小學奧數專題之-幾何專題學習資料

1、資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除小學奧數幾何專題1、（）如圖，已知四邊形ABCD中， AB=13， BC=3， CD=4， DA=12，并且 BD與 AD垂直，則四邊形的面積等于多少？ 思路 ：顯然四邊形ABCD的面積將由三角形ABD與三角形 BCD的面積求和得到三角形ABD是直角三角形，底 AD已知，高 BD是未知的，但可以通過勾股定理求出，進而可以判定三角形BCD的形狀，然后求其面積這樣看來，BD的長度是求解本題的關鍵解：由于 BD垂直于 AD，所以三角形 ABD是直角三角形而AB=13，DA=12，由勾股定理， BD2=AB2 AD2=132 122=25=52 ，所以 BD=5三

2、角形 BCD中 BD=5，BC=3，CD=4，又 32 十 42=52 ，故三角形 BCD是以 BD為斜邊的直角三角形， BC與 CD垂直那么：S四邊形 ABCD=SABD +S BCD=12 5 2+4 3 2=36即四邊形 ABCD的面積是 362、（）如圖四邊形土地的總面積是48 平方米，三條線把它分成了4 個小三角形，其中2 個小三角形的面積分別是7 平方米和9 平方米 那么最大的一個三角形的面積是_平方米；79 分析 : 剩下兩個三角形的面積和是48-7-9=32，是右側兩個三角形面積和的2倍，故左側三角形面積是右側對應三角形面積的2 倍，最大三角形面積是9 2=18。3（） 將下圖

3、中的三角形紙片沿虛線折疊得到右圖，其中的粗實線圖形面積與原三角形面積之比為 2:3 。已知右圖中3 個陰影的三角形面積之和為1，那么重疊部分的面積為多少？ 思路 ：小升初中常把分數，百分數，比例問題處理成份數問題，這個思想一定要養(yǎng)成。解：粗線面積：黃面積=2： 3綠色面積是折疊后的重疊部分，減少的部分就是因為重疊才變少的，這樣可以設總共 3 份，后來粗線變2 份，減少的綠色部分為1 份，所以陰影部分為2-1=1 份，word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除4、（） 求下圖中陰影部分的面積：【解】如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補在陰

4、影位置?？梢钥闯觯}圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形 OAB與三角形OAB的面積之差。所以陰影面積：4 4 4-4 4 2=4.56 。5、（）下圖中陰影部分的面積是多少厘米2？分析與解：本題可以采用一般方法，也就是分別計算兩塊陰影部分面積，再加起來，但不如整體考慮好。我們可以運用翻折的方法，將左上角一塊陰影部分（弓形）翻折到半圓的右上角（以下圖中虛線為折痕），把兩塊陰影部分合在一起，組成一個梯形（如下圖所示），這樣計算就很容易。本題也可看做將左上角的弓形繞圓心旋轉90，到達右上角，得到同樣的一個梯形。word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除6、（）

5、如圖 6-1 ，每一個小方格的面積都是l 平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米 ?L【分析與解】方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：（ N+- 1) 單位正方形面2積，其中N為圖形內格點數，L 為圖形周界上格點數7有 N=4， L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：（ 4+-1 ) 1=6.5( 平方厘米 )2方法二：如下圖，先求出粗實線外格點內的圖形的面積，有=32=1 .5 ，=22=1， =22=1， =22 =1， =22=l ， =22=1，還有三個小正方形，所以粗實線外格點內的圖形面積為1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗

6、線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5平方厘米7（）ABCD的邊長為10 厘米，那么圖中，已知四邊形 ABCD和 CEFG都是正方形，且正方形陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米 ?【分析與解】方法一：因為 CEFG的邊長題中未給出， 顯然陰影部分的面積與其有關設正方形 CEFG的邊長為 x，有：S正方形 ABCD=10 10=100, S正方形 CEFG=x 2 , S DGF = 1 DGGF= 1(10-x)x= 10x-x 2,222word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除又 SABD= 110 10=50, S BEF = 1(10+x)x= 10x+x 2.222

7、陰影部分的面積為 :S正方形 ABCDS正方形 CEFGS DGFS ABDS BEF100x210x x250 10x2x250 ( 平方厘米 ).2方法二：連接FC，有 FC 平行與 DB，則四邊形 BCFD為梯形有 DFB、 DBC 共底DB，等高，所以這兩個三角形的面積相等，顯然, DBC 的面積110 1050( 平方厘米 ) 2陰影部分 DFB的面積為50 平方厘米8、（ ） 用棱長是1 厘米的正方塊拼成如下圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米？方法一 ： 思路 ：整體看待面積問題。解：不管疊多高，上下兩面的表面積總是3 3；再看上下左右四個面，都是23+1，所以，總計

