概率論與數理統(tǒng)計試題(含答案)

1、第一部分 基本題一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內）（每道選擇題選對滿分，選錯0分）1. 事件表達式AUB的意思是 ( )(A) 事件A與事件B同時發(fā)生(B) 事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生(C) 事件B發(fā)生但事件A不發(fā)生(D) 事件A與事件B至少有一件發(fā)生答：選D，根據AUB的定義可知。2. 假設事件A與事件B互為對立，則事件AIB( )(A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C) 發(fā)生的概率為1(D) 是必然事件答：選A，這是因為對立事件的積事件是不可能事件。3. 已知隨機變量X,Y相互獨立，且都服從

2、標準正態(tài)分布，則X2Y2服從 ( )(A) 自由度為1的c2分布(B) 自由度為2的c2分布(C) 自由度為1的F分布(D) 自由度為2的F分布答：選B，因為n個相互獨立的服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和服從自由度為n的c2分布。4. 已知隨機變量X,Y相互獨立，XN(2,4),YN(-2,1), 則( )(A) X+YP(4)(B) X+YU(2,4)(C) X+YN(0,5)(D) X+YN(0,3)答：選C，因為相互獨立的正態(tài)變量相加仍然服從正態(tài)分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+YN(0,5)。5. 樣本(

3、X1,X2,X3)取自總體X，E(X)=m, D(X)=s2, 則有( ) (A) X1+X2+X3是m的無偏估計(B) 是m的無偏估計(C) 是s2的無偏估計(D) 是s2的無偏估計答：選B，因為樣本均值是總體期望的無偏估計，其它三項都不成立。6. 隨機變量X服從在區(qū)間(2,5)上的均勻分布，則X的數學期望E(X)的值為( )(A) 2(B) 3(C) 3.5(D) 4答：選C，因為在(a,b)區(qū)間上的均勻分布的數學期望為(a+b)/2。二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分。把答案填在題中橫線上）1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 則P(AIB)= _答：填0.18

4、, 由乘法公式P(AIB)=P(A)P(B|A)=0.6´0.3=0.18。2. 三個人獨立地向一架飛機射擊，每個人擊中飛機的概率都是0.4，則飛機被擊中的概率為_答：填0.784，是因為三人都不中的概率為0.63=0.216, 則至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。3. 一個袋內有5個紅球，3個白球，2個黑球，任取3個球恰為一紅、一白、一黑的概率為_答：填0.25或，由古典概型計算得所求概率為。4. 已知連續(xù)型隨機變量 則PX£1.5=_答：填0.875，因PX£1.5。5. 假設XB(5, 0.5)(二項分布), YN(2, 36), 則E(X+Y

5、)=_答：填4.5，因E(X)=5´0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.56. 一種動物的體重X是一隨機變量，設E(X)=33, D(X)=4，10個這種動物的平均體重記作Y，則D(Y)_答：填0.4，因為總體X的方差為4，10個樣本的樣本均值的方差是總體方差的1/10。三、有兩個口袋，甲袋中盛有兩個白球，一個黑球，乙袋中盛有一個白球，兩個黑球。由甲袋任取一個球放入乙袋，再從乙袋中取出一個球，求取到白球的概率。（10分）解：設從甲袋取到白球的事件為A，從乙袋取到白球的事件為B，則根據全概率公式有四、已知隨機變量X服從在區(qū)間(0,1)上的

6、均勻分布，Y2X +1，求Y的概率密度函數。（10分）解：已知X的概率密度函數為Y的分布函數FY(y)為因此Y的概率密度函數為五、已知二元離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下表所示： YX-112-10.10.20.320.20.10.1(1) 試求X和Y的邊緣分布率(2) 試求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X與Y的相關系數rXY(滿分10分)解：(1)將聯(lián)合分布表每行相加得X的邊緣分布率如下表：X-12p0.60.4將聯(lián)合分布表每列相加得Y的邊緣分布率如下表：Y-112p0.30.30.4(2) E(X)=-1´0.6+2´0.4=0.2, E(X2)=

7、1´0.6+4´0.4=2.2,D(X)=E(X2)-E(X)2=2.2-0.04=2.16E(Y)=-1´0.3+1´0.3+2´0.4=0.8, E(Y2)=1´0.3+1´0.3+4´0.4=2.2D(Y)= E(Y2)-E(Y)2=2.2-0.64=1.56E(XY)=(-1)´(-1)´0.1+(-1)´1´0.2+(-1)´2´0.3+2´(-1)´0.2+2´1´0.1+2´2´0.

8、1= =0.1-0.2-0.6-0.4+0.2+0.4=-0.5cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.5-0.16=-0.66六、設某種電子管的使用壽命服從正態(tài)分布。從中隨機抽取15個進行檢驗，算出平均使用壽命為1950小時，樣本標準差s為300小時，以95%的置信概率估計整批電子管平均使用壽命的置信區(qū)間。 (滿分10分)解：已知樣本均值, 樣本標準差s=300, 自由度為15-1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出, 因此平均使用壽命的置信區(qū)間為，即(1784, 2116)。附：標準正態(tài)分布函數表F(x)0.90.950.9750.99x1.281

9、5511.6448531.9599612.326342t分布表Pt(n)>ta(n)=a a N0.10.050.025141.34501.76132.1448151.34061.75312.1315161.33681.74592.1199第二部分 附加題附加題1設總體X的概率密度為其中q>-1為未知參數，又設x1,x2,L,xn是X的一組樣本觀測值，求參數q的最大似然估計值。（滿分15分）解：似然函數令，解出q的最大似然估計值為附加題2設隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關于X和關于Y的邊緣分布律中的部分數值，試將其余數值填入表中的空白處。（滿分15分）Y Xy1y2y3P