平方根和立方根知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)

1、【基礎(chǔ)知識鞏固】一、平方根、算數(shù)平方根和立方根1 1 平方根(1 1 )平方根的定義：如果一個數(shù) x x 的平方等于 a a，那么這個數(shù) x x 就叫做 a a 的平方根.即: 如果x2a，那么 x x 叫做 a a 的平方根.(2)開平方的定義：求一個數(shù)的 平方根的運(yùn)算，叫做開平方開平方 運(yùn)算的被開方數(shù) 必須是非負(fù)數(shù)才有意義。(3)平方與開平方互為逆運(yùn)算：3 3 的平方等于 9 9, 9 9 的平方根是 3 3(4)一個正數(shù)有兩個平方根，即正數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算有兩個結(jié)果；一個負(fù)數(shù)沒有平方根， 即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運(yùn)算(5)符號：正數(shù) a a 的正的平方根可用,a a 表示，.a.a 也是 a

2、a 的算術(shù)平方根；正數(shù) a a 的負(fù)的平方根可用- -.a.a 表示.(1)算術(shù)平方根的定義：一般地，如果一個正數(shù) x x 的平方等于 a a,即x2a，那么這 個正數(shù) x x 叫做a a 的算術(shù)平方根.a a 的算術(shù)平方根記為a，讀作“根 號 a a”，a a 叫做被開方數(shù).規(guī)定：0 0 的算術(shù)平方根是 0.0.也就是，在等式x2a(x(x 0)0)中，規(guī)定x . a。(2),a的結(jié)果有兩種情況：當(dāng) a a 是完全平方數(shù)時，.一a是一個有限數(shù);(3)當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大 時，它的算術(shù)平方根 也擴(kuò)大；當(dāng)被開方數(shù)縮小時與它的算術(shù)平方根也縮小。般來說，被開放數(shù)擴(kuò)大(或縮小)a a 倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大(或

3、縮小).a.a 倍，例如=5=5,=50=50。(4)夾值法及估計一個(無理)數(shù)的大小(6)正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。(6)x2a x、aa a 是 x x 的平方x x的平方是 a ax x 是 a a 的平方根2 2、算術(shù)平方根a a的平方根是 x x當(dāng) a a 不是一個完全平方數(shù)時,a是一個無限不循環(huán)小數(shù)。(5(5)x2a(x(x 0)0) a a 是 x x的平方是 a ax x 是 a a 的算術(shù)平方根a a的算術(shù)平方根是 x x4a 0Ja2a；注意“的雙重非負(fù)性：- -a（a00）a0 0（7 7）平方根和算術(shù)平方根 兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系：區(qū)別在于正數(shù)的

4、平方根有兩個，而它的算術(shù)平方根只有一個；聯(lián)系在于 正數(shù)的正平方根 就是它的算術(shù)平方根，而正數(shù)的負(fù)平方根 是它的算術(shù)平方根 的相反數(shù)。3 3、立方根（1 1）立方根的定義：如果 一個數(shù) x x 的立方等于a，這個數(shù)叫做a的立方根（也叫做 三次方根）,即如果x3a，那么x叫做a的立方根（2 2）一個數(shù)a的立方根，記作3a，讀作：“三次根號a”，其中a叫被開方數(shù)，3 3 叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。（3 3） 一個正數(shù)有一個正的立方根；0 0 有一個立方根，是它本身； 一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根； 任何數(shù)都有唯一的立方根。（4 4）利用開立方和立方互為逆運(yùn)算 關(guān)系，求一個數(shù)的立方根，就可以利用

5、這種互逆關(guān) 系，檢驗(yàn)其正確性，求負(fù)數(shù)的立方根，可以先求出這個負(fù)數(shù)的絕對值的立方根，再取其相反數(shù)，即3a3a a 0。(5)x3a （6）3a3a，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。【典型例題分析】知識點(diǎn)一：有關(guān)概念的識別1、下列說法中正確的是（ ）A、的平方根是土 3 B、1 的立方根是土 1 C、= 1 D 是 5 的平方根的相 反數(shù)2 2、 下列語句中，正確的是（）A.A. 個實(shí)數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)B.B. 負(fù)數(shù)沒有立方根C.C. 一個實(shí)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)D.D.立方根是這個數(shù)本身的數(shù)共有三個a a 是 x x 的立方x x的立方是 a ax x 是 a a 的立