8、9 2+7 4=18+28=46 。方法二 ： 思路 ：所有正方體表面積減去粘合的表面積解：從圖中我們可以發(fā)現，總共有14 個正方體，這樣我們知道總共的表面積是：6 14=64，但總共粘合了18 個面，這樣就減少了18 1=18，所以剩下的表面積是64-18=46 。 方法三 ：直接數數。 思路 ：通過圖形，我們可以直接數出總共有46 個面，每個面面積為1，這樣總共的表面積就是46。9、（） 一個圓柱形的玻璃杯中盛有水， 水面高 2.5cm，玻璃杯內側的底面積是 72cm，在這個杯中放進棱長 6cm 的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊， 這時水面高多少厘米？word 可編輯資料收集于網絡，如有侵

9、權請聯系網站刪除解：水的體積為 722.5=180 （ cm3），放入鐵塊后可以將水看做是底面積為 72-6 6=32（ cm2）的柱體，所以它的高為180 32=5（ cm）。10、（） 有一個棱長為1 米的立方體，沿長、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后，成為60個小長方體(見左下圖).這60個小長方體的表面積總和是_平方米.（06 年三帆中學考試題）【解】原正方體表面積：1 16 6（平方米），一共切了2 3 4 9（次），每切一次增加2 個面： 2 平方米。所以表面積：6 2 9 24 （平方米）二：提高題11、（）圖是由正方形和半圓形組成的圖形。其中P 點為半圓周的中點，Q點為正方形一邊

10、的中點。已知正方形的邊長為10，那么陰影部分面積是多少？（取3.14. ） 方法一 ：陰影面積的“加減法”。 思 路 ：因為陰影部分面積不是正規(guī)圖形，所以通過整個面積減去空白部分面積來求解。解：過 P 點向 AB作垂線，這樣空白部分面積分成上面的三角形和下面的梯形，這樣陰影面積 =整個面積 - 空白面積 =（正方形ABCD+半圓）（三角形+梯形）= （ 10 10+ 55 2）-15 5 2+（ 5+15） 52 =51.75 總結 ：這種方法是小升初中最常用的方法，一定要學會這種處理思路。 方法二 ：面積的“加減法”和“切割法”綜合運用 思路 ：出現正方形，出現弧線時，注意兩個考點： 1.

11、半葉形 2 。1/4 圓，所以我們可以先把面積補上再減去補上的面積解： S1=正方形 -1/4圓 =5 5-1/4 5 5word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除上面陰影面積 =三角形 APE-S1=155 2-5 5-1/4 5 5 下面陰影面積 =三角形 QPF-S2=所以陰影面積=（ 15 5 2-5 5-1/4 5 5）+（ 10 5 2-5 5-1/4 5 5）=51.75 方法三 ：面積的“切割法” 思路 ：出現正方形，出現弧線時，注意兩個考點：1. 半葉形 2 。1/4 圓，這樣可以考慮把陰影面積切成幾個我們會算的規(guī)則圖形解：半葉形 S1=正方形 -1/4 圓 =5

12、 5-1/4 5 5 上面陰影面積 =三角形 ADP+S1=10 5 2+55 1/4 5 5 下面陰影面積 =三角形 QPC+S2=5 52+5 5 1/4 5 5陰影面積 =（ 10 5 2+5 5 1/4 5 5） +（ 5 5 2+5 5 1/4 5 5） =51.7512、（）如圖，ABCG是 4 7 的長方形， DEFG是 2 10 的長方形，那么，三角形BCM的面積與三角形DCM的面積之差是多少？方法一 ： 思路 ：公共部分的運用，這是小升初的常用方法，熟練找出公共部分是解題的關鍵。解: GC=7， GD=10推出 HE=3；word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除

13、BC=4， DE=2陰影 BCM面積 - 陰影 MDE面積 =(BCM面積 +空白面積 )-(MDE 面積 +空白面積 )= 三角形 BHE面積- 長方形 CDEH面積 =3 6 2-3 2=3 總結 ：對于公共部分要大膽的進行處理, 這樣可以把原來無關的面積聯系起來, 達到解題的目的. 拓展 ：如圖 , 已知圓的直徑為20,S1-S2=12,求 BD的長度 ?方法二 ： 思路 ：畫陰影的兩個三角形都是直角三角形，而 BC和 DE均為已知的， 所以關鍵問題在于求CM和 DM這兩條線段之和 CD的長是易求的，所以只要知道它們的長度比就可以了，這恰好可以利用平行線 BC與 DE截成的比例線段求得解

