專題講座資料（2021-2022年）公務(wù)員考試中數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本公式及定理

1、 全國最專業(yè)、最權(quán)威公考培訓(xùn)機(jī)構(gòu)公務(wù)員考試中數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本公式及定理一 基本運(yùn)算定律及公式加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：（ab）c=a（bc）乘法分配律：（a+b）c=ac+bc乘方運(yùn)算律：，（）；（，）；平方差公式： 立方和（差）公式：完全平方公式：完全立方公式：二 常見代數(shù)公式1一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：設(shè)是方程（）的兩個根，則，。2不等式的性質(zhì)及應(yīng)用：不等式的性質(zhì)：（1）若a-b>0，則a>b；若a-b=0，則a=b；若a-b<0，則a<b。（2）若ac，cb，則ab。（傳遞性）

2、（3）若ab，則a±cb±c；若ab，cd，則a+cb+d，a-db-c；（可加性）（4）若a>b，c>0，則ac>bc，；若a>b，c<0，則ac<bc，；若a>b>0，c>d>0，則ac>bd，；（5）若a>b>0，則（n>1）；若a>b>0，則（n>1）。 重要不等式：（1），（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）。（2）如果a、bR，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）。（3）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即（）（，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）。3二次函數(shù)的基本性質(zhì)：二次函數(shù)=（a0）

3、。當(dāng)a>0，x=時，為最小值；當(dāng)a<0，x=時，為最大值。4常見函數(shù)求導(dǎo)：，；，。5平均增長率：如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有。6比和比例的性質(zhì)：性質(zhì)1：若ab=cd，則a×d=b×c（即外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積）。性質(zhì)2：若ab=cd，則(a±c)(b±d)=ab=cd。性質(zhì)3：若ab=cd，則(a±xc)(b±xd)=ab=cd(x為常數(shù))。三 數(shù)列公式（一）等差數(shù)列1基本公式（1）通項(xiàng)公式：（2）前n項(xiàng)和的公式：（3）等差中項(xiàng)：若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A=。2等

4、差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，若m+n=k+l，則； （2）若和都是等差數(shù)列，則、等都是等差數(shù)列；（3）若為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，也成等差數(shù)列。（4）從等差數(shù)列中，取出等距離的項(xiàng)所組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列。3等差數(shù)列中間項(xiàng)公式：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，等差數(shù)列的中間項(xiàng)為；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，等差數(shù)列的中間項(xiàng)為和，且有+=。（二）等比數(shù)列1基本公式（1）通項(xiàng)公式：（2）前n項(xiàng)和的公式：。（3）等比中項(xiàng)：如果a，c，b成等比數(shù)列，則c叫做a與b的等比中項(xiàng)，且。2等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等比數(shù)列中，若m+n=k+l，；（2）若和都是等比數(shù)列，則（k0）、等都是等比數(shù)列；（3）若為等比數(shù)列，為其

5、前n項(xiàng)和，則，也成等比數(shù)列；（4）從等比數(shù)列中，取出等距離的項(xiàng)所組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列。（三）裂項(xiàng)公式四 容斥原理、排列組合及概率1容斥原理：兩集合公式：|AB|=|A|+|B|-|AB|三集合公式：|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|2排列組合排列數(shù)：=（n!=n×（n-1）×（n-2）××2×1）組合數(shù)：（規(guī)定）常用關(guān)系式：；。排列與組合的關(guān)系：二項(xiàng)式定理：3.概率：等可能事件概率：如果試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A發(fā)生的概率。條件概率：在事件A發(fā)生（P(A)>

6、;0）的前提下，事件B發(fā)生的概率P(B|A)=。條件概率的變式，P(AB)=P(B|A)×P(A)和P(A)=。 事件A發(fā)生的概率P（A）與事件A未發(fā)生的概率滿足：。二項(xiàng)分布：若某事件概率為p，現(xiàn)重復(fù)試驗(yàn)n次，該事件發(fā)生k次的概率。五 幾何公式及定理（一）平面圖形1.三角形（1）三角形基本定理及推論邊勾股定理a2+b2=c2（a、b為三角形的直角邊，c為斜邊）勾股定理逆定理如果三角形的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。三邊關(guān)系定理及推論三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊。角三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和為180°。三角形外角

