導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題解答題專題訓(xùn)練(三)

1、全國(guó)名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)優(yōu)質(zhì)經(jīng)典學(xué)案專題匯編(附詳解)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解答題訓(xùn)練(三)1.設(shè)函數(shù) f(x) = x+ ax2 + blnx，曲線 y= f(x)過(guò) P(1,0)，且在 P點(diǎn)處的切線斜率為2.求a，b的值;證明：f(x) < 2x 2.(1)解f' (x) = 1 + 2ax + ;.入由已知條件得f1戸0,f (1 )= 2,即1 + 2 0，1 + 2a+ b = 2.解得h1,lb= 3.(2)證明 因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0 ,+8),由(1)知 f(x) = x X2+ 3lnx.設(shè) g(x)= f(x) (2x 2) = 2 x x2+ 3lnx,則 g'

2、(x) _1-2x + 3* 2x+ 3) xg' (x)vO.當(dāng) Ovxvl 時(shí)，g (x)>0，當(dāng) x>1 時(shí)，所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1 ,+ S)內(nèi)單調(diào)遞減.即 f(x) < 2x 2.而 g(1) = 0,故當(dāng) x>0 時(shí)，g(x)< 0,2.已知 ae R，函數(shù) f(x) = ( x2 + ax)ex(x R).(1)當(dāng)a= 2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.解當(dāng) a= 2 時(shí)，f(x) = ( X2+ 2x)ex,f' (x)= ( x2 + 2)ex.當(dāng) f'

3、; (x)>0 時(shí)，(x2 + 2)ex>0,注意到 ex>0,所以x2 + 2>0，解得V2<x/2.所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，羽).同理可得，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一B,羽)和 翻, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增， 所以f' (x)> 0在(1,1)上恒成立.又 f' (x) = X2+ (a 2)x + aex,即X2 + (a 2)x + aex>0,注意到 ex>0,因此一x2 + (a 2)x + a0在(一1,1)上恒成立，x2 + 2x1也就是a> = X+ 1 -在(1,1)上

4、恒成立.X+ 1X+ 11 1設(shè)尸x +1x+?則y' =1+1即y= x + 1 七在(1,1)上單調(diào)遞增，x + 1133則 y<1 + 1 -k 2,故 2-題型二 轉(zhuǎn)化與化歸思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用ex3.設(shè) f(x) = 1+aX2，其中a為正實(shí)數(shù).4(1)當(dāng)a= 3時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn);若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.1 + ax2 2ax解 (1)對(duì) f(x)求導(dǎo)得 f (x)= ex 2.(1 + ax)當(dāng) a= 3時(shí)，若 F (x) = 0,貝y 4x2 8x+ 3= 0,31解得 X1 = 2, X2=-x1(8, 2)1213(2, 2)323、(2

5、,+ 8)f'(X)+00+f(x)/極大值極小值/綜合，可知31所以，x1 = 3是極小值點(diǎn)，x2= 2是極大值點(diǎn).32若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則 F(X)在R上不變號(hào)，結(jié)合與條件a>0,知ax2 2ax + 1 > 0在R上恒成立，因此 = 4a2 4a= 4a(a 1)w 0,由此并結(jié)合 a>0,知 0vaW 1.4.設(shè)函數(shù) f(x) = kx3 3x2 + 1(k> 0).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;若函數(shù)f(x)的極小值大于0,求k的取值范圍.解當(dāng) k= 0 時(shí)，f(x) = 3x2 + 1, f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一8, 0，單調(diào)減區(qū)間為0,+).f 2、 X- k»2 f(x )的單調(diào)增區(qū)間為(一O, 0 ,1-, +Lk當(dāng) k>0 時(shí)，f (x)= 3kx2- 6x= 3kxOO,單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)k= 0時(shí)，函數(shù)f(x)不存在極小值；8 12=k2- 1F +1>0，當(dāng)k>0時(shí)，依題意fj =IK丿(2 ,+8).即K2>4，由條件k>0，得k的取值范圍為呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論含