拋物線及其性質(zhì)知識點(diǎn)大全和經(jīng)典例題及解析

1、拋物線及其性質(zhì)【考綱說明】1、掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)問題。2、通過類比，找出拋物線與橢圓，雙曲線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系?！局R梳理】1 .拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋 物線.2 .拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形0J.4卜司參數(shù)P幾何意 義參數(shù)PN殳示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，P越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程爐=2PMp>0)y = -2 *(p> o)/ = 2PMp >0)丁 = - 2 py p > 0)焦點(diǎn)位置X正X負(fù)Y il:Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)(?,0) 2(一 2（。心） 22準(zhǔn)線方程艮 2

2、PA =27=-fP 力萬范圍0, yw Rk 4 0 jw Ry> xe R”0” R對稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)離心率e= 1通徑2p焦半徑“E中）AF = x + - 2AF = - x - 2af =耳 + eAF = 一 y + '焦點(diǎn)弦長M(% +P一(,* + x2)+ p(X + %)+ P一(% + %)+ P焦點(diǎn)弦長. 的補(bǔ)充4和X)以<8為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切若他的傾斜角為a，網(wǎng)X”若AS的傾斜角為a ,則MW- 2 cos a1p-X. K、= 21 -4=11 AF+ BFAB2AF * BF AF，BF - AF BF - p3 .

3、拋物線/ = 2P以P、°)的幾何性質(zhì)：范圍 因?yàn)閜>0,由方程可知x20,所以拋物線在卜軸的右側(cè)，當(dāng)汗的值增大時，了也增大，說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.對稱性：對稱軸要看一次項(xiàng)，符號決定開口方向.戶(X,0)-艮(3)頂點(diǎn)(0, 0),離心率：e =1,焦點(diǎn) 2 ，準(zhǔn)線 2 ,焦準(zhǔn)距p.(4)焦點(diǎn)弦：拋物線y =2a(p>0)的焦點(diǎn)弦人3,工區(qū)/),凡在必)，則I AB=演+與+ " 弦長|AB|=xl+x2+p,當(dāng)xl=x2時,通徑最短為2p04.焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦48,工(。卜)，月化,必)，焦點(diǎn) 7'則:若AB是拋物線V =2*(p

4、>0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦) 2x.x, = -2一 4 片?。?P9O若AB是拋物線爐= 2pHp>0)的焦點(diǎn)弦，且直線,且4飛黑)，叫0%),AB的傾斜角為0 ,則"同一 siir «( a W0)。 已知直線 AB11 AF 十 BF AB是過拋物線產(chǎn)=2雙”0) 佳占F , AF BF AF BF AF BF (4)焦點(diǎn)弦中通徑最短長為2po通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做 通徑.(5)兩個相切：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn) 向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5.弦長公式：力區(qū)/)，例均必)是拋物線

5、上兩點(diǎn)，則【經(jīng)典例題】(1)拋物線一一二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點(diǎn)和一條定直 線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1,這使它既與橢圓、雙曲線相依相 伴，乂鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1,既使它享盡和諧之美，乂生出多 少華麗的篇章.【例1】P為拋物線V = 2px上任一點(diǎn)，f為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與y軸 ( )A相交B相切仁相*X離。位置由P確定,4【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為'2九準(zhǔn) 線是'.'"之乍/于巴交y軸于Q,那么網(wǎng)=依且2 .作順上丫軸于n則MN是梯形PQOF的|mat|= -(1of|+

6、-q|)= L|p*| =|p 尸 I中位線，1 2X,1" 211 211故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則分別是相離或相交的.（2）焦點(diǎn)弦?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個焦點(diǎn)弦的性 質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的.【例2】 過拋物線V = 2p*（p>0）的焦點(diǎn)f作直線交拋物線于42）5（公，乂）兩點(diǎn)，求證：【證明】（i）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作4仆/小即一于外則因中訃P5 .兩式相加即得:（2）當(dāng)AB_Lx軸時，有1 I 2y= k x- -2<代入拋物線方|七|=忸尸卜P:畫

7、一畫一成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為: 程:= 2pxjt2x2 - p(k2 + 2)x+ il2 = 0【2 J.化簡得：l /4一方程(1)之二根為xL x2, A '4匕/毛十 "不七十PP成立.故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有M 忸H (3)切線一一拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，乂與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程， 是解題者不可或缺的基本功.例3證明：過拋物線二 2px上一點(diǎn)乂(xO, yO)的切線方程是：yOy=p(x+xO)、ly> y = 2p,二V='切線的斜率【證明】對方程必=2處兩邊取導(dǎo)數(shù)：p=y|5l

8、= %.由點(diǎn)斜式方程：尸一 乂 =，(x-、)=' «。)K = 2Pe 代入即得：yOy二p (x+xO)(4)定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在 解題中常會有意想不到的收獲.例如：1.一動圓的圓心在拋物線/=網(wǎng)上，且動圓恒與直線內(nèi)+2 =。相切， 則此動圓必過定點(diǎn)()A(4.0)日(2.0)C(0.2)D.(0.-2)顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選B.2 .拋物線爐=2 Px的通徑長為2p.3 .設(shè)拋物線”= 2p.x過焦點(diǎn)的弦兩端分別為省/乂)，5(乂)，那么：以下再舉一例【例4設(shè)拋物線爐