14、 : GC=7 ， GD=10 知道 CD=3；BC=4， DE=2知道 BC:DE=CM:DM所以 CM=2， MD=1。陰影面積差為:4 2 2-1 2 2=3 方法三 ：連接 BDSBCM SDEM=S BCD SBDE =(3 4 2 3) 2=313（）如圖所示，在三角形ABC中， DC 3BD，DE EA。若三角形ABC的面積是1，則陰影部分的面積是多少？方法一 ： 思路 ：陰影面積是兩個不在一起的圖形，我們先要通過等量代換，把兩個圖形拼成一個整體解：連接 FD，因為 AE=DE，所以 S1=S3，S2=S4，S1+S2=S3+S4，即三角形AFC=三角形 FCD，陰影面積等于S3

15、+S4 的面積。又因為 DC 3BD，三角形FDC=3三角形BDF，這樣我們就可以設三角形DFB為 1 份，則三角形 FDC=3份，三角形 AFC=三角形 FCD=3份，這樣總共面積分成7 份，word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除所以陰影面積為1 7 3=3/7 方法一 ：14、（）如圖，在 ABC 中， AD 是 AC的三分之一， AE是 AB 的四分之一，若 AED 的面積是 2 平方厘米，那么 ABC 的面積是多大？ 分析 連結 EC，如圖，因為 AC 3AD， AED 與AEC中 AD，AC 邊上的高相同，所以 AEC 的面積是 AED 面積的 3 倍，即 AEC 面

16、積是 6 平方厘米，用同樣方法可判斷 ABC 的面積且AEC面積的四倍，所以 ABC 的面積是 64 24（平方厘米）。15（） 從一塊正方形木板鋸下寬為1 米的一個木條以后， 剩下的面積是 65 平方米問218鋸下的木條面積是多少平方米?【分析與解】 我們畫出示意圖 (a) ，則剩下的木塊為圖 (b) ，將 4 塊剩下的木塊如下拼成一個正方形得到圖 (c) word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除我們稱 AB 為長， AD為寬，有長與寬的差為1 ，所以圖 (c) 中心的小正方形邊長為1 ，于是226511529232323大正方形 AEHK的面積為4+ 2=，所以 AK 長為1

17、8236666即，長 + 寬 = 23 ，已知：長-寬=1，得長= 13 ，于是鋸去部分的木條的面積為13 62661 =13=1 1(平方米 )212216、（）將三角形 ABC的 BA邊延長 1 倍到 D； CB邊延長 2 倍到 E， AC 邊延長 3 倍到 F，如果三角形 ABC的面積等于 1，那么三角形 DEF的面積是 _ 。 分析 如圖，連接CD、 BF，則三角形 ADC的面積三角形 ABC的面積 1 ；三角形 BDE的面積三角形 BCD的面積 2 (1+1)2 4；三角形 CDF的面積三角形 ADC的面積 3 3 ；三角形 BCF的面積三角形 ABC的面積 3 3 ；三角形 BEF

18、 的面積三角形 BCF的面積 2 6 ；三角形 DEF的面積三角形 ABC的面積 +三角形 ADC的面積 +三角形 BDE的面積 +三角形 CDF的面積 + 三角形 BCF的面積 + 三角形 BEF 的面積 1+1+4+3+3+6 18 。三角形 DEF 的面積17、（）如圖，已知AE AC/5， CDBC/4 ，BFAB/6 ，那么等于三角形 ABC 的面積多少？word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除 分析 這道題與例34 很相像， 但不同的是沒有一個現成的單位面積。要求出這樣一個比例，要求我們自己開發(fā)一個單位面積?？刹豢梢跃陀么笕切蔚拿娣e做單位面積呢？如圖，連接AD，那么

19、SCDE S ACD4/5 S ABC1/4 4/5 S ABC1/5同理，連接BE，那么SAEF S ABE5/6 S ABC1/5 5/6 S ABC1/6連接 CF，那么SBDF S BCF3/4 S ABC1/6 3/4 S ABC1/8所以三角形 DEF 的面積61三角形 ABC 的面積11/5 1/6 1/8 12018、（）如圖，已知 D 是 BC 中點， E 是 CD中點， F 是 AC中點。三角形 ABC由 這 6 部分組成，其中比多 6 平方厘米。那么三角形 ABC的面積是多少？ 分析 仔細觀察圖形，我們可以發(fā)現和這兩個三角形形狀是一樣的，并且EF 是 ACD的中位線，也就

