2017春季中考數(shù)學圖形的平移旋轉折疊問題解析版

1、2017春季中考數(shù)學第五講圖形的平移、旋轉、折疊問題【基礎回顧】考點聚焦1.了解軸對稱圖形和圖形成軸對稱的概念,知道線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓等常見的軸對稱圖形；了解平移、旋轉的概念、掌握平移變換、旋轉變換的基本性質,能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形.2.掌握中心對稱的概念,會判斷一些基本圖形的中心對稱性,理解中心對稱與旋轉變換的區(qū)別.3.探索圖形之間的變換關系(軸對稱、平移、旋轉及其組合),能靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計.考點一 軸對稱圖形、軸對稱變換例1、如圖,將三角形紙片ABC沿DE折疊,使點A落在BC邊上的點F處,且DEBC,下列結論:B

2、DF是等腰三角形;DE=BC;四邊形ADFE是菱形;BDF+FEC=2A.其中一定正確的個數(shù)是( ).A.1 B.2 C.3 D.4【思路點撥】如圖,分別過點D，E作BC的垂線DG，EH；連接AF,由于折疊是軸對稱變換知AF與DE垂直,因為DEBC，所以AF與BC垂直,且AM=MF,可以證明點D，E分別是AB,AC的中點,即DE是ABC的中位線,所以DE=BC是正確的；由于折疊是軸對稱變換知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以BDF是等腰三角形是正確的；因DGAFEH,所以BDG=DAM,又因為DG是等腰三角形BDF的高,所以BDF=2DAM,同 理 CEF = 2 EAM, 所

3、以 BDF+FEC=2A是正確的；如圖顯然四邊形ADFE不是菱形,是錯誤的【參考答案】C【方法歸納】軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿著一條直線對折后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.軸對稱圖形的性質：(1)對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；(2)對應線段相等、對應角相等,對應的圖形是全等圖形.【誤區(qū)提醒】折紙問題是近年來中考中的熱點問題,本題巧妙的運用平行線性質、折疊全等不變性質得到三角形中位線,如果能順利地判斷出這一點,其他問題就將迎刃而解.在解題時不要受給出的圖形影響,如ABC像是等腰三角形,就認為ABC就是等腰三角形,那樣的話四邊形ADFE就是

4、菱形了,造成判斷上的錯誤.此外,軸對稱圖形是指一個圖形,而軸對稱變換是指兩個圖形之間的關系.考點二 中心對稱圖形、中心對稱例2、下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( ).【思路點撥】把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能互相重合,那么這個圖形是軸對稱圖形； 把一個平面圖形繞某一點旋轉180,如果旋轉后的圖形能和原圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形.對照定義,可知A是軸對稱圖形,且有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；B是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形；C是軸對稱圖形,有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；D既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,有4條對稱軸【參考答案】B【方法歸

5、納】如果一個圖形繞著中心點旋轉180后能與自身重合,我們把這種圖形叫做中心對稱圖形.成中心對稱的兩個圖形的對稱點的連線都經過對稱中心,并且被對稱中心平分.【誤區(qū)提醒】中心對稱圖形是指一個圖形,而中心對稱是指兩個圖形之間的關系.考點三 平移變換例3、如圖，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2，0），點A在第一象限內，將OAB沿直線OA的方向平移至OAB的位置，此時點A的橫坐標為3，則點B的坐標為 .【思路點撥】作AMx軸于點M.根據等邊三角形的性質得OA=OB=2，AOB=60，在RtOAM中,利用含30角的直角三角形的性質求出OM=1，AM=，從而求得點A的坐標為（1，），直

6、線OA的解析式為y=x,當x=3時，y=3,所以點A的坐標為（3，3），所以點A是由點A向右平移2個單位，向上平移23個單位后得到的，于是得點B的坐標為（4,2）.【參考答案】（4,23）【方法歸納】本題考查了坐標與圖形變化平移，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同.平移中點的變化規(guī)律：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.也考查了等邊三角形的性質，含30角的直角三角形的性質.求出點A的坐標是解題的關鍵.考點四 旋轉變換例4、在RtABC中,BAC=90,B=30,線段AD是BC邊上的中線,如圖1,將ADC沿直線BC平移,使點D與點C重合,得到FCE,如圖2,再將FCE繞

7、點C順時針旋轉,設旋轉角為(090),連接AF,DE(1)在旋轉過程中,當ACE=150時,求旋轉角的度數(shù)；(2)探究旋轉過程中四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請說明理由【思路點撥】(1)由題意分析可知此問需分兩種情況討論：點E和點D在直線AC兩側；點E和點D在直線AC同側；(2)在旋轉過程中,總是存在AC=CE,DC=CE.由圖形的對稱性可知,將會出現(xiàn)兩種對角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉的性質,較易證明解：(1)在圖1中,BAC=90,B=30,ACE=BAC+B=120如圖2,當點E和點D在直線AC兩側時,由于ACE=150,=150-120=30.當點E和點D在