7、定理及推論三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。邊與角的關(guān)系等邊對等角，等角對等邊；大邊對大角，大角對大邊。備注在直角三角形中，30度角所對的邊等于斜邊的一半，且三邊之比為12。在等腰直角三角形中，兩個銳角均為45度，且三邊之比為11。三角形的面積S=ah，周長C=a+b+c（a、b、c為三角形的三邊長，h為a邊上的高）。（2）三角形主要線段條數(shù)圖形性質(zhì)角平分線共3條，交于一點(diǎn)。若AD為BAC的角平分線，則1=2；ABAC=BDCD。中線共3條，交于一點(diǎn)。若BD為AC邊上的中線，則AD=CD；=；-=AB-BC。直角三角形斜邊上的中線等于斜

8、邊的一半。高共3條，交于一點(diǎn)。若CD為AB邊上的高，則CDAB。若ACB=90°，CD為AB邊上的高，則CD2=AD×BD； AC2=AD×AB；BC2=BD×AB。（射影定理）若ACB=90°，CD為AB邊上的高，則AC×BC=CD×AB（等面積法）。中位線共3條，兩兩交于一點(diǎn)。若DE為ABC的中位線，則AD=BD，AE=CE；DEBC且DE=BC。反之亦成立。三角形的三條中位線構(gòu)成的三角形與原三角形相似。備注在等腰三角形中，底邊上的中線、底邊上的高、頂角的角平分線互相重合，俗稱“三線合一”。在等邊三角形中，三條高、中線、

9、角平分線、中位線分別相等，且具有“三線合一”的性質(zhì)（中位線除外）。（3）三角形的全等定義能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。性質(zhì)在全等的兩個三角形中，對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)中線、對應(yīng)角的平分線、對應(yīng)高分別相等；全等的兩個三角形的周長、面積也分別相等。判定方法有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡稱邊角邊（SAS）；有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡稱角邊角（ASA）；有兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡稱角角邊（AAS）；三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等，簡稱邊邊邊（SSS）；斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡稱斜邊、直角邊（HL）。（4）三角形的相似定

10、義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。性質(zhì)在相似的兩個三角形中，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等；在相似的兩個三角形中，周長比等于對應(yīng)邊的比（相似比）；在相似的兩個三角形中，面積比等于對應(yīng)邊比的平方。判定方法平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角

11、形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。2.四邊形平行四邊形長方形正方形梯形面積公式S=ahS=abS=S=（a+b）h周長公式C=2（a+b）C=2（a+b）C=4a基本性質(zhì)兩組對邊平行且相等；兩組對角分別相等；對角線互相平分。兩組對邊平行且相等；四個角均為直角；對角線相等且互相平分。兩組對邊平行；四邊相等，四個角均為直角；對角線相等且互相垂直平分。一組對邊平行，另一組對邊不平行；梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一半。內(nèi)角和與外角和定理四邊形的內(nèi)角和為360°。四邊形的外角和為360°。備注對角線互相垂直的四邊形，其面積等于對角線乘積的一半。3.多邊形（

12、1）多邊形的邊與邊之間的關(guān)系：多邊形的任意一邊的長小于其余邊的和。（2）多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角的和為（n-2）×180°。（3）多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和為360°。4.圓（1）公式：面積S=r2，周長C=2r=d。（r為半徑，d為直徑）（2）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系相離相交相切圖形示例交點(diǎn)個數(shù)021半徑r與距離d之間的關(guān)系drdrd=r圓與圓的位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圖形示例交點(diǎn)個數(shù)021公切線條數(shù)40213兩圓半徑r、R與距離d之間的關(guān)系dr+RdR-rR-rdr+Rd=R-rd=R+r注：d為直線與圓心的距離或圓心

13、與圓心之間的距離。（二）立體圖形1.基本定義及體積公式幾何體定義圖形舉例體積公式多面體棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。正四棱柱ABCD-A1B1C1D1V=Sh（S為底面積，h為高）棱錐如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個多面體叫做棱錐。三棱錐A-BCDV=Sh（S為底面積，h為高）旋轉(zhuǎn)體圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱。OO1為旋轉(zhuǎn)軸V=r2h（r為底面半徑，h為高）圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。AB為旋轉(zhuǎn)軸V=r2h（r為底面半徑，h為高）球以半圓的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，其弧邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。直徑AB為旋轉(zhuǎn)軸V=r3（r為球的半徑）2.常見幾何體表面積公式正方體長方體圓柱體球體表面積公式S=6a2S=2（ab+bc+ac）S=2r2+2rhS=4r2（三）幾何問題基本理論1.直線