20、是EF：AD 1：2。那么和底和高的比都是2：1（形狀相同，高之比和底之比是一樣的），面積比自然就是4：1 了。與的面積比為4： 1，并且相差6 平方厘米，所以的面積6（ 41） 2（平方厘米）word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除的面積2 4 8（平方厘米）與的面積均為的二倍，的一半，即4 平方厘米；的面積為，即4 2 6（平方厘米）的面積為，即8 4 4 2 6 24（平方厘米）大三角形的面積為的二倍，即24 2 48（平方厘米）。19、（）在ABC中 BD： DC=2:1,AE ： EC=1:3 求 BO： OE。AEOBCD 分析 : 解法一，用按比例分配的方法，觀察線

21、段BE正好被 AD分成 BO與 OE兩部分，求這兩部分的比，可以 AD為底， B， E 為頂點構造兩個三角形，BAD與 EAD，這樣就可以面積比與線段比之間架一座橋。因為三角形BAD的三個頂點都在三角形ABC的邊上，因此把三角形 ABC的面積看作單位“1”，就可以用2 來表示 ABD的面積，用 AE的長占 AC的 1/4 ，3CD的長占 CB的 1/3 ， 11=1來表示 AED的面積。4312因為： SABD： S AED=2 ： 1=8： 1，所以 BO：OE=8： 1。312解法二：這幅圖形一看就感覺它是燕尾定理的基本圖，但2個燕尾似乎少了一個，因此應該補全，所以第一步我們要連接OC，因

22、為 AE:EC=1:3 (條件 )所以 SAOE/SCOE=1:3 若設 SAOE=x,則 SCOE=3xSAOC=4x,根據燕尾定理SAOB： SAOC=BD： DC=2:1所以 SAOB=8xBO： OE=SAOB： SAOE=8x： x=8:1 。20、（）角形 ABC中， C 是直角，已知 AC 2，CD 2,CB=3,AM=BM，那么三角形 AMN（陰影部分）的面積是多少？word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除 分析 : 可以連接NB，由燕尾定理及條件可知CAN：ABN 2：1，不妨設ANM為 1 份，則 ANB為兩1份， CAN就是 4 份， CND也是 4 份，全

23、圖就是10 份，陰影就占全圖的1021（）在圖中，直線 CF與平行四邊形 ABCD的 AB邊相交于 E 點，如果三角形 BEF的面積為 6 平方厘米，求三角形 ADE的面積是多少？ 分析 : 連結 AC，因為 AB平得 CD， AE 是三角形ADE， ACE的公共底邊，所以三角形ADE與三角形 ACE的面積相等。又因為BC 平行于 AF， AF 是三角形AFC與三角形ABF的公共底邊，所以三角形ACF與三角形ABF的面積相等。從圖中還可看出，三角形ACF的面積三角形 ACE的面積 +三角形AEF的面積，三角形ABF的面積三角形BEF的面積 +三角形AEF的面積。 從上面兩個等式可以得到三角形A

24、CE的面積三角形BEF 的面積，而三角形BEF的面積為6 平方厘米，所以三角形ACE的面積也為6 平方厘米，再根據三角形ADE與三角形 ACE的面積相等可得三角形ADE的面積為6 平方厘米。所以三角形ADE的面積為6平方厘米。22、（）圖中的四邊形土地總面積為52 公頃，兩條對角線把它分成了4 個小三角形，其中 2 個小三角形的面積分別是6 公頃和 7 公頃。那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？ 分析 : 我們不妨把四個小三角形看成四個元素，而不是整體的一部分。如圖，四個小三角形面積中，兩個是我們已知的，另兩個未知。 已知的兩個三角形有共同的底邊，所以它們的高之比就等于面積比6： 7；S1

25、與 S2 同樣有共同的底邊，并且它們的高分別與面積為6 和 7 的兩個小三角形相同，也就是同樣有6： 7 的關系。這樣S1： S2 6： 7；這樣，原來的問題就變成一個和倍問題了。很容易知道S1 (52 6 7) (6 7) 6 18（公頃）S2 (52 6 7) (6 7) 7 21（公頃）word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除這樣四個三角形的面積分別為6、 7、 18、 21，最大的一個為21。23、（）如圖，在三角形ABC中，D 為 BC的中點， E 為 AB上的一點，且BE=1 AB, 已知四3邊形 EDCA的面積是 35，求三角形 ABC的面積 .（ 06年清華附中入