8、直線AC同側時,由于ACB=180-BAC-B=60,DCE=ACE-ACB=150-60=90.=180-DCE=90.旋轉角為30或90;(2)四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形BAC=90,B=30,AC=BC又AD是BC邊上的中線,AD=DC=BC=AC.ADC為正三角形當=60時,如圖3,ACE=120+60=180.CA=CE=CD=CF,四邊形ADEF為矩形當60時,ACF120,DCE=360-60-60-ACF120顯然DEAFAC=CF,CD=CE,2FAC+ACF=2CDE+DCE=180.ACF+DCE=360-60-60=240,FAC+CDE=60.DAF+ADE=

9、120+60=180.AFDE又DEAF,AD=EF,四邊形ADEF為等腰梯形【方法歸納】旋轉的概念：在平面內,將一個圖形繞一個定點沿某一個方向轉動一個角度,這種圖形的運動稱為旋轉,這個定點叫做旋轉中心,轉動的角度叫做旋轉角.旋轉變換的性質：經過旋轉,圖形上每個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度,任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角,對應點到旋轉中心的距離相等,旋轉變換不改變圖形的形狀和大小,是全等變換.【誤區(qū)提醒】決定旋轉變換的三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度,作圖按三個步驟進行：(1)在已知圖形上找一些關鍵的點；(2)畫出這些關鍵點的對應點；(3)順次連接這些對應點

10、.考點五 圖形變換的應用例5、如圖，矩形紙片ABCD，將AMP和BPQ分別沿PM和PQ折疊（APAM），點A和點B都與點E重合；再將CQD沿DQ折疊，點C落在線段EQ上的點F處.（1）判斷AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪幾對相似三角形？（2）如果AM=1，sinDMF=，求AB的長.【思路點撥】（1）由矩形的性質得A=B=C=90，由折疊的性質和等角的余角相等，可得BPQ=AMP=DQC，所以AMPBPQCQD；（2）先證明MD=MQ，然后根據sinDMF=DFMD=35，設DF=3x，MD=5x，再分別表示出AP，BP，BQ，根據AMPBPQ，列出比例式解方程求解即可.解：（1）AMPB

11、PQCQD.四邊形ABCD是矩形，A=B=C=90.由折疊的性質可知APM=EPM，EPQ=BPQ.APM+BPQ=EPM+EPQ=90.APM+AMP=90，BPQ=AMP.AMPBPQ.同理：BPQCQD.根據相似的傳遞性可得AMPCQD；（2）ADBC，DQC=MDQ.由折疊的性質可知DQC=DQM.MDQ=DQM.MD=MQ.AM=ME，BQ=EQ，BQ=MQ-ME=MD-AM.sinDMF=，則設DF=3x，MD=5x，則BP=PA=PE=，BQ=5x-1.AMPBPQ，即，解得x=（舍去）或x=2，AB=6.【方法歸納】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、翻折的性質以

12、及銳角三角函數(shù)的綜合運用，圖形的折疊是對稱變換，是一種全等變換.【誤區(qū)提醒】折疊問題要注意找正確邊角的等量關系，本題求AB長時，關鍵是恰當?shù)脑O出未知數(shù)表示出一對相似三角形的對應邊并列比例式.【例題講解】1.圖形的平移：如圖1，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2, 0），點A在第一象限內，將OAB沿直線OA的方向平移至OBA的位置，此時點A的橫坐標為3，則點B的坐標為（ ）A（4，） B（3，） C（4，） D（3，） 圖1 圖 2 圖3 圖4答案 A思路如下：如圖，當點B的坐標為（2, 0），點A的橫坐標為1當點A的橫坐標為3時，等邊三角形AOC的邊長為6在RtBCD中，B

13、C4，所以DC2，BD此時B2.圖形的折疊：如圖2，在矩形ABCD中，AD15，點E在邊DC上，聯(lián)結AE，ADE沿直線AE翻折后點D落到點F，過點F作FGAD，垂足為G如果AD3GD，那么DE_答案 思路如下：如圖，過點F作AD的平行線交AB于M，交DC于N因為AD15，當AD3GD時，MFAG10，F(xiàn)NGD5在RtAMF中，AFAD15，MF10，所以AM設DEm，那么NE由AMFFNE，得，即解得m3.圖形的旋轉：如圖3，已知RtABC中，ABC90，AC6，BC4，將ABC繞直角頂點C順時針旋轉90得到DEC，若點F是DE的中點，連接AF，則AF= 答案 5思路如下：如圖，作FHAC于H

