 1.(2)函數(shù) f(x) = x3 x2 x+ a=(x 1)2(x + 1) + a 1,由此可知，x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)>0,X取足夠小的負(fù)數(shù)時，有f(x)<0 , 所以曲線y= f(x)與x軸至少有一個交點.15由(1)知 f(

6、x)極大值=f(3) = 27+ a, f(x)極小值=f(1)= a 1.T曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點,二f(x)極大值<0或f(x) 極小值 >0,55即27+ a<0 或 a 1>0,二 a< 萬或 a>1,5當(dāng) a (, 27)U (1,+)時，曲線 y= f(x)與 x 軸僅有一個交點.4.已知函數(shù)f(x) = x'+ax2+ b的圖像上一點P(1,0),且在點P處的切線與直線3x + y =0平行.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;求函數(shù)f(x)在區(qū)間0, t(0vtv3)上的最大值和最小值;在(1)的結(jié)論下，關(guān)于X的方程f(x)=

7、c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根，求實數(shù) c的取值范圍.解 (1)因為 f' (x)= 3x2 + 2ax,曲線在 P(1,0)處的切線斜率為：f (1) = 3+2a,即3+ 2a= 3, a= 3又函數(shù)過(1,0)點，即一2 + b= 0, b= 2.所以 a= 3, b= 2, f(x) = x3 3x2 + 2.(2)由 f(x) = X3 3/+ 2 得，f' (x) = 3X2 6x.由 f' (x) = 0 得，x= 0 或 x= 2.當(dāng)0vt<2時，在區(qū)間(0, t)上f' (x)<0, f(x)在0, t上是減函數(shù)，所以 f(X)max = f(0) = 2,f(X)min = f(t)= t3 3t2 + 2.當(dāng)2<t<3時，當(dāng)X變化時，f(X)、f(x)的變化情況如下表:X0(0,2)2(2, t)tf' (X)0一0+f(x)22t3 3t2+2f(x)min = f(2) = 2, f(x)max 為 f(0)與 f(t)中較大的一個. f(t) f(0) = t3 3t2= t2(t 3)<0.所以 f(x)max= f(0)= 2.令 g(x) = f(x) c= X3 3x2+ 2 c,g' (x)= 3x2 6x= 3x(x 2).在 x 1,2)上, g