6、方根a a的立方根是 x x3、卜列說法中：3都是2727 的立方根，3y3y，64的立方根是2 2 ,3824。其中正確的有（ )A1 1 個 B B 、2 2 個C C 、3 3 個D D 、4 4 個24 4、0.7 的平方根是（)A.0.7B.0.7C 0.7D 0.495、下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的組是（)A A、- 2 2 與(2)2B B、- 2 2 和口38C C 、1與 2 2 D D2、丨2 2 |和 2 2知識點(diǎn)二：計算類題型1、25 的算術(shù)平方根是平方根是.-27立方根是2、( 4)2;3( 6)33、.2+3.2 5.27C、196)2=V 8=.7( -7)4 4、

7、|,32| + |.3 2|- |(1 )327+.( 3)2327；4心253 16364V8v( 2)2石(3)知識點(diǎn)三：利用平方根和立方根解方程2 21 1、( 1 1) (2x-12x-1 ) -169=0-169=0 ;(2 2)4x 121(x 2)3125知識點(diǎn)四：關(guān)于有意義的題x a本身為非負(fù)數(shù)，有非負(fù)性，艮卩x a 0 0；a有意義的條件是a 0 0。1要使 一有意義，必須滿足 a a 0.0.a1 1、 若.a.a 的算術(shù)平方根有意義，則a a 的取值范圍是()A A、一切數(shù)B B 、正數(shù) C C 、非負(fù)數(shù) D D 、非零數(shù)2 2、要使.2X 6有意義，x應(yīng)滿足的條件是 _

8、. x 13 3、當(dāng)x-時，式子x 2有意義。知識點(diǎn)五：有關(guān)平方根的解答題1、一個正數(shù) a 的平方根是 3x4 與 2x，則 a 是多少？2 2、若 5 5a+1 1 和a- 1919 是數(shù)m的平方根，求m的值。(3)(3)3、已知 x、y 都是實(shí)數(shù)，且y x 3. 3 x 4，求yx的平方根。知識點(diǎn)六：非負(fù)性的應(yīng)用1、_已知實(shí)數(shù) x x, y y 滿足.x2+(y+1)+(y+1)2=0=0,則 x-yx-y 等于_解答：根據(jù)題意得，x-2=0 x-2=0，y+y+仁 0 0，解得 x=2x=2，y=-1y=-1，所以，x-y=2x-y=2- -(-1-1) =2+=2+仁 3 3.2、 已

9、知 a、b 滿足V2F8 b聚0，解關(guān)于x的方程a 2 x b2a 13 3、若、.x 1(3x y 1)20，求5x y2的值。4 4、若 a a、b b、c c 滿足a 3 J(5 b)241 0，求代數(shù)式的值。a5 5、已知,1 3a和丨 8 8b 3 3 丨互為相反數(shù)，求( (ab廠2-2727 的值。【重點(diǎn)知識鞏固】考點(diǎn)、平方根、算術(shù)平方根、立方根1 1、概念、定義(1) 如果一個正數(shù) x x 的平方等于 a a，即，那么這個正數(shù) x x 叫做 a a 的算術(shù)平方根。(2) 如果一個數(shù)的平方等于 a a，那么這個數(shù)就叫做 a a 的平方根(或二次方跟)。如果，那么 x x 叫做 a

10、a的平方根。(3) 如果一個數(shù)的立方等于 a a，那么這個數(shù)就叫做 a a 的立方根(或 a a 的三次方根)。如果, 那么 x x 叫做 a a 的立方根。2 2、運(yùn)算名稱(1) 求一個正數(shù) a a 的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。平方與開平方互為逆運(yùn)算。(2) 求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。開立方和立方互為逆運(yùn)算。3 3、運(yùn)算符號(1) 正數(shù) a a 的算術(shù)平方根，記作“、亍”。(2) a(aa(a 0)0)的平方根的符號表達(dá)為。(3) 一個數(shù) a a 的立方根，用表示，其中 a a 是被開方數(shù)，3 3 是根指數(shù)。4 4、運(yùn)算公式4 4、開方規(guī)律小結(jié)(1) 若 a a0 0，則a的平方根是，a的算術(shù)平方根；正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù),其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；0 0 的平方根和算術(shù)平方根都是