14、由于F是ED的中點，所以HF是ECD的中位線，所以HF3由于AEACEC642，EH2，所以AH4所以AF54.三角形： 如圖4，ABCDEF（點A、B分別與點D、E對應），ABAC5，BC6ABC固定不動，DEF運動，并滿足點E在BC邊從B向C移動（點E不與B、C重合），DE始終經過點A，EF與AC邊交于點M，當AEM是等腰三角形時，BE_答案 或1思路如下：設BEx由ABEECM，得，即等腰三角形AEM分三種情況討論：如圖2，如果AEAM，那么AEMABC所以解得x0，此時E、B重合，舍去如圖3，當EAEM時，解得x1如圖4，當MAME時，MEAABC所以解得x圖2 圖3 圖45.四邊形：

15、如圖，矩形ABCD中，AB8，BC4點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（ ）A B C5 D6圖5 圖6 圖7答案 C思路如下：拖動點E在AB上運動，可以體驗到，當EF與AC垂直時，四邊形EGFH是菱形（如圖2）如圖3，在RtABC中，AB8，BC4，所以AC由cosBAC，得所以AE5圖2 圖36.圓：如圖1，O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是O上任意一點（P與A，B，C，D不重合），過點P作PMAB于點M，PNCD于點N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周轉過45時，點Q走過的路徑長為_A. B. C. D. 答案 A

16、思路如下：拖動點P在圓周上運動一周，可以體驗到，當點P沿著圓周轉過45時，點Q走過的路徑是圓心角為45半徑為1的一段弧如圖2，四邊形PMON是矩形，對角線MN與OP互相平分且相等，因此點Q是OP的中點如圖3，當DOP45時，的長為圖2 圖37.函數(shù)圖像：如圖7，直線l與半徑為4的O相切于點A，P是O上一個動點（不與點A重合），過點P作PBl，垂足為B，聯(lián)結PA設PAx，PBy，則(xy)的最大值是_答案 2思路如下：拖動點P在圓上運動一周，可以體驗到，AF的長可以表示xy，點F的軌跡象兩葉新樹丫，當AF最大時，OF與AF垂直（如圖2）如圖3，AC為O的直徑，聯(lián)結PC由ACPPAB，得，即所以因

17、此所以當x4時，xy最大，最大值為2圖2 圖3【課后練習】1.如圖1，在ABC中，AB4，BC6，B60，將ABC沿射線BC方向平移2個單位后，得到ABC，聯(lián)結AC，則ABC的周長為_（答案 12）圖1 圖2 圖3 圖42.如圖2，已知在矩形ABCD中，點E在邊BC上，BE2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點C、D分別落在邊BC下方的點C、D處，且點C、D、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點F，DF與BE交于點G設ABt，那么EFG的周長為_（用含t的代數(shù)式表示）答案 思路如下：如圖2-1，等邊三角形EFG的高ABt，計算得邊長為圖2-1 圖3-13.如圖3，在ABC中，ABAC5，BC

18、4，D為邊AC上一點，且AD3，如果ABD繞點A逆時針旋轉，使點B與點C重合，點D旋轉至D，那么線段DD的長為 答案 思路如下：如圖3-1，由ABCADD，可得543DD4.如圖4，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，DAE30，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q若PQAE，則AP的長等于_cm答案 1或2思路如下：如圖2，當PQAE時，可證PQ與AE互相垂直在RtADE中，由DAE30，AD3，可得AE在RtAPM中，由PAM30，AM，可得AP2在圖3中，ADF30，當PQDF時，DP2，所以AP1 圖2 圖35. 將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子

19、釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形狀改變當B90時，如圖5-1，測得AC2當B60時，如圖5-2，AC等于（ ）(A)； (B)2； (C) ； (D) 2圖5-1 圖5-2 圖6答案 (A)思路如下：拖動點A繞著點B旋轉，當B90時，ABC是等腰直角三角形；當B60時，ABC是等邊三角形（如圖3）6.如圖6，在矩形ABCD中，AD8，E是AB邊上一點，且AEAB，O經過點E，與邊CD所在直線相切于點G（GEB為銳角），與邊AB所在直線相交于另一點F，且EGEF2當邊AD或BC所在的直線與O相切時，AB的長是_答案 12或4思路如下：拖動點B運動，可以體驗到，O的大小是確定的，O既可以與BC相切（如圖3），也可以與AD相切（如圖4）如圖2，在RtGEH中，由GH8，EGEF2，可以得到EH4在RtOEH中，設O的半徑為r，由勾股定理，得r242(8r)2解得r5設AEx，那么AB4x如圖3，當O與BC相切時，HBr5由ABAEEHHB，得4xx45解得x3此時AB12如圖4，當O與AD相切時，HAr5由AEAHEH，得x541此時AB4圖2 圖3 圖47.如圖所示,在RtABC中,C=90,BAC=60,AB=8.半徑為的M與射線BA相切,切點為N,且AN=3.將RtABC順時針旋轉120后得到RtADE,點B,C的對應點分別是點D,E(1)畫出旋轉后的RtA