26、學測試題）BED1 11【解】根據定理：=，所以四邊形ACDE的面積就是6-1=5 份，這樣三角形35ABC2365 6=42。24、（）四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方( 如圖 ) 如果小正方形面積是1 平方米，大正方形面積是5 平方米，那麼直角三角形中，最短的直角邊長度是_米.（ 06 年實驗中學入學測試題）【解】小正方形面積是1 平方米，大正方形面積是5 平方米，所以外邊四個面積和是5-1=4 ，所以每個三角形的面積是1，這個圖形是“玄形”，所以長直角邊和短直角邊差就是中間正方形的邊長，所以求出短邊長就是1。25 、（）如圖在長方形ABCD中， ABE、 ADF、四邊

27、形 AECF的面積相等。AEF 的面積是長方形ABCD面積的 _ ( 填幾分之幾 ) 。（ 03 年資源杯試題）。【解】連接 AC，首先 ABC和 ADC的面積相等， 又 ABE和 ADF的面積相等， 則 AEC和 AFCword 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除的面積也相等且等于ABCD的 1/6 ，不難得 AEC與 ABE的面積之比為1/2 ，由于這兩個三角形同高，則 EC與 BE 之比為 1/2 ，同理 FC與 DF之比也為1/2 。從而 ECF相當于ABCD面積的1/18 ，而四邊形AECF相當于ABCD面積的 1/3 ，從而答案為1/3-1/18=5/18。ADFBEC2

28、6、（）如圖1，一個長方形被切成8 塊，其中三塊的面積分別為12 ， 23， 32，則圖中陰影部分的面積為 _（ 01 年同方杯）【解】設圖示兩個三角形的面積分別為a 和 b，因為 AED面積等于ABCD的一半，則ABE加上 DEC的面積也等于 ABCD的一半。而 FDC的面積也等于 ABCD的一半，即 23+a+32+12+b=a+b+陰影面積，可見陰影面積=23+32+12=67 。AD23F a32b12BEC27（、）右圖中 AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7 厘米 . 四邊形 ABDE的面積是平方厘米【解】：四邊形 AFDC的面積 =三角形 AFD+三角形 ADC=

29、（111 FD AF）+（ ACCD）=（ FE+ED）222 AF+ 1 （ AB+BC） CD= （ 1 FE AF+ 1 ED AF） +（ 1 AB CD+1 BC CD）。22222所以陰影面積 =四邊形 AFDC-三角形 AFE三角形 BCD=（ 1 FE AF+ 1 ED AF）+（ 1 AB222CD+1BCCD）- 1 FE AF- 1 BC CD= 1 ED AF+ 1 AB CD= 187+ 1 3222222212=28+18=46。word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除28、（）如圖，三個一樣大小的正方形放在一個長方形的盒內，A 和 B 是兩個正方形重

30、疊部分， C， D， E 是空出的部分，這些部分都是長方形，其中4 個的面積比是A:B:C:D 1:2:3:4。那么這個長方形的長與寬之比是多少？：方法：29（）如圖，長方形的面積是小于100 的整數，它的內部有三個邊長是整數的正方形，號正方形的邊長是長方形長的5/12 ，號正方形的邊長是長方形寬的1/8 。那么， 圖中陰影部分的面積是多少？ 方法一 ：從整除入手，我們可以推出長方形的面積只能是8 12=96，再入手就很簡單可。解：的面積就是5 5=25的面積是1 1=1最大的空白正方形面積=（ 8-1 ）（ 8-1 ） =49陰影面積 =96-49-25-1=2130、（）圖 30-10 是一個正方形，其中所標數值的單位是厘米問：陰影部分的面積是多少平方厘米 ?word 可編輯資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除【分析與解】如下圖所示， 為了方便所敘，將某些點標上字母，并連接BG設 AEG的面積為x，顯然 EBG、 BFG、 FCG的面積均為x，則 ABF3x， S ABF1100的面積為220 10 100 即 x，那么正方形內空白部分3的面積為4x400.所以原題中陰影部分面積為20 20 400800( 平方厘米 )333【挑戰(zhàn)題】1、（）一塊三角形草坪前，工人王