北師大版高中數(shù)學必修三最小二乘估計教案(精品教學設計)

1、最小二乘估計教學目標：1、掌握最小二乘法的思想2、能根據(jù)給由的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程教學重點：最小二乘法的思想教學難點：線性回歸方程系數(shù)公式的應用教學過程回顧：上節(jié)課我們討論了人的身高與右手一 掛長之間的線性關 系，用了很多種方法來刻畫這種線性關系， 但是這些方法都缺 少數(shù)學思想依據(jù)。問題1、用什么樣的線性關系刻畫會更好一些？想法：保證這條直線與所有點都近(也就是距離最小) 最小二乘法就是基于這種想法問題2、用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會方便有效?設直線方程為y=a+bx,樣本點A (Xi, y)方法一、點到直線的距離公式叫 V a. b21方法二、yi a bxi顯然方法二

2、能有效地表示點A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計算，所以我們用它來表示二者之間的接近程度。問題3、怎樣刻畫多個點與直線的接近程度？例如有 5 個樣本點，其坐標分別為（ x1， y1） ， （ x2， y2） ， （ x3，y3）, （x4, y4）,（X5, y5）與直線 y=a+bx的接近程度：2 bx52222y1 a bx1y2 a bx2y3 a bx3 y4 a bx4y5 a從而我們可以推廣到 n個樣本點：（xi, yi）,（X2, y2）,（xn, yn）與直線y=a+bx的接近程度： 222yi a bxiy2 a bx 2y n a bxn使得上式達到最小值的直

3、線y=a+bx 就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法問題4、怎樣使yiabxi2y2abx22yna bx n 2達到最小值？先來討論3 個樣本點的情況設有 3 個點（xi，yi）， （x2，y2）， （x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個點的接近程度由下面表達式刻畫： 222y1 a bx1y2a bx2y3 a bx3 美好的未來不是等待，而是孜孜不倦的攀登！整理成為關于a的一元二次函數(shù)f(a),如下所示:2f(a) 3a 2a y bx3a2 2a y bx利用配方法可得2f(a) 3 a y bxy2 bx2y3 b»y122yi bxiy2 bx

4、222y1 bx1y2 bx2222bxy2 bx>y3 bx32y3 bx32 2 3y3 bx33 y bx美好的未來不是等待，而是孜孜不倦的攀登!xiV2xiXQh X3V3 3xy用同樣的方法我們可以推導由n個點的線性回歸方程的從而當a y bx時，使得函數(shù)f (a)達到最小值。將a y bi代入式，整理成為關于 b的一元二次函數(shù)gb,2 222g(b) x1 x x2 xx3 x b2bxixyiyx2xy4y*3xy3y2 2 2yi yy2 yy3 y同樣使用配方法可以得到，當xx y1y x2 x y2 y x3 x y3y2 2 2xix x2 x x3 x系數(shù):xi

5、yix2 y222xix2xnyn nxy22xn nxnXM nxyi in 2 2xinxi ia y bx其中 X X1 X2Xn y yi V2ynn 'n由a y bx我們知道線性回歸直線 y=a+bx一定過x,y。 例題與練習例1在上一節(jié)練習中，從散點圖可以看由，某小賣部6天賣由熱茶的杯數(shù)（V）與當天氣溫（x）之間是線性相關的。 數(shù)據(jù)如下表氣溫（xi）/飛261813104-1杯數(shù)（yi）/杯202434385064（1 ） 試用最小二乘法求生線性回歸方程。（2） 如果某天的氣溫是3 °C,請預測可能會賣由熱茶多少杯。解：（1）先畫由其散點圖70本杯數(shù)605040

6、302010氣溫4020iXiyi2XiXiyi1262067652021824324432313341694424103810038054501620061641-64合計7023012861910則線性回歸方程為可以求得b 1.648,a 57.557y =57.557 1.648x(2)當某天的氣溫是3 °C時，賣由熱茶的杯數(shù)估計為:57.557 1.648362501 63練習1已知x, y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則 y與x的線 性回歸方程y=a+bx必經(jīng)過點(D )xo123y1357(A) (2, 2)(B) (1.5, 0)(C) (1, 2)(D)(1.5, 4)練習2

7、某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：商店名稱ABCDE銷售額(x) /千萬元35679禾潤額(y) /白力兀23345(1 ) 畫由銷售額和利潤額的散點圖；(2 ) 若銷售額和利潤額具有相關關系， 計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程。解：(1)-51015（2）數(shù)據(jù)如Fa：iXi-6yi2XiXiyi1329628 5325153-10 63361847449285-12958145合計-14 3017200112可以求得 b=0.5, a=0.4線性回歸方程16: y 0.4 0.5x小結1、 最小二乘法的思想2、 線性回歸方程的系數(shù)：xyix2y22Xi2X2nxi yi nxyXnyn nxy i 1 iyi )22n