9、= 2px的焦點(diǎn)弦皿在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1,證明：以 A1B1為直徑的圓必過一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p,而A1B1與AB 的距離為P，可知該圓必過拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物 線的焦點(diǎn).以下我們對AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為火知乂）'見、上）,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于c,那么,尸甲曰"（=仁川-仁勺|.故/外產(chǎn)勺=90° 這就說明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn). 通法特法妙法（1）解析法一一為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易

10、解決的兒 何問題（如對稱問題等）.【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線y二-xa3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)A、B,則 |AB|等于（）A. 3B. 4C. 3c D. 4c【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】點(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y=O對稱,工設(shè)直線AB的方程為:尸=m ,<、 =* *十 /»- 3 = 0(1)y= *+ 叫由，=-父 + 3設(shè)方程（1）之兩根為xl, X2,則為+為=-1.可十天1%=- Jy0=2 .故有設(shè)AB的中點(diǎn)為M （x0, yO）,則 22 .代入x+y=0：L

11、 1 22從而加工六”】.直線AB的方程為：ywnL方程（1）成為：片+*-2 = 0 .解 得：”-2J,從而尸-L2,故得:a (-2, -1) , B (1, 2) .，網(wǎng)二3 6，選 風(fēng)（2）幾何法為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計(jì) 算，這乂使得許多考生對解析幾何習(xí)題望而生畏.針對這種現(xiàn)狀，人們研究出多種 使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】（11.全國1卷.11題）拋物線了 =打的 焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為,，經(jīng)過產(chǎn)且斜率為6的直線與拋物線在汗軸上方的部分相交于 點(diǎn)A，水工/,垂足為K,則的面積（）4mA. 4B.

12、36C .D. 8【解析】如圖直線AF的斜率為6時NAFX=600.AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線/交x軸于M,則尸“卜夕"2 |F| = 4,5t=x42 = 4x/3且NKFM=60° , 4.選 c.【評注】（1）平面幾何知識：邊長為a的正三角形的S &面積用公式44 計(jì)算.(2)本題如果用解析法，需先列方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再計(jì)算正三角形 的邊長和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡單.(3)定義法一一追本求真的簡單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反 而特別簡單.【例7】(07.湖北卷.7題)雙曲線2)C. :-r- = 1

13、(3 > 0? b > O')r r/ b的左準(zhǔn)線為,，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為"和?；拋物線g的線為，焦點(diǎn)為q與g的一個交點(diǎn)為例，則的用也修等于( )A- -1B. 1 12D. 2【分析】這道題如果用解析法去做，計(jì)算會特別繁雜，而平面幾何知識乂一 時用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為e,作A7_L/于，令加訃中|曬| = 2.點(diǎn)m在拋物線上，iiii “Ml 1%； 工,.” = MF,=小故L =e1 -i -| MW I MF2 r：I MF, I這就是說：IMKI的實(shí)質(zhì)是離心率e.WEI其

14、次， MF、I與離心率e有什么關(guān)系？注意到：忻鳥 |2cc 2a“4+ 4)(.I.|卜伍|4441cJ皿迎一)-這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于“巧I 1必61.，選(4)三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的 三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”一 一達(dá)到解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，常可以擺脫困境，簡化計(jì)算.8 (09.重慶文科.21題)如圖，傾斜角為a的小直線經(jīng)過拋物線必=打的焦點(diǎn)f,且與拋物線交于4 8兩點(diǎn)。(I)求拋物線的焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)及準(zhǔn)線1的方程；M (II)若a為

15、銳角，作線段四的垂直平分線卬交 軸于點(diǎn)尸，證明小|-任卜0523為定值，并求此定值?！窘馕觥?I )焦點(diǎn)F (2, 0),準(zhǔn)線5二一2.(II)直線 AB：k tana(2) (1).X.2L?8 代入(1),整理得：/'tana_8y-16tana =0(2)8一<tan a設(shè)方程(2)之二根為yl, y2,則 = -16MC).則設(shè)AB中點(diǎn)為tan a+ 2 = 4cot" a + 2AB的垂直平分線方程是：尸4cot。= -cota (a-4cot'a - 2 ) 令 y=0,則0+6'有'(4c°t% + 6 0)故|F'

16、;P = ()p - |OF| = 4cot or * 6 - 2 = 4 (col2a 4 l)= 4cos2 a于是 IFP H FP | cos2a=4 esc' a (1-3 2a ) = 4 CSC 7 Zin ' a = 8 ,故為定值.(5)消去法一合理減負(fù)的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu) 秀方法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵” .【例9】是否存在同時滿足下列兩條件的直線，：（1）,與拋物線/=網(wǎng)有 兩個不同的交點(diǎn)A和B； （2）線段AB被直線4 ： x+5y-5=0垂直平分.若不存在， 說明理

17、由，若存在，求出直線/的方程.【解析】假定在拋物線丁=84上存在這樣的兩點(diǎn)怎，X），小毛，）.則.1 = （X4 必）（乂-8）=8“一/）=.= 4=;-其=8毛（%-%）（片+上）線段 AB 被直線人：x+5y-5=0 垂直平分，且18勺=一，二"曲:5,即（% + 一）-8*"（%，），則% =幾+ = 3設(shè)線段AB的中點(diǎn)為25 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：（41M 1,-AB中點(diǎn)為§人故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為：4r.ry-5x- I）,即：25x-5-21 =0（6）探索法一一奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時就 得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜想一一證明一一再猜想一一再證明.終于發(fā)現(xiàn) “無限風(fēng)光在險峰” .【例10 （10.安徽卷.14題）如圖，拋物線產(chǎn)-.出+1與x軸的正半軸交于點(diǎn) A,將